试题含解析
一、 选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的
1. 已知集合M={﹣1，1}，A．{﹣1，1} B．{﹣1}
C．{0} D．{﹣1，0}
，则M∩N=( )
参考答案：
B
【考点】交集及其运算．
【分析】N为指数型不等式的解集，利用指数函数的单调性解出，再与M求交集．求
【解答】解：又M={﹣1，1} ∴M∩N={﹣1}， 故选B
【点评】本题考查指数型不等式的解集和集合的交集，属基本题．
2. 设函数f（x）=3|x﹣1|﹣2x+a，g（x）=2﹣x2，若在区间（0，3）上，f（x）的图象在g（x）的图象的上方，则实数a的取值范围为（ ） A．（2，+∞） B．[2，+∞） C．（3，+∞） D．[3，+∞）
?2﹣1＜2x+1＜22?﹣1＜x+1＜2?﹣2＜x＜1，即N={﹣1，0}
参考答案：
A
【考点】函数恒成立问题．
【专题】转化思想；分析法；函数的性质及应用．
【分析】由题意可得3
|x﹣1|
﹣2x+a＞2﹣x在0＜x＜3上恒成立，即有a＞2﹣x+2x﹣3
22|x﹣1|
的
最大值，由二次函数和指数函数的最值的求法，可得x=1时，右边取得最大值，即可得到a的范围．
【解答】解：由题意可得3|x﹣1|﹣2x+a＞2﹣x2在0＜x＜3上恒成立， 即有a＞2﹣x+2x﹣3
2
|x﹣1|
的最大值，
由h（x）=2﹣x2+2x﹣3|x﹣1|=3﹣（x﹣1）2﹣3|x﹣1|，
当x=1∈（0，3）时，h（x）取得最大值，且为3﹣0﹣1=2， 即有a＞2． 故选A．
【点评】本题考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离，以及转化为求函数的最值，通过二次函数和指数函数的最值求法，考查运算能力，属于中档题．
3. 已知函数f(x)＝，若f()＋f(1)＝0，则实数的值等于( ) A．－3 B．－
1 C．1 D．3 参考答案： A
4. 已知=(cosπ, sinπ), , ，若△OAB是以O为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB的面积等
于 （ ）
A．1 B． C．2 D．
参考答案：
解析：设向量=(x, y)，则，
即或
，∴S△AOB=
=1。
，即. ∴
5. 某校为了了解学生的课外阅读情况,随机调查了50名学生,得到他们在某一天各自的课外阅读所用的时间数据,结果可以用右图中的条形图表示,根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为( ) A. 0.65h 1.15h
B. 0.95h C.
D. 1.25h
参考答案：
C
6. 设全集A．
参考答案： D
7.
下
列
四
组
函
数
中
，则
B．
C．
等于 ( ）
D．
，表示同一函数的
是 （ ）
A．C．
B．
D．
参考答案：
D 略 8. 已知
，若
，则下列不等式成立的是 ( )
A. B.
C. D.
参考答案：
C 【分析】
根据不等式的性质对每一个选项进行证明，或找反例进行排除.
【详解】解：选项A：取，此时满足条件，则，显然
，所以选项A错误； 选项B：取B错误；
，此时满足条件
，则
，显然
，所以选项
选项C：因为选项C正确； 选项D：取D错误； 故本题选C.
，当
，所以，因为，所以，
，则，所以，所以选项
【点睛】本题考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键.
9. 函数
中错误的是（ ）
的图象向右平移个单位后与函数的图象重合，则下列结论
A. 的一个周期为 B. 的图象关于对称
C. 是的一个零点 D. 在上单调递减
参考答案：
D 【分析】
先由图像的平移变换推导出
的解析式，再根据图像性质求出结果．
【详解】解：函数合，
的图象向右平移个单位后与函数的图象重
，
的一个周期为
，故A正确；
的对称轴满足：，，
当时，的图象关于对称，故B正确；
由，得，
是的一个零点，故C正确；
当时，，
在
故选：D．
上单调递增，故D错误．
【点睛】本题考查命题真假的判断，考查三角函数的平移变换、三角函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．
10. 函数的定义域为( )
A．参考答案： B 略
B． C． D．
二、 填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分 11. 已知函数参考答案：
，则不等式
是 .
的解集
略
12. 下列各组中的两个函数是同一函数的是 ．（填序号）
① y1 =③ y1 = x，y2 =
2
，y2 = x－5； ② y1 =；④ y1 = x，y2 =
2
，y2 =
；⑤ y1 = (
2
；
)，y2 = 2x－5；
⑥ y1 = x－2x－1，y2 = t－2t－1. 参考答案： ④⑥
13. 函数的定义域是 ．
参考答案：
[2,＋∞)
14. 函数参考答案：
15. 已知向量（ ）． A. C.
B. D.
的单调递减区间为
，若对任意的，恒成立，则必有
参考答案：
C 【分析】
将不等式平方得到关于二次不等式，二次恒成立，则【详解】因为两边平方化简得:又
，
恒成立，
对任意的
恒成立，
，化简计算得到答案.
则，
即所以所以即
，
， ， ，
故选:C．
【点睛】本题考察了向量的计算，恒成立问题，二次不等式，将恒成立问题转化为是解题的关键.
16. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=，2an+1﹣2an=1，则= ．
参考答案：
【考点】85：等差数列的前n项和．
【分析】推导出数列{an}是首项为，公差为的等差数列，由此利用等差数列通项公
式、前n项和公式能求出的值．
【解答】解：∵数列{an}的前n项和为Sn，且满足a1=，2an+1﹣2an=1， ∴数列{an}是首项为，公差为的等差数列， ∴an=
=
，
Sn==，
==． ．
故答案为：
17. 在△ABC中，∠C是钝角，设则
的大小关系是___________________________。
参考答案：
略
三、 解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤
18. （本小题满分12分）
某家庭进行理财投资,根据长期收益率市场调查和预测，投资债券等稳键型产品A的收益
与投资成正比，其关系如图1所示；投资股票等风险型产品B的收益与投资的算术平方根成正比，其关系如图2所示（收益与投资单位：万元）。 （1）分别将A、B两种产品的收益表示为投资的函数关系式；
（2）该家庭现有10万元资金，并全部投资债券等稳键型产品A及股票等风险型产品B两种产品，问：怎样分配这10万元投资，才能使投资获得最大收益，其最大收益为多少万元？
参考答案：
解：（1）设投资为x万元，
A、B两产品获得的收益分别为f（x）、g（x）万元，
由题意，
又由图知f（1.8）=0.45 ，g(4)=2.5；解得
∴
(不写定义域扣1分）
（2）设对股票等风险型产品B投资x万元，则对债券等稳键型产品A投资（10-x）万元，
记家庭进行理财投资获取的收益为y万元， 则
设
，则
，
∴
当也即时，y取最大值
答：对股票等风险型产品B投资万元，对债券等稳键型产品A投资万元时，
可获最大收益万元.（答1分，单位1分 ）
略
19. 某宾馆有相同标准的床位100张，根据经验，当该宾馆的床价（即每张床位每天的租金）不超过10元时，床位可以全部租出；当床位高于10元时，每提高1元，将有3张床位空闲． 为了获得较好的效益，该宾馆要给床位定一个合适的价格，条件是：①要方便结帐，床价应为1元的整数倍；②该宾馆每日的费用支出为575元，床位出租的收入必须高于支出，而且高得越多越好．若用x表示床价，用y表示该宾馆一天出租床位的净收入（即除去每日的费用支出后的收入）： （1）把y表示成x的函数；
（2）试确定，该宾馆将床价定为多少元时，既符合上面的两个条件，又能使净收入高？
参考答案：
【考点】根据实际问题选择函数类型；分段函数的应用．
【分析】（1）当床价不超过10元时，床位全部租出，该宾馆一天出租床位的净收入为100x﹣575，由于床位出租的收入必须高于支出且x为整数，得到6≤x≤10且x∈N+；当床价超过10元时，该宾馆一天出租床位的净收入为[100﹣3（x﹣10）]x﹣575，化简可得，此时的11≤x≤38；
（2）分两段求函数的最大值，当6≤x≤10，当x=10时，ymax=425；当11≤x≤38且x∈N*时，根据二次函数求最大值的方法求出即可，然后判断去最大．
【解答】解：（1）
（2）当6≤x≤10且x∈N*时，y=100x﹣575， 所以当x=10时，ymax=425；
当11≤x≤38且x∈N时，y=﹣3x+130x﹣575=﹣3（x﹣65/3）+2500/3， 所以当x=22时，ymax=833；
*22
综上，当x=22时，ymax=833．
答：该宾馆将床价定为22元时，净收入最高为833元． 20. 已知
．
（1）若（2）设
，若
，求的坐标； ，求
点坐标．
参考答案：
略
21. （本小题满分16分）
如图，点是单位圆与轴正半轴的交点，点
，
，
，
，
．
，
（1）若（2）若四边形
，求点的坐标；
的最大值．
为平行四边形且面积为，求
参考答案：
解：（1）由点，，可知，．
又，，所以，
于是由分
可得．………………………………………4
， ，
因
，故点
的坐标为
．…………………………………………………8分
（2）分 因
，．因，故．………………10
为平行四边形，故．
()．…………………14分
当时，取最大值
．…………………………………………16分
22. 已知函数g（x）=f（x）+3x（x∈R）为奇函数． （Ⅰ）判断函数f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）若x＞0时，f（x）=log3x，求函数g（x）的解析式．
参考答案：
【考点】函数奇偶性的性质；函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的判断． 【专题】综合题；转化思想；综合法；函数的性质及应用．
【分析】（Ⅰ）函数g（x）=f（x）+3x（x∈R）为奇函数，g（﹣x）=f（﹣x）﹣3x=﹣g（x）=﹣f（x）﹣3x，可得f（﹣x）=﹣f（x），即可判断函数f（x）的奇偶性； （Ⅱ）若x＞0时，f（x）=log3x，求出x＜0，x=0时的解析式，即可求函数g（x）的解析式．
【解答】解：（Ⅰ）∵函数g（x）=f（x）+3x（x∈R）为奇函数， ∴g（﹣x）=f（﹣x）﹣3x=﹣g（x）=﹣f（x）﹣3x， ∴f（﹣x）=﹣f（x） ∴函数f（x）是奇函数； （Ⅱ）设x＜0，则﹣x＞0， ∵x＞0时，f（x）=log3x， ∴f（﹣x）=log3（﹣x）， ∵函数f（x）是奇函数，
∴f（x）=﹣f（﹣x）=﹣log3（﹣x）， ∵g（0）=0，
∴函数g（x）=．
【点评】本题考查函数的奇偶性，函数解析式的确定，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．
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