高等代数第六章检测题

一、选择题

1．设Mn(R)是R上全体n阶矩阵的集合,定义(A)=|A| A∈Mn(R)则是Mn(R)的一个 。

（A）单射 （B）满射 （C）双射 （D）既非单射也非满射 2．把复数域C看成R上的线性空间，这个空间的维数是 。

（A） 一维 （B） 二维 （C） 三维 （D）无限维

3．R是复数域，P是任一数域，则集合R∩P对于通常的数的加法与乘法是 。

（A）C上的线性空间 （B）R上的线性空间 （C）Q上的线性空间 （D）不构成线性空间 4．已知P2的两组基：1a1,a2 2b1,b2与1c1,c2，2d1,d2,则基1、

2到基1、2的过渡矩阵为 。

a1（A） a2a1（C） b1b1b21c1c2c1d1d1c1 （B）cd22c2c1 （D）dd21d1d2c2d21a1a2a1b1b1 b2a2 b2a2b2115．全体正实数集集合R+中，加法与数乘定义为a⊕b=ab k。a=ak a、b∈ R+ k∈R则

R+构成R上的线性空间，它的维数与基为 。

（A）维数=0，没有基 （B）维数=1，1是基 （C）维数=1，2是基 （D）维数=2，3、5是基

二、判断题

1．设V是n维线性空间，1，2,，nV，且V中的每一个向量均可由它们线性表示，则1n是V的一组基。 （ ） 2．1（1，1，1），2=（1，-1，1），3=（-1，1，1）是三维空间R3的一组基。（ ） 3．若V1,V2为有限维线性空间V的子空间，则V1V2也是V的子空间。 （ ） 4．设1，2，3，4是线性空间V的一组线性无关向量，则L（1，2，3，4）=L（1，2）⊕（3，4）。 （ ）

，V2∩V3=，V1∩V3=，5．设V1、V2、V3是线性空间V的三个子空间，且V1∩V2=则和V1+V2+V3是直和。

三、填空题

是一双射,则-1= 。 1．设 :MM2．设V是三维线性空间，则V的二维子空间有 个。

3．设有P2的一组基11,2,20,1，则向量=（a，b）在这组基下的坐标为 。

4. 1（1，2，3），2=（3，-1，2），3=（2，3，x）,则x= 时，

1、2、3线性相关.

5．向量组1（1，0，0），2=（0，1，0），3=（3，-1，0）的极大无关组是 . 四、完成题

1．证明：x2+x，x2-x，x+1是线性空间R[x]3的一组基，并求2x 2+7 x +3在这组基下的坐标。

2．设有P4的两个子空间，W1x1,x2,x3,x42x1x20,x12x30，

x1,x2,x3,x4x1x22x30,求W1W2与W1W2的基与维数. W23．设A11 01×

×

（1） 证明：P22中与可以交换的矩阵集合W是P22的子空间； （2） 求W的基和维数；

（3） 写出W中矩阵的一般形式。

××

4．设U与W分别 n阶对称集合与n阶反对称集合构成的Pnn的子空间，证明：Pnn=U⊕W。

5．设V1，V2是线性空间V的两个非平凡子空间，证明：在V中存在向量使V1,V2同时成立.