【新教材】数学必修第一册 充分条件与必要条件

课后训练巩固提升

A组 1.下列语句不是命题的是( ) A.3是15的约数 B.x2+2x+1≥0 C.4不小于2 D.你准备考北京大学吗? 答案:D 2.若p是q的充分条件,则q是p的( ) A.充分条件 B.必要条件

C.既不是充分条件也不是必要条件 D.既是充分条件又是必要条件 答案:B 3.如果“若x>2,则p”为真命题,那么p不能是( ) A.x>3 B.x>1 C.x>0 D.x>-1 解析:大于2的实数不一定大于3,故选A. 答案:A 4.“x>0”是“x≠0”的( ) A.充分条件 B.必要条件

C.既是充分条件又是必要条件

D.既不是充分条件也不是必要条件 解析:“x>0”⇒“x≠0”,反之不一定成立. 答案:A 5.设p:-1≤x<2,q:x解析:因为q是p的必要条件,所以p⇒q,在数轴上画出-1≤x<2,借助数轴可知a≥2.

答案:C 6.已知A⊆B,则“x∈A”是“x∈B”的 条件,“x∈B”是“x∈A”的 条件.

解析:因为A⊆B,由子集的定义知x∈A⇒x∈B,故“x∈A”是“x∈B”的充分条件;“x∈B”是“x∈A”的必要条件. 答案:充分 必要

7.已知“若q,则p”为真命题,则p是q的 条件. 解析:因为“若q,则p”为真命题, 所以q⇒p,即p是q的必要条件. 答案:必要

8.若“x>1”是“x>a”的充分条件,则a的取值范围是 . 答案:a≤1

9.将下列命题改写成“若p,则q”的形式,并判断其真假. (1)末位数字是0或5的整数,能被5整除; (2)方程x2-x+1=0有两个实数根;

(3)正n边形(n≥3)的n个内角全相等.

解:(1)若一个整数的末位数字是0或5,则这个整数能被5整除.是真命题. (2)若一个方程是x2-x+1=0,则它有两个实数根.是假命题.

(3)若一个多边形是正n边形(n≥3),则这个正n边形的n个内角全相等.是真命题.

10.试判断下列各题中,p是q的什么条件. (1)p:x-2=0,q:(x-2)(x-3)=0;

(2)p:m<-3,q:方程x2-x-m=0无实根; (3)p:a>b,q:a>b+1.

解:(1)因为x-2=0⇒(x-2)(x-3)=0,而(x-2)(x-3)=0x-2=0,所以p是q的充分条件,不是必要条件. (2)因为x2-x-m=0无实根时, Δ=(-1)2-4×(-m)=1+4m<0,

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即m<-,所以q:m<-.

所以p⇒q,qp,

即p是q的充分条件,不是必要条件.

(3)因为a>b+1⇒a>b,而a>ba>b+1,所以p是q的必要条件,不是充分条件. 44B组 1.已知命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题,那么下列命题中真命题的个数为( )

①M中的元素都不是P的元素; ②M中有不属于P的元素; ③M中有属于P的元素;

④M中的元素不都是P的元素. A.1 B.2 C.3 D.4

解析:因为命题“非空集合M中的元素都是集合P中的元素”是假命题,所以M中有不属于P的元素,也可能有属于P的元素,故②④正确,因此选B. 答案:B 2.二次函数y=x2+mx+1的图象在x>1上随x的增大而增大的一个充分条件是( ) A.m=-3 B.m=-2 C.m=-4 D.m=-5 解析:选项A,当m=-3时,y=x2-3x+1=x-325

-在24

x>上随x的增大而增大在x>1上随x的增大而增

大; 选项B,当m=-2时,y=x2-2x+1=(x-1)2在x>1上随x的增大而增大;

选项C,当m=-4时,y=x2-4x+1=(x-2)2-3在x>2上随x的增大而增大在x>1上随x的增大而增大; 选项D,当m=-5

时,y=x2-5x+1=

大.故选B. 答案:B 3.若“x>1或x<-2”是“x1或x<-2”是“x1或x<-2, 但x>1或x<-2x52(𝑥-2)

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−4在x>2上随x的增大而增大在x>1上随x的增大而增

215

∴a≤-2,∴a的最大值为-2.

答案:B 4.“|x|<3”是“x<3”的 条件.

解析:由|x|<3,解得-35.已知p:A={x|-1≤x≤5},q:B={x|-m解析:因为p是q的充分条件,所以A⊆B,如图,

-𝑚<-1,则{解得m>3. 2𝑚-1>5,

综上,m的取值范围为m>3. 答案:m>3

1

3

6.若不等式-1记A={𝑥|2<𝑥<2},B={x|a-11

𝑎-1≤,132

由已知A⊆B,得{解得≤a≤. 322𝑎+1≥,

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3

综上,实数a的取值范围为2≤a≤2.

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7.已知p:x2+x-6=0和q:mx+1=0,且p是q的必要条件但不是充分条件,求实数m的值.

解:p:x∈{x|x2+x-6=0}={2,-3},q:x∈{x|mx+1=0},因为p是q的必要条件但不是充分条件,所以{x|mx+1=0}⫋{2,-3}.

当{x|mx+1=0}=⌀,即m=0时,符合题意;

当{x|mx+1=0}≠⌀时,由{x|mx+1=0}⫋{2,-3},得-𝑚=2或-𝑚=-3,解得m=-2或m=3. 综上可知,m=0或-或.

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