5.1 定积分的概念与性质-习题

1．利用定积分的定义计算下列积分： ⑴

ba； xdx（ab）

【解】第一步：分割

bak，2,1,1n）（k,，将区间nbaba(k1),ak]，[a,b]分为n个等长的小区间[a,1,n）（k2，每个小区间nnba的长度均为k，

nbak，,1,n）取每个小区间的右端点xka（k2， n在区间[a,b]中插入n1个等分点：xk第二步：求和

对于函数f(x)x，构造和式

Snf(xk)kxkk(ak1k1k1nnnbaba k)nnnbanbababa(ak)(nak) nk1nnnk1baban(n1)baban[na] (nak)nn2nnk1ba1baba1(1)](ba)(a) 2n22nbaba1(ba)()

22n(ba)[a第三步：取极限

令n求极限

limSnlimf(xk)klim(ba)(nnk1nnbaba1) 22nbab2a2baba(ba)(0)(ba)，

2222即得

bab2a2xdx。

2⑵

edx。

01x【解】第一步：分割

1

第5章 定积分及其应用 5.1 定积分的概念与性质 习题解

k,,1,1n），（k2，将区间[0,1]n1k1k,]，,1,1n）分为n个等长的小区间[（k2，每个小区间的长度均为k，

nnnk,1,n）取每个小区间的右端点xk，（k2，

n在区间[0,1]中插入n1个等分点：xk第二步：求和

对于函数f(x)ex，构造和式

Snk1n11nkf(xk)kekeen

nnk1k1k1nxknkn11knn由于数列e为等比数列，其首项为x1e，公比为qen，可知其前n项

1n1nn1n和为

ek1nkne[1(e)]1e1ne(1e)1e1n，于是

Snk1n1nek1nn1e(1e)nf(xk)ke(1e) 11nnk11en1en1n1第三步：取极限

令n求极限

limSnlimnnk1n1nexex1n f(xk)klim(1e) x (1e)limx1x0n1en1en11xexxex=(1e)lim 洛必达法则 (1e)limxx0x01e=(1e)(1)e1，

即得

edxe1。

01x2．利用定积分的几何意义，证明下列等式： ⑴

2xdx1；

01【证明】定积分

2xdx的几何意义是由直线y2x，x1及x轴围成的三角形的面积，

01 2

第5章 定积分及其应用 5.1 定积分的概念与性质 习题解

如图可见 即知，

⑵

1102xdxSOAB；

ABOB211。证毕。 22101x2dx4【证明】定积分

01x2dx的几何意义是由圆弧y1x2与x轴及y轴所围成的四分之

一圆形的面积，

如图可见

⑶

10111x2dxS半圆(OA)212。证毕。

444sinxdx0；

sinxdx的几何意义是由正弦曲线ysinx在[,]上的一段与x轴所

【证明】定积分

围成的图形的面积，

如图可见 图形由两块全等图形组成，

1sinxdxSS2，

其中S1位于x轴下方，S2位于x轴上方，显见S1S2， 从而

sinxdxS2S20，证毕。

20⑷

cosxdx222cosxdx。

【证明】定积分

2cosxdx的几何意义是由余弦曲线ycosx在[2,]上的一段与x轴22所围成的图形的面积，如左图所示，为

cosxdxS221S2,

3

第5章 定积分及其应用 5.1 定积分的概念与性质 习题解



而定积分

20cosxdx的几何意义是由余弦曲线ycosx在[0,]上的一段与x轴

2所围成的图形的面积，如右图所示，为

20cosxdxS2,

由于曲线ycosx关于y轴对称，可知S1S2，亦即S1S22S2，

20即知

cosxdx2221cosxdx。证毕。

3．已知ln21，求出ln2的近似值（取n10，计算01xdx，试用矩形法公式（5.3）

b时取4位小数）。

【解】矩形法公式（5.3）为（i0,1,af(x)dxba(y0y1nyn1)，其中yif(xi),n1），而xi（i1,,n1）为区间[a,b]的n1个等分点。

i1,n1），（i,，

nn11110,,1n）对于f(x)，求出f(xi)，（i,， ini1x1xi1n于是，在区间[0,1]插入n1个等分点xi于是，当n10时，

ln21110101010101010101010dx() 01x10101112131415161718191111111111 1011121314151617181910.10.090910.083330.076920.071430.06667

0.062500.058820.055560.05263

0.718770.7188。

4．证明定积分性质： ⑴

bakf(x)dxkf(x)dx；

ab,1,【证明】在区间[a,b]中插入n1个等分点：xk，（k21n），每个小区间的长度

4

第5章 定积分及其应用 5.1 定积分的概念与性质 习题解

均为k，

对于函数F(x)kf(x)，有：

bakf(x)dxF(x)dx ---- F(x)kf(x)

ablimF(xk)k ---- 定积分F(x)dx的定义

nk1nnbalimkf(xk)k ---- F(x)kf(x)

nk1limkf(xk)k ---- 加法结合律k(ab)kakb

nk1nnklimf(xk)k ---- 极限运算法则limcf(x)climf(x)

nbk1kf(x)dx ---- 定积分f(x)dx的定义

aab⑵

1dxabbadxba。

bak，,1,1n）（k2，每个n【证明】在区间[a,b]中插入n1个等分点：xka小区间的长度均为kba， n对于函数f(x)1，构造和式

k1nbababannba， f(xk)k1k1nnnk1k1k1nn即由定积分定义得

b1dxlim1anbbnklim(ba)ba。

nk1再由上⑴的结论综上得：

akf(x)dxkf(x)dx，即得1dx1dxdx。

aaaababbbba1dxdxba，证毕。

5．估计下列积分的值： ⑴

21(2x2)dx；

2【解】函数f(x)2x在区间[1,2]上，有f'(x)2x0恒成立，

5

第5章 定积分及其应用 5.1 定积分的概念与性质 习题解

知f(x)2x2在区间[1,2]上单调减少，

于是有f(2)f(x)f(1)，亦即22x1， 从而得 2(21)⑵

221(2x2)dx1(21)，亦即2(2x2)dx1。

1254(1sin2x)dx；

1cos2x31cos2x， 22255由x得2x，而知1cos2x1， 4422111313131从而cos2x，即知2cos2x1，

222222222亦即11sinx2，

555从而得 1()4(1sin2x)dx2()，

444445424【解】函数f(x)1sin2x1亦即(1sin2x)dx2。

4⑶

313xarctanxdx；

x10恒成立，,3]上，有f'(x)arctanx 21x3【解】函数f(x)xarctanx在区间[知f(x)xarctanx在区间[1,3]上单调增加， 3于是有 f(1)f(x)f(3)， 3亦即 11arctanxarctanx3arctan3， 33整理得 63xarctanx3

311从而得 (3)1xarctanxdx(3)，

633333 6

第5章 定积分及其应用 5.1 定积分的概念与性质 习题解

亦即

091xarctanxdx332。 3⑷

2ex2xdx。

【解】注意到

02ex2xdxex022xdx(ex022x)dx，

函数f(x)e无不可导点，

x2x11x2x在区间[0,2]上，有f'(x)2(x)e，得唯一驻点x，

221111对比f(0)e1，f()e42e41，f(2)e42e2，

20知在区间[0,2]上有ee于是有 e(20)亦即 2e222x2xe，

141420(ex2x)dxe(20)，

1402ex2xdx2e。

6．设f(x)及g(x)在闭区间[a,b]上连续，证明： ⑴若在[a,b]上，f(x)0，且

baf(x)dx0，则在[a,b]上f(x)0；

【证明】反证法：设有[c,d][a,b]，使f(x)0不成立，

则由题设在[a,b]上，f(x)0，不妨设x[c,d]时f(x)0， 于是，由于f(x)在[c,d][a,b]上连续，知f(x)在[c,d]上可积， 即由曲边梯形面积定义知，

dcf(x)dx0，

但由于在[a,b]上，f(x)0，即知在[a,c]和[d,b]上，有f(x)0， 于是由定积分性质5.1.4知，有

caf(x)dx0，，

bd从而由已知亦即

caf(x)dxf(x)dxf(x)dx0，

ccbadd得到

dcf(x)dx[f(x)dxf(x)dx]0，

这与上面的

dcf(x)dx0相矛盾，从而假设不成立，

即使命题得证成立。

7

第5章 定积分及其应用 5.1 定积分的概念与性质 习题解

⑵若在[a,b]上，f(x)0，且f(x)0，则

baf(x)dx0；

【证明】由定积分性质5.1.5，若在[a,b]上，f(x)0，则，

因此，下面只须由f(x)0证明，

应用反证法，设

baf(x)dx=0，

则由⑴的已证命题，由在[a,b]上，f(x)0，且

baf(x)dx=0，则在[a,b]上

f(x)0，

这与已知f(x)0相矛盾，可知假设

⑶若在[a,b]上，f(x)g(x)，且

baf(x)dx=0不成立，从而命题得证。

babaf(x)dxg(x)dx，则在[a,b]上f(x)g(x)。

【证明】设F(x)g(x)f(x)，即由题设f(x)g(x)得F(x)0，

于是，待证命题转换成为： 在[a,b]上，F(x)0，且

baf(x)dx=0，则在[a,b]上F(x)0，

而这是已证命题⑴，从而命题得证成立。

7．根据定积分的性质及上题的结论比较下列各组积分的大小： ⑴

10x2dx，x3dx；

0123223【解】当0x1时，对不等式x1两端同乘x0，得xx，亦即xx，

即由定积分的性质（推论5.1.1）得

⑵

10xdxx3dx。

02110xdx，ln(1x)dx；

01【解】令f(x)xln(1x)，即有f'(x)1易见当0x1时，成立f'(x)0，

x1， 1x1x知函数f(x)xln(1x)在[0,1]上单调增加， 又因f(0)0ln(10)0，

知当0x1时，有f(x)xln(1x)0， 亦即当0x1时，成立xln(1x)，

8

第5章 定积分及其应用 5.1 定积分的概念与性质 习题解

即由定积分的性质（推论5.1.1）得

⑶

10xdxln(1x)dx。

01edx，(x1)dx；

001x1【解】令f(x)ex(x1)，即有f'(x)ex1，

由于yex是增函数，由x0得ee1， 亦即当0x1时，f'(x)ex10，

从而知函数f(x)ex(x1)在[0,1]上单调增加， 而f(0)e(01)0，

可知f(x)e(x1)0在[0,1]上恒成立，

x亦即当0x1时，e(x1)，

x0x0即由定积分的性质（推论5.1.1）得

10exdx(x1)dx。

01⑷

sinxdx，2020sinxdx。

0【解】由于

sinxdx xu (sinu)(du)22020sinudu2sinxdx，

0而当 0x2时，sinx0，使得

2020sinxdx0，

对比即得

sinxdx20sinxdx。

9