分式(经典讲义)

专题一 分式有意义的条件、分式的值为0的条件 1．使代数式x有意义，那么x的取值范围是（ ） x A．x≥0 B．x≠1 C．x＞0 D．x≥0且x≠1

3x2272．如果分式的值为0，则x的值应为 ．

x3x293．若分式2的值为零，求x的值．

xx9

专题二 约分

m2mnn24．化简的结果是（ ） 2mmn A．2n2 B．

mnmnmn

C． D．

mmmn

9a(yx)25．约分：=____________．

27x27y

6．从下列三个代数式中任选两个构成一个分式，并将它化简：4x2－4xy+y2，4x2－y2，2x－y．

1

状元笔记 【知识要点】 1．分式的概念 一般地，如果A，B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子2．分式的基本性质 分式的分子与分母乘(或除以)同一个不等于0的整式，分式的值不变．用式子表示为： AACAAC=，=(其中A，B，C是整式，C≠0)． BBCBBCA叫做分式． B3．约分与通分 约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分． 通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分． 【温馨提示】

1．分式的值为0受到分母不等于0的限制，“分式的值为0”包含两层意思：一是分式有意义，二是分子的值为0，不要误解为“只要分子的值为0，分式的值就是0”． 2．分式的基本性质中的A、B、C表示的都是整式，且C≠0． 3．分子、分母必须“同时”乘C(C≠0)，不要只乘分子（或分母）．

4．性质中“分式的值不变”这句话的实质，是当字母取同一值（零除外）时，变形前后分式的值是相等的．但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的． 【方法技巧】

2

1．分式的符号法则可总结为：一个负号随意跑，两个负号都去掉．就是说，分式中若出现一个负号，则此负号可“随”我们的“意”（即根据题目要求）跑到分子、分母以及分式本身三者中的任何一个位置上；若分式中出现两个负号，则可以将这两个负号同时去掉．

2．分式的分子、分母系数化整问题的基本做法是分式的分子、分母都乘同一个“适当”的不为零的数，这里的“适当”的数又分两种情况：若分式分子、分母中的系数都是分数时，“适当”的数就是分子、分母中各项系数的所有分母的最小公倍数；若分式的分子、分母中各项系数是小数时，则“适当的数”就是10n，其中n是分子、分母中各项系数的小数点后最多的位数．最后根据情况需要约分时，则要约分．

分式概念B

一、选择题

212232x2522,,x中，分式共有( )． 1．在代数式x,,xy,3x3x42x3(A)2个 (B)3个 (C)4个 (D)5个

2．下列变形从左到右一定正确的是( )．

aa2(A)

bb23．把分式

aac(B)

bbcaxa (C)

bxbaa2(D)2

bb2x中的x、y都扩大3倍，则分式的值( )． xy(A)扩大3倍 (B)扩大6倍 (D)不变

1(C)缩小为原来的

34．下列各式中，正确的是( )． (A)

xyxy

xyxy(B)

xyxy

xyxy3

(C)

xyxy

xyxy(D)

xyxy

xyxyx2x25．若分式的值为零，则x的值为( )．

x2(A)－1 二、填空题

6．当x______时，分式7．当x______时，分式

(B)1 (C)2 (D)2或－1

x1有意义． 2x12的值为正． 2x1x2x

8．若分式的值为0，则x的值为______．

|x|1

m22m19．分式约分的结果是______． 21m10．若x2－12y2＝xy，且xy＞0，则分式11．填上适当的代数式，使等式成立：

a2ab2b2()(1)；

a2b2abx3y的值为______． 2xy(2)

()2x；

2x2x12x

ab()； (3)

aba1b1 三、解答题

(4)

22xy． xy()4

12．把下列各组分式通分：

(1)

13．把分子、分母的各项系数化为整数：

a15,2,; 2b3a6abc (2)

ba,． a2aba2b2(1)

0.2x0.5;

0.3x0.04

32ab2． (2)2ab3

14．不改变分式的值，使分式的分子与分式本身不含负号：

(1)

x2y； 2xy (2)

(ab)．

2ab(x2x)(x22x1)15．有这样一道题，计算，其中x＝2080．某同学把x＝2080错抄成x＝2008，22(x1)(xx)但他的计算结果是正确的．你能解释其中的原因

2x3xy2y11316．已知，求分式的值． xyx2xyy

5

17．当x为何整数时，分式

4的值为正整数． 2(x1)x2y2z218．已知3x－4y－z＝0，2x＋y－8z＝0，求xyyz的值．

6

分式的运算A

专题一 分式的混合运算 1．化简1 A．

121的结果是（ ） x1x21x12 B．

1x12 C．x12 D．2x1

x2x1． 2．计算

x1

xx2x3．已知：y÷－x＋3．试说明不论x为任何有意义的值，y的值均不变．

x2xx2

专题二 分式的化简求值

7

m2n24．设m＞n＞0，m＋n＝4mn，则的值等于（ ）

mn2

2

A．23

B．3 C．6

D． 3

a2-2abb2b5．先化简，再求值：，其中a=－2，b=1． aba2-b2

xxx2x2)26．化简分式(，并从—1≤x≤3中选一个你认为适合的整数x代入求值． x1x1x2x1

状元笔记 【知识要点】 1．分式的乘除 乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母． 除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． acadadacac 上述法则用式子表示为，． bdbdbdbcbc2．分式的乘方 anan 分式乘方要把分子、分母分别乘方．用式子表示为()n． bb3．分式的加减 同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减； 异分母分式相加减，先通分，变为同分母的分式，再加减． ababacadbcadbc 上述法则用式子表示为，． cccbdbdbdbd 8 4．负整数指数幂 an1(a≠0)，即a－n(a≠0)是an的倒数． na5．用科学记数法表示小于1的正数 小于1的正数可以用科学记数法表示为a×10－n的形式，其中1≤a＜10，n是正整数． 【温馨提示】

1．分式的运算结果一定要化为最简分式或整式．

ab2a2b2)2．分式乘方时，若分子或分母是多项式，要避免出现类似(这样的错误． 2cc3．同分母分式相加减“把分子相加减”就是把各个分式的“分子整体”相加减，各分子都应加括号，

特别是相减时，要避免出现符号错误． 【方法技巧】

1．分式的乘除运算归根到底是乘法运算，其实质是分式的约分．

2．除式或被除式是整式时，可把它们看作分母是1的分式，然后依照除法法则进行计算．

分 式——分式的运算B

一、选择题

1．下列各式计算结果是分式的是( )．

na(A)

mbn3m(B).

m2n35(C)

xxx37x2(D)23

3y4y2．下列计算中正确的是( )． (A)(－1)0＝－1

(B)(－1)－1＝1

9

3(C)2a1 2a3 (D)(a)3(a)71 a43．下列各式计算正确的是( )． (A)m÷n·m＝m (B)mn11m(C)mm1(D)n÷m·m＝n n 4．计算(ab4aa)(ba)5的结果是( )． (A)－1

(B)1

5．下列分式中，最简分式是( )．

(A)21xy15y2

(C)x2.2xxyyy2

6．下列运算中，计算正确的是( )． (A)

1112a2b2(ab) (C)

cac1a1a

ba27．aba的结果是( )．

(A)2a

(B)4a

8．化简(11xyxy)x2y2的结果是( )．

(A)

1 1xy(B)xy 二、填空题

9．(x2y)3(x2y2)＝______．

m

(C)

1a (D)aab x2yy2(B)x x2yy2(D)x

(B)babc2bac

(D)

1b1ba0 b2(C)

bab(D)

a

(C)x－y (D)y－x

10

y23210．[(x)]＝______．

11．a、b为实数，且ab＝1，设P“＝”)． 12．

ab11,Q，则P______Q(填“＞”、“＜”或a1b1a1b12a1＝______． a242a11＝______． 3|x||x3|13．若x＜0，则

14．若ab＝2，a＋b＝3，则

三、解答题

11＝______． abaa15．计算：()2()3(a4b)．

bb

4y24x2y16．计算：x2y

x2y4y2x2

x211(1) 17．计算：2x2x1x1

2xyx2y2、N22，用“＋”或“－”连结M、N，有三种不同的形式：M＋N、M－N、18．已知M2xyxy2N－M，请你任选其中一种进行计算，并化简求值，其中x∶y＝5∶2．

11

19．先化简，再求值：

22(x1)x20．已知x2－2＝0，求代数式2的值． x1x1x1x，其中x＝2． 2x1x1 21．等式

12

8x9AB对于任何使分母不为0的x均成立，求A、B的值． 2xx6x3x2

分 式——分式方程A

一、选择题 1．方程(A)2 2．解分式方程(A)x＝1 3．要使(A)0 4．已知

23的解为( )． xx1(B)1

(C)－2

(D)－1

122，可得结果( )． x1x1(B)x＝－1

(C)x＝3

(D)无解

x442x的值和的值互为倒数，则x的值为( )． x54x(B)－1

(C)

1 2(D)1

x1y3，若用含x的代数式表示y，则以下结果正确的是( )． x2y4(A)yx10 3(B)y＝x＋2 (C)y10x 3(D)y＝－7x－2

5．若关于x的方程(A)3

6．若关于x的方程

3k1有增根，则k的值为( )． x11x(B)1

(C)0

(D)－1

xm2有正数解，则( )． x3x3

(B)m＜6且m≠3 (D)m＞6

13

(A)m＞0且m≠3 (C)m＜0

7．完成某项工作，甲独做需a小时，乙独做需b小时，则两人合作完成这项工作的80％，所需要的时间是( )．

4(A)(ab)小时

5(C)

4ab小时

5(ab)

411(B)()小时

5ab(D)

ab小时 ab8．a个人b天可做c个零件(设每人速度一样)，则b个人用同样速度做a个零件所需天数是( )．

a2(A)c 二、填空题

9．x＝______时，两分式10．关于x的方程

c(B)2

ac2(C)a

(D)

a c243与的值相等． x4x1a4xb3的解为______． 22ax35的根是1． ax411．当a＝______时，关于x的方程12．若方程

x1421有增根，则增根是______． x1x1a1的解是负数，则a的取值范围为____________． x113．关于x的方程

14．一艘轮船在静水中的最大航速为20千米/时，它在江水中航行时，江水的流速为

v千米/时，则它以最大航速顺流航行s千米所需的时间是______． 三、解方程

x113. 15．

x22x

x24x2x1 16．2x1x114

17．

63x52 x1xxx四、列方程解应用题

118．甲工人工作效率是乙工人工作效率的2倍，他们同时加工1500个零件，甲比乙提前18个小时

2完工，问他们每人每小时各加工多少个零件?

19．甲、乙两地相距50km，A骑自行车，B乘汽车，同时从甲城出发去乙城．已知汽车的速度是自行车速度的2.5倍，B中途休息了0.5小时还比A早到2小时，求自行车和汽车的速度．

15

20．面对全球金融危机的挑战，我国政府毅然启动内需，改善民生．国务院决定从2009年2月1日

．．．．．．．

起，在全国范围内实施“家电下乡”，农民购买入选产品，政府按原价购买总额的13％给予补贴返还．某村委会组织部分农民到商场购买入选的同一型号的冰箱、电视机两种家电，已知购买冰箱的数量是电视机的2倍，且按原价购买冰箱总额为40000元、电视机总额为15000元．根据“家电下乡”优惠政策，每台冰箱补贴返还的金额比每台电视机补贴返还的金额多65元，求冰箱、电视机各购买多少台?

(1)设购买电视机x台，依题意填充下列表格：

项目 购买数原价购买总额 政府补贴返 补贴返还总 每台补贴返量 还 家电种类 /元 还比例/％ 金额/元 /台 金额/元 冰箱 电视机 x 40000 15000 13 13 (2)列出方程(组)并解答．

分式方程B

专题一 解分式方程 1．方程

13的解是 ． x-12x32x12．解分式方程：． 33x19x3 16 3．解分式方程： 专题二 分式方程无解 4．关于x的分式方程

A．1

xm2无解，则m的值是（ ） x1x1314+＝2． x2xx2x B．0 C．2 D．–2

5．若关于x的方程2xm2无解，则m的值是______． x22xxm226．若关于x的分式方程无解，则m的值为__________． x3x3专题三 列分式方程解应用题

7．甲、乙两班学生参加植树造林．已知甲班每天比乙班少植2棵树，甲班植60棵树所用天数与乙班植

70棵树所用天数相等．若设甲班每天植树x棵，则根据题意列出方程正确的是（ ） A． Ｃ．60706070 B． x2xxx260706070 Ｄ． x2xxx28． 为了改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种480棵树，由于青年志愿者的支援，每日1比原计划多种，结果提前4天完成任务.原计划每天种多少棵树？ 39．某校为了进一步开展“阳光体育”活动，计划用2000元购买乒乓球拍，用2800元购买羽毛球拍．已知一副羽毛球拍比一副乒乓球拍贵14元．该校购买的乒乓球拍与羽毛球拍的数量能相同吗？请说明理由． 17

状元笔记 【知识要点】 1．分式方程

分母中含未知数的方程叫做分式方程． 2．解分式方程的一般步骤

【温馨提示】

1．用分式方程中各项的最简公分母乘方程的两边，从而约去分母．但要注意用最简公分母乘方程两边各项时，切勿漏项．

2．解分式方程可能产生使分式方程无解的情况，那么检验就是解分式方程的必要步骤．

18