专题13 二项式定理-2019年高考数学母题题源系列(浙江专版)(原卷版)

专题13 二项式定理

【母题来源一】【2019年高考浙江卷】在二项式(2x)9的展开式中，常数项是______________；系数为有理数的项的个数是______________． 【答案】162 5

r【解析】由题意，(2x)9的通项为Tr1C9(2)9rxr(r0,1,2,0当r0时，可得常数项为T1C9(2)9162；

,9)，

若展开式的系数为有理数，则r=1,3,5,7,9，有T2, T4, T6, T8, T10共5个项．

【名师点睛】此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次，计算要细心，确保结果正确．

【母题来源二】【2018年高考浙江卷】二项式(3x【答案】7

18)的展开式的常数项是______________． 2x181834rr38r1rr)的展开式的通项公式为Tr1C8(x)()C8rx【解析】二项式(x， 2x2x23令

84r120，可得r2，故所求的常数项为C82=7． 32325432【母题来源三】【2017年高考浙江卷】已知多项式(x1)(x2)xa1xa2xa3xa4xa5，则a4=______________，a5=______________． 【答案】16

4

rrmm2mr2m32C3Cmxrm， 【解析】(x1)(x2)的展开式的通项为C3xC2x222分别取r0,m1和r1,m0可得a441216，

2取rm0，可得a5124．

【名师点睛】本题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题．二项展开式定理的问题也是高考命题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题：

1

rnrr（1）考查二项展开式的通项公式Tr1Cnab（可以考查某一项，也可考查某一项的系数）；

（2）考查各项系数和和各项的二项式系数和； （3）二项式定理的应用．

【命题意图】

考查二项式定理及其应用，意在考查学生的逻辑推理能力和基本计算能力． 【命题规律】

高考对二项式定理的考查主要是利用二项展开式的通项求展开式中的特定项、特定项的系数、二项式系数等，同时考查赋值法与整体法的应用，题型一般为选择题或填空题． 【答题模板】

1．求解二项式问题，一般步骤如下： 第一步：首先求出二项展开式的通项； 第二步：根据已知求r； 第三步：得出结论．

2．求二项展开式的特定项问题，实质是考查通项的特点，一般需要建立方程求k，再将k的值代回通项求解，注意k的取值范围（k0,1,2,L,n）． （1）第m项：此时k+1=m，直接代入通项．

（2）常数项：即这项中不含“变元”，令通项中“变元”的幂指数为0建立方程． （3）有理项：令通项中“变元”的幂指数为整数建立方程． 【方法总结】 1．二项式定理的概念

n1n1knkknn(ab)nC0bLCnabLCnb(nN)，这个公式叫做二项式定理，等号右边naCnakn的多项式叫做(ab)的二项展开式，共有n+1项，其中各项的系数Cn(k{0,1,2,L,n})叫做二项式系

数．二项展开式中的CnankkTk1Ckb． naknkbk叫做二项展开式的通项，用Tk1表示，即通项为展开式的第k1项：

注意：二项式系数是指Cn，Cn，…，Cn，它是组合数，只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；

2

01n而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关．如

rnrrb．当然，某些特殊的二(abx)n的展开式中，第r＋1项的二项式系数是Crn，而该项的系数是Cnan项展开式如(1x)，各项的系数与二项式系数是相等的．

2．活用二项式系数的性质

mnm（1）对称性：与首末两端等距离的两个二项式系数相等，即CnCn．

n1n1时，二项式系数是递增的；当k时，二项22式系数是递减的，当n是偶数时，中间一项的二项式系数取得最大值；当n是奇数时，中间两项的二项

（2）增减性与最大值：二项式系数为Cn，当kk式系数相等，且同时取得最大值． （3）各二项式系数的和

12nn(ab)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C0nCnCnCn2．

二项展开式中，偶数项的二项式系数的和等于奇数项的二项式系数的和，即

213n1C0． nCnCnCn23．必记结论 （1）Cnaknkbk是第k＋1项，而不是第k项．

（2）通项公式中a，b的位置不能颠倒．

b，n，k，Tk＋1五个元素，（3）通项公式中含有a，只要知道其中四个就可以求出第五个，即“知四求一”． 4．求展开式系数的最大项：如求(abx)n(a,bR)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设

AkAk1A,A,,A展开式各项的系数分别为12从而解出k来，即得． n1，且第k项系数最大，应用AAk1k5．“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(axb)n、(ax2bxc)n(a,b,cR)的式子，求其展开式的各项系数之和常用赋值法，只需令x1即可；对形如axby的式子，求其展开式

n各项系数之和，只需令xy1即可．

2n6．若f(x)a0a1xa2xanx，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为

a0a2a4f(1)f(1)f(1)f(1)，偶数项系数之和为a1a3a5．

22注意：某一项的系数是指该项中字母前面的常数值(包括正负符号)，它与a,b的取值有关，而二项式系

3

数与a,b的取值无关．

1．【浙江省重点中学2019届高三12月期末热身联考】(A．80 C．40

21)5展开式中，12的系数是

xxB．80 D．40

252．【浙江省金华市浦江县2018年高考适应性考试】(x1)(x1)的展开式中x5的系数为

A．1 C．11

B．9 D．21

243．【浙江省宁波市2019届高三上学期期末考试】设(x3x2)a0a1xa8x8，则a7

A．4 C．12

B．8 D．16

4．【浙江省杭州市2018届高三第二次高考科目教学质量检测】二项式(2x)的展开式中含x3项的系数是 A．80 C．40

B．48 D．80

1x55．【湖北省荆门市沙洋中学、龙泉中学、钟祥一中、京山一中四校2019届高三下学期六月考前模拟】在

2(x2)6的展开式中，常数项为

xA．240 C．60

B．60 D．240

26．【浙江省七彩联盟2018~2019学年第一学期高三11月期中考试】若(2x1n)展开式的所有二项式系x

4

数之和为32，则该展开式的常数项为 A．10 C．5

B．10 D．5

4827．【浙江省金华十校2019届高三上学期期末联考】已知(x1)(x2)a0a1(x1)a2(x1)a8(x1)8，则a3

B．48 D．64

3A．64 C．48

8．【浙江省台州市2019届高三上学期期末质量评估】在(x2x)的展开式中常数项为 A．28 C．56

B．28 D．56

1x49．【浙江省绍兴市2018届高三第二次（5月）教学质量调测】二项式(3x的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为 A．7 C．4

B．5 D．3

1n)的展开式中只有第11项3x8210．【浙江省2019年高考模拟训练卷三】若(x2)a0a1(x1)a2(x1)a8(x1)8，则

a0a1a2a8______________．

211．【山东省临沂市、枣庄市2019届高三第二次模拟预测】已知二项式(x)展开式中含x3项的系数为

ax6160，则实数a的值为______________．

612．【浙江省温州市2019届高三2月高考适应性测试】若xa0a1(x1)a5(x1)5a6(x1)6，

则a0a1a2a3a4a5a6______________，a5______________．

7213．【浙江省金华十校2019届第二学期高考模拟】已知(2x)(12x)a0a1xa2xa8x8，则

a1a2a8______________，a3______________．

14．【浙江省三校2019年5月份第二次联考】已知二项式(2x1n)的展开式中，第5项是常数项，则nx______________，二项式系数最大的项的系数是______________．

5

35215．【浙江省湖州三校2019年普通高等学校招生全国统一考试】若(x3)(2x1)a0a1xa2xa8x8，则a0______________，a0a2a8______________．

a5(1x)5，

5216．【浙江省温州九校2019届高三第一次联考】已知(1x)a0a1(1x)a2(1x)则a3______________．

2517．【山东省栖霞市2019届高三高考模拟】(1x2x)展开式中的x6的系数为______________．

18．【浙江省2019届高考模拟卷一】设(2x)10a0a1xa2x2则a2______________，a10x10，

(a0a2a4a10)2(a1a3a5a9)2的值为______________．

2319．【浙江省嘉兴市2019届高三第一学期期末检测】已知(2x)(1ax)的展开式的所有项系数之和为27，

则实数a______________，展开式中含x2的项的系数是______________．

21020．【浙江省“七彩阳光”联盟2019届高三期初联考】(xx1)展开式中所有项的系数和为

______________，其中x3项的系数为______________．

5234521．【浙江省衢州市五校联盟2019届高三年级上学期联考】若(3x1)a0a1xa2xa3xa4xa5x，

则a1______________，a0a1a2a3a4a5______________．

5222．【浙江省杭州市学军中学2018年5月高三模拟】设(x2)a0a1(x1)a2(x1)a5(x1)5，

则a0______________，a12a23a34a45a5______________．

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