数学妙解技能之一运算性技能解读

数学妙解技能之一 运算性技能

数学解题少不了运算，运算既要快捷，又要准确，这在数学竞赛中显得更为突出，一般地，每一道竞赛题都有一定的运算量，通过深层次的思维减少运算量，也有一些如下的技能。

1． 估算

估算，实质是一种快速的近似计算，它的基本特点是对数或式作适当扩大或缩小，从而对运算结果确定出一个范围，或作出一个估计。更本质地看，估算应该是一种数学意识，是在蜂拥而来的众多信息面前，迅速捕捉一批有用或关键信息的那种数学素质，它往往可以跳过繁冗的逻辑推理过程，直接给出结果，或将解题的关键“一眼看穿”。

估算是一种随着科学和数学发展而呈现出来需要掌握的重要技能。有时，结果的对错，除了直接检查运算过程之外，还可用估算法进行检验。

2x1ax1(a0). 例1. （2000年全国高考题）解不等式

例2. 等差数列{a n}，a1＞0，前n项和为Sn，且S9＞0，S10＜0，当n为何值时，Sn最大？

例3. 已知当x∈[0,1]时，不等式x2cosθ-x(1-x)+(1-x)2sinθ>0恒成立，试求θ的取值范围。

2． 算两次

数学妙解技能二讲

算两次指的是对同一数学对象，当用两种不同的方法将其整体分为部分时，则按两种方式所求得的总和应是相等的。因此，算两次不仅是将同一个量从两个不同的角度计算两次，利用“殊途同归”的等量关系达到“出奇制胜”的目的；而且体现了从两个方面计算的解题方法，这其中蕴涵着换一个角度看问题的转换思想。算两次的技能，不仅是数学工作者进行创造发明的法宝，而且也是竞赛者进行解题的重要法宝，算两次原理又称为富比尼原理。

例4. 直线l过△ABC的重心G，与边AB、AC分别相交于B1，C1，

1AC1AB1ACAB，，

求证：13。

xy)(1a)f(x)af(y)2，其中a是一个实数，且0a1，

例5. 设f为[0,1]，

1f()求7.

xy,f(3． 叠加

在解题时，先将各部分叠加组合或者先寻找它的若干特别的解，或者先寻找被分割部分的解，然后利用它们的适当叠加组合，以求得该问题的解，这就是我们常采用的叠加法解题，这也是一种重要的解题技能。

例6. 设正数a,b,c

222222222abc33(abbcca) abc1是满足的实数，求证：

a,b,cR例7. 设，且abc1，求证：

1113a3(bc)b3(ca)c3(ab)2.

数学妙解技能二讲

4． 蜕化

蜕化，实际上就是特殊的一般化，希尔伯特曾说过：在解决一个数学问题时，如果我们没有获得成功，原因常常在于我们没有认识到更一般的观点，即眼下要解决的只不过是一连串有关问题的一个环节，特殊情形往往涉及一些无关的细节而掩盖了问题的关键，一般情形则更明确地表达了问题的本质，这在处理平面解析几何问题显得更为突出：

22AxByCxDyF0 （*）表示曲线。 一般地，二元二次方程

(xm)2(yn)202222(xm)(yn)0，则（*）表示一个点Pab若方程（*）能化成或

（m,n），可以视为蜕化椭圆或蜕化圆。

若方程（*）能化成f1(x,y)f2(x,y)0的形式，则（*）表示两条直线l1:f1(x,y)0，

l2:f2(x,y)0，当l和l相交时，可以视为蜕化双曲线；当l与l平行时，可以视为蜕化1212

抛物线。

这样，点坐标与直线方程都用二元二次方程为表示，即把点与直线都统一在圆锥曲线的范畴之内，因此，在解决点与直线的有关问题时，可以化归到圆锥曲线中去研究。

例8. 有一圆与直线2xy50相切于点M（－2,1），且过点N（3,2），求此圆的方程.

252xy30相切于点5，过点（1，0）且与直线：例9. 已知一椭圆的离心率为

e25P(,)33，长轴平行于y轴，求此椭圆方程.

数学妙解技能二讲

x2y221(ab0)2例10. 过椭圆ab上任意一点P的切线与过椭圆长轴两端点A1、A2所

引切线交于点Q1、Q2，求证：A1Q1·A2Q2为一定值.

5． 引参

有些问题，通过增设参数，将问题转化为关于参数的较简单的或较一般性的问题，往往能发现问题的本质，找到简捷的求解方法或统一的求解方法。

例11. （2003年湖南省竞赛题）设x,y,z均取正实数且xyz1，求三元函数

3x2x3y2y3z2zf(x,y,z)221x1y1z2的最小值，并给出证明。

a2b2c21a,b,c是正实数，求证：(abc)bccaab2例12. 设.