分式函数的图像与性质

学习过程 1、分式函数的概念

ax2bxcx212x1(a,b,c,d,e,fR)的函数称为分式函数。形如y2如y2，y，

dxexfx2xx4x1等。 yx32、分式复合函数

a[f(x)]2bf(x)c22x1(a,b,c,d,e,fR)的函数称为分式复合函数。如y形如y，2xd[f(x)]ef(x)f12sinx2，y3sinx3※学习探究 yx12等。

x3探究任务一：函数yax问题1：yb(ab0)的图像与性质 xaxb(a,b,c,dR)的图像是怎样的？ cxd2x1例1、画出函数y的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。

x12x12(x1)112x11

【分析】y即函数y的图像可以经由函数y2，

xx1x1x1x1的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示：

2x1的图像，如下： x1单调减区间：(,1),(1,)； 值域：(,2)(2,)； 对称中心：(1,2)。

axb【反思】y(a,b,c,dR)的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些

cxd由此可以画出函数y条件决定？ 【小结】yaxb(a,b,c,dR)的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，cxd需要借助“分离常数”的处理方法。

axb(a,b,c,dR)的图像与性质 cxdd（1）定义域：{x|x}；

ca（2）值域：{y|y}；

cdd（3）单调性：单调区间为(,),(,+)；

ccdada（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线x,y，对称中心为点(,)；

cccc分式函数y（5）奇偶性：当ad0时为奇函数； （6）图象：如图所示

b(ab0)的图像是怎样的？ x11例2、根据yx与y的函数图像，绘制函数yx的图像，并结合函数图像指出函

xx问题2：yax数具有的性质。

【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间，奇偶性，周期性，凸凹性（此点不作要求），关键点坐标（最值点、与坐标轴交点）、辅助线（对称轴、渐近线）。绘图过程中需综合考虑以上要素，结合逼近与极限思想开展。 解：函数的定义域为：{x|x0}； 根据单调性定义，可以求出yx增区间：(,1][1,) 减区间：[1,0),(0,1]

函数的值域为：(,2][2,) 函数的奇偶性：奇函数

函数图像的渐近线为：yx,x0 函数的图像如下：

【反思】如何绘制陌生函数的图像？研究新函数性质应从哪些方面入手？ 【小结】分式函数yax1的单调区间 xb(a,b0)的图像与性质： x（1）定义域：{x|x0}；

（2）值域：{y|y2ab,或y2ab}； （3）奇偶性：奇函数； （4）单调性：在区间(,在区间(0,bb][,+)上是增函数， aabb],[,0)上为减函数； aa（5）渐近线：以y轴和直线yax为渐近线；

（6）图象：如右图所示 例3、根据yx与y数具有的性质。

【分析】结合刚才的绘图经验，不难绘制出yx解：函数的定义域为：{x|x0}； 根据单调性定义，可以判断出yx11的函数图像，绘制函数yx的图像，并结合函数图像指出函xx1的图像 x1的单调性，单调增区间为：(,0),(0,)x函数的值域为：R

函数的奇偶性：奇函数

函数图像的渐近线为：yx,x0 函数的图像如下：

11与yx的图像又是怎样的呢？思考xx12by2x+与y3x的图像是怎样的呢？yax(a,bR,ab0)的图像呢？

xxx1函数yx的图像如下，绘制的过程可以根据刚才的绘图经验。

x11【注】yx(x)，由于yf(x)与yf(x)的图像关于x轴对称，所以还

xx111可以根据yx的图像，对称的画出yx的图像。同样的道理yx的图像

xxx1与yx的图像关于x轴对称，所以图像如下：

x【反思】结合刚才的两个例子，yx【小结】yax（i）yaxb(a,bR,ab0)的图像如下： xb(a0,b0) xb(ii)yax(a0,b0)

xb(iii)yax(a0,b0)x(iv)yaxb(a0,b0)[来源:学+科+网Z+X+X+K] xbyax(a,bR,ab0)的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。

xax2bxc(a,b,c,d,e,fR)的图像与性质 探究任务二：函数y2dxexf2x2x1问题3：函数y的图像是怎样的？单调区间如何？

x12x2x12(x1)23(x1)222(x1)3 【分析】yx1x1x12x2x12所以y的图像与y2x的图像形状完全相同，只是位置不同。

x1x图像的对称中心为：(1,3)

单调增区间为：(,2][0,) 单调减区间为：[2,1),(1,0] 值域：(,7][1,)

图像如下：

x1的性质如何呢？单调区间是怎样的呢？

2x2x1ax2bxc(a,b,c,d,e,fR)而言，分子次数高于分母时，【小结】对于分式函数y2dxexf【反思】函数y可以采用问题3中的方法，将函数表达式写成部分分式，在结合函数的图像的平移，由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。对于分子的次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为0），再着力研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。如：

Ax2BxC(A,B不同时为0). 二次分式函数具有形式yf(x)2DxExF我们将要研究它的定义域,值域,单调性,极值. 1. 定义域和有界性

当方程Dx2ExF0有解,设x1,x2(x1x2)是Dx2ExF=0两个根.则函数定义域

{xR|xx1xx2}.当Ax12Bx1C0,lim或Ax22Bx2C0,lim.此

xx1xx222时函数无界.当Ax1Bx1C=0且Ax2Bx2C=0,函数有界且为常值函数(很少遇到的

x21情况,比如y2).所以通常当E24DF0,二次分式函数是无界的.xx1,xx2是

x1函数的渐近线.

当E24DF0,函数定义域为R.函数有界. 2. 单调性,极值,值域

当E24DF0,Dx2ExF0,可以将函数化为

x的方程yDx2ExF=Ax2BxC..即x2DyAxEyBFyC0.对于

值域中的每一个y,方程都有实数解,当DyA0,0,当DyA=0,验证是否有解.这样就可以求出值域.值域的两个端点(方程的两个解)为函数极大值和极小值.但为了计算在何处取得极值,需将极值代入x2DyAxEyBFyC0函数解出x,计算可能有点

慢.下文会给出一个简便的计算方法.

limf(x)xAA,根据极值与的大小即可判断单调区间.E24DF0这种情况最多有三DD个单调区间.

当E24DF0,用判别式法可能会产生增根.此时通常会解出yR.出现这种情况,求解

Dx2ExF0和Ax2BxC0.分式可化为一次分式,根据定义去求出这个一次分

1x12xx21x3式值域.比如y1x1且x2

2xx21x2x2x2x分离变量和换元再用基本不等式求解也是解决二次分式的常规方法,再.下面给出一个具体例子.

23x23x22y.首先定义域{x|xx50}解得2xx5{x|x116x13. 121)x(121}.分离分子中的二次项得y3222xx5t13.代入得 令t6x13,x6函数值域(-,-3126731267)Ç(,+)

21213x23x23, 根据limxx2x5可判断出单调区间

增区间(-,11111367),(1367,121),(121,+) 6622 1111减区间(1367,121),(121,1367)6226共有5个单调区间

顺便再算一下函数零点3x23x2=0解得x1=有了这些信息,我们很容易画出函数大致图像

11333,x2=333 66