金融数学试卷及答案

一、填空〔每空4分，共20分〕

1．一股股票价值100元，一年以后，股票价格将变为130元或者90元。假设相应的衍生产

品的价值将为U=10元或D=0元。即期的一年期无风险利率为5%。那么t=0时的衍生产品

的价格_______________________________。〔利用博弈论方法)

2．股票现在的价值为50元，一年后，它的价值可能是55元或40元，一年期利率为4%，

那么执行价为45元的看跌期权的价格为___________________。〔利用资产组合复制方法〕

3．对冲就是卖出________________， 同时买进_______________。

4．Black-Scholes公式_________________________________________________。

5．我们准备卖出1000份某公司的股票期权，这里s050,X40,r0.05,0.30,T1.

因此为了对我们卖出的1000份股票期权进行对冲，我们必须购置___________股此公司 的股票。〔参考N(1.060)0.8554,N(1.100)0.8643〕

得分 二、计算题 1．〔15分〕假设股票价格模型参数是：u1.7,d0.8,S0120.一个欧式看涨期权到期时间t3,执行价格X115,利率r0.06。请用连锁法那么方法求出在t0时刻期权的价格。

2．〔15分〕假设股票价格模型参数是：u1.1,d0.9,S0100.p0.85一个美式看跌期权到期时间t3,执行价格X105,利率r0.05。请用连锁法那么方法求出在t0时刻期权的价格。

3.〔10分〕利用如下列图的股价二叉树，并设置向下敲出的障碍为跌破65元，X50元，r0.06.求t0时刻看涨期权的价格。

109.4 87.5 70 70 136.7 87.5 56 56 44.8 35.84

4.〔15分〕假设股票指数点位是702，其波动率估计值0.4,指数期货合约将在3个月后到期，并在到期时用美元按期货价格结算。期货合约的价格是715美元。假设执行价是740美元，短期利率为7%，问这一期权的理论价格应是多少？〔参考 N(0.071922)0.4721,N(0.071922)0.5279,N(0.271922)0.3936，N(0.271922)0.6064〕

5.〔15分〕根据条件S43,X40,0.1414,r0.05,T1年，求出期权的价格C〔由 Black-Scholes公式〕，，和。3周后，假设股票价格S44，那么根据看涨期权的微

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分方程

dCdtdS1(dS)2求出期权的价格C新。〔参考N(0.9358)0.825,N(0.9358)0.175 2N(0.7944)0.788,N(0.7944)0.212〕

三、证明题(10分)

G1222GG设G(S,t)是下面方程的解： SrS0。该方程不是Black-Scholes方程，

t2SS2因为它没有最后一项，rG. 证明：V(S,t)ertG(S,t)满足Black-Scholes方程。

一、填空〔每空4分，共20分〕

1．3.5973元 2．0.96元 3．一分期权、股股票 4．VS0N(d1)XerTN(d2) 5．855 二、计算题〔共70分〕 1．〔15分〕

364.8 204 163.2 120 589.56 277.44 ----------------------------------5分 130.56 96 76.8 61.44

股票价格的二叉树图

erdq0.29，Ver[qa(1q)b]〔连锁法那么〕 ------------------------------------7分

ud

238.2101.7 54.77 39.67 474.56 162.44 ---------------------------------15分 15.56 17．8 4.25 0

期权价格的二叉树图 2．〔15分〕

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121 110 99 100 133.1 108.9 ----------------------------------5分 89.1 90 81 72.9

股票价格的二叉树图

erdq0.7564，Ver[qa(1q)b]〔连锁法那么〕 ------------------------------------7分

ud0 0.59 2.53 2.74 0 0 ---------------------------------15分 10.9 10 19 27.1

期权价格的二叉树图 3.〔10分〕 u87.5561.25， d0.8 7070erdq0.58，Ver[qa(1q)b]〔连锁法那么〕 ------------------------------------4分

ud62.2 42.1 20.5 23.0 86.7 37.5 ---------------------------------10分 0 0 0 0 期权价格的二叉树图 4.〔15分〕

根据 F715, T0.25， 0.4， X740， r0.07 有 FX0.9662, T0.2 ------------------------2分

F2ln()(r)X2 d10.071922，d2d10.271922 -----------------------6分

得 N(d1)0.4721, N(d2)0.3936 -------------------------10分 Ger(FN(d1)XN(d2))45.48美元 -------------------------15分

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5.〔15分〕

根据条件得 d10.9358, d20.7944。 -------------------------2分 依据Black-Scholes公式 C5.49。 ------------------------4分 N(d1)0.825, 1s2T2d1e20.042,

12 rerTXN(d2)2S22.2819. ------------------------10分 3周后，假设股票价格 S44，这里 dt3, dS1,

52 CnewColddtdS(dS)26.21. -------------------------15分 三、证明题(10分)

把 G(s,t)ertV(s,t) 代入到方程得

reert12V(s,t)ertV122rt2VrtV serse2t2ssrtV1222VV(srsrV)0 2t2ssV1222VVsrsrV0 t2ss2故 V满足Black-Scholes方程。

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