Bernstein-Kantorovich算子高阶导数的点态不等式

第２９卷第５期　Ｖｏ１．２９　Ｎｏ．５　丽水学院学报　ＪＯＵＲＮＡＬ　ＯＦ　ＬＩＳＨＵＩ　ＵＮＩＶＥＲＳＩＴＹ　２００７年１Ｏ月　０Ｃｔ．２００７　Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ－－Ｋａｎｔｏｒｏｖｉｃｈ算子高阶导数的点态不等式　程　丽　（丽水学院数理学院，浙江丽水３２３０００）　摘要：给出了Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ－－Ｋａｎｔｏｒｏｖｉｃｈ算子高阶导数的点态不等式。　关键词：Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ－－Ｋａｎｔｏｒｏｖｉｃｈ算子；导数；光滑模　中图分类号：Ｏ１７４．４１　文献标志码：Ａ　文章编号：１００８－－６７４９（２００７）０５－－００１０－－０３　Ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ　Ｉｎｅｑｕａｔｉｏｎ　Ｔｈｅｏｒｅｍ　ｆｏｒ　Ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ　ｏｆ　Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ－－Ｋａｎｔｏｒｏｖｉｃｈ　Ｏｐｅｒａｔｏｒｓ　Ｃｈｅｎｇ　Ｌｉ　（Ｃｏｌｌｅｇｅ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｐｈｙｓｉｃｓ。Ｌｉｓｈｕｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｌｉｓｈｕｉ　Ｚｈｅｊｉａｎｇ　３２３０００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ　ｗｅ　ｇｉｖｅ　ｔｈｅ　ｐｏｉｎｔｗｉｓｅ　ｉｎｅｑｕａｔｉｏｎ　ｆｏｒ　ｔｈｅ　ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ　ｏｆ　Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ－－Ｋａｎｔｏｒｏｖｉｃｈ　ｏｐ—　ｅｒａｔｏｒｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ－－Ｋａｎｔｏｒｏｖｉｃｈ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ；ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ；ｍｏｄｕｌｉ　ｏｆ　ｓｍｏｏｔｈｎｅｓｓ　０　引百　设ｃ［ｏ・１］是由［Ｏ，１］上全体连续函数组成的空间，其范数为ｆＩ　ｆ　ｆＩ＝　；　Ｉ，（ｚ）Ｉ。对于ｆ∈ｃ［ｏ，１］，Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ—　Ｋａｎｔｏｒｏｖｉｃｈ算子定义为Ｋ　（，，ｚ）＝（　＋１）　＾＝０　ｚ）Ｊ耍，（￡）出，　ｚ）三三三（：）ｚ　（１一ｚ）一，它们的线性组合定义为（见　ｎ＋１　、…　３￣［１３）Ｋ　（厂，ｒ，ｚ）＝∑Ｃｉ（　）Ｋ　（厂，ｚ），其中ｎｉ和Ｃｉ（　）满足条件：　（口）　＝ｎｏ＜…＜　≤ｃ　；　（６）∑　Ｉ　Ｃｉ（　）Ｉ≤ｃ；　（ｆ）∑三　Ｃｌ（　）一１；　（　）∑　ｉ＝０ｃ　（　）ｎ７Ｐ＿０，ｐ一１　２“９ｒ－－１。　ｓｕｐ　（１）　。　ｒ阶Ｄｉｔｚｉａｎ－－Ｔ。ｔｉｋ光滑模定义为田（，，￡）一。　Ｉ△　（　，（ｚ）Ｉ，其中Ｐ（ｚ）一￣／　丁　硅（ｒ／ｚ）　（）∈［。．】］当　≤ｚ≤１一　时，△≯，（ｚ）＝∑；：。（一１）　（　），（ｚ＋（ｒ／２一　）　（ｚ）），否则△　，（ｚ）＝ｏ。　Ｚ，Ｄｉｔｚｉａｎ在文［２］中利用函数的光滑性刻画Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ算子低阶导数（一阶和二阶导数），开始了关于Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ型算子　导数与函数光滑性之间关系的研究。周定轩在文ｒ３］中推广了这一研究，考虑了任意阶导数的情形，得到如下结果。　收稿日期：２ｏｏ６—１２—１３　基金项目：浙江省高校重点学科基金资助项目（２００５）　作者简介：程丽（１９７８一　），女，浙江丽水人，讲师，硕士。　维普资讯 http://www.cqvip.com

第５期　程丽：Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ－－Ｋａｎｔｏｒｏｖｉｃｈ算子高阶导数的点态不等式　定理Ａ　设，∈ｃ［ｏ，１］，ｒ∈ＮＩＡ）ｔ￣ＯＡｒ（，，￡）＝ｏ（　）（　＞ｏ），则有Ｊ　Ｋ　（，，ｚ）［￣Ｍ（ｍｉｎ（ｎ２，　））　。，等　价于（ｃ，　（，。￡）一Ｏ（ｔ。）。　本文继续了这方面的工作，借助于ｒ阶Ｄｉｔｚｉａｎ—Ｔｏｔｌｋ光滑模刻画Ｂｅｒｎｓｔｅｌｎ—Ｋａｎｔｏｒｏｖｉｃｈ算子ｒ＋Ｓ阶导数的特征，主　要结果如下：　定理１　设ｓ。ｒ∈Ｎ。ｒ≥１，０≤Ｓ＜　。０≤Ａ≤１且Ｓ＜ｄ＜ｒ＋ｓ。则对于厂　∈ＣＥｏ。１］和（ｃ，≯（厂”。￡）≤Ｃ（　），有　　（Ｉｚ）　１　引理　ｌ≤Ｍ（ａｒｉｎ（　，　））　”。。　（２）　这里及以下Ｃ表示与　、ｚ、ｆ无关的正常数，只是在不同的地方可能取值不同。　对于ｆ∈ｃ［ｏ。１］。Ｋ一泛函定义为　Ｋ，．　（，，ｔ　）一ｉｎｆ｛ｌＪ，～ｇ　ｌＪ＋ｔ　ｌＪ　Ｃｇ　ｌ　。Ｊｇ‘ｒ＿”∈Ａ．Ｃ．Ｉ　｝，　（，，ｔ　）＝ｉｎｆ｛ｌＪ，一ｇ　ｌＪ＋ｔ　ｌＪ　Ｃｇ　ｌ　＋ｔＪ　由文［１］。存在常数Ｃ＞０，使得　Ｉ：　（￡，≯（，，￡）≤Ｋ　，　（ｆ。ｔ　）≤Ｃ　（，，￡），　（３）　ｌＪ　ｇ　ｌＪ　：ｇ　”∈Ａ．Ｃ．１　｝。　（，，￡）≤Ｋ，。　（，，ｔ　）≤Ｇ￡，≯（，，￡）。　（４）　对于，　∈ｃ［ｏ，１］。Ｓ∈Ｎ，通过简单的计算有（见文［１］）　Ｋ　ｃ，，ｚ　＝　圭　茎．ｆ　…．ｆ　１　Ｊ　ｉ．＋１厂　（　＋客蜥）ｄ　ｄ蛳…ｄ地户一　ｃｚ　。　设　≤Ｓ，Ｓ∈Ｎ，对于ｇ∈ｃ［ｏ。１］作辅助算子　Ｋ　（ｇ，ｚ）＝（　＋１）　∑ｌ＿　…ｌ　ｌ　ｇ（￡＋∑　）ｄｔｄｕ　…ｄｕ　Ｐ，ｒ“（ｚ），　Ｉ一０　…　ｆ一１　和它们的线性组合Ｋ　（ｇ，ｒ，ｚ）一∑Ｃ　（　）Ｋ　ｌ＇ｊ（ｇ，ｚ）・其中ｍ和Ｃ　（　）满足（１）。显然，Ｋ　（ｇ・ｚ）和Ｋ　（ｇ，ｒ。ｚ）都是　ｃ［ｏ，１］上有界线性算子，而且Ｋ　（１。ｚ）＝１和Ｋ　（１，ｒ。ｚ）一１。　当，　∈［Ｏ，１］，有　Ｋ　（厂　，ｚ）一　Ｌ　我们需要以下引理　Ｋ　（，，ｚ）。　Ｋ　（厂＂，ｒ，ｚ）一　一卜　Ｋ　（，，ｒ，ｚ）。　引理１　设　∈Ｎ，ｒ∈Ｎ，０≤Ａ≤１，则对于，∈ｃ［ｏ，１］。有　Ｉ　（ｚ）Ｋ　：：（，，ｚ）Ｊ≤Ｃａ　。　“一”（ｚ）ｌＪ，ｌＪ，　其中文（ｚ）＝　（ｚ）＋　。　１　（５）　证　如果　（ｚ）≤ｎ－　。则文（ｚ）～　Ｋ：：：（，，ｚ）一　。对于ｆ∈［Ｏ。１］，不妨设Ｆ（￡）　＝　・　＋骞蜥）　…　ｃ　其中ａｋ（ｎ＋ｌ－ｓ）＝（ｎ＋１）ｆ￣Ｆ（ｔ）ｄｔ．　一　０Ｈ１一ａＩ，△　ａＩ一　△（△　（　＋１　：（　１）∑　。（　（　）Ｊ　Ｆ（ｔ）ｄｒ，得到　Ｊ　（ｚ）Ｋ：ｒ）（，，ｚ）Ｊ≤ＣＡｎ　“一”（ｚ）ｌＪ，ＩＪ。　如果　（ｚ）＞ｎ－ｌ／２。则乱（ｚ）～　（ｚ）。由文［１］和［４］知，ｆ　（ｚ）∑户：：：（ｚ）ｆ≤Ｃｎ　，得到　Ｉ　（　（　）Ｉ≤（　＋１）　”（ｚ　‘　ｚ　Ｉ一　０　）　“刷　＋　ｉ　１）ｄ￡ｄ　．．ｄ地ｌＩ≤　千１　１　ｉ　１　ｃ　弓Ｉ理１证毕　’ｃ　ａ…　ｃｚ　ｔ＝　０　ｆ×ｍａ一　・・刷１　ｋ４－１　＋　）ｄｔｄｕ￣＂＂ｄｕ，’’’　’’　＾＋　ｌ‘　≤　Ｃｎ　“　（ｚ）ｌＪ，ＪＪ。　维普资讯 http://www.cqvip.com

丽水学院学报　引理２　设　∈Ｎ，ｒ∈Ｎ，０≤　≤１，则对于　’∈Ａ．Ｃ．１　，有　２００７年　ｌ　（　）Ｋ　（，）ｌ≤Ｃ　ｌｌ　，“　证　不妨设Ｆ（　）满足Ｆ“　（　）一，（　），由ｉ－１－］中的（９．４．３），有　（６）　（ｚ）Ｋ　（，，　）　Ｊ　）ｌ≤　Ｉ　）薹　１）户…．＾（　）　Ｉ其中口＾（　＋１）一（　＋１）Ｉ　Ｆ（ｕ）ｄｕ，　＾一口蚪ｌ一口＾，△　口＾一Ａ（Ａ广　口＾）。　当１≤ｋ≤Ｔ／一ｒ一　—１，由文ｉ－１－］可得　ｌ△　口　（　＋１）ｌ≤　ｌ　：　ｌ　Ｆ‘　（“）ｌ　ｄｕ≤　ｃ南　㈣ｆ≤　答　。　另一方面，当　一０或　—ｒ—　时，有　ｌ△　口。（　＋１）ｌ≤Ｃｎ　Ｉ　“　ｌ　Ｆ‘　’（“）ｌ　ｄｕ≤　Ｃｎ　ｌｌ　，　ｌ　Ｉｌ　ｎ＋ｌ““　。Ｈ　（１一“）　ｄｕ≤Ｃｎ　。ｌ　，　’ｌｌ　。ｌ　同理，　ｌ△　口…（　＋１）ｌ≤　。ｌ　ｌｌｌ。。。　利用ＨＯｌｄｅｒ不等式和［４３中的引理３．１和引理３．２，有　（　）　（　）ｌ≤Ｃｎ　）ｌ　，∽ｌｌｌ。。　而　≤　）ｌ　ｌ　薹　（　Ｉ￣￣ｆ　（（薹　（　≤Ｃ　ｌｌ　，“　ｌｌ—．　引理２证毕。　＋而ｉ　）≤　）　。＋（薹　告　））　。）　２　定理的证明　定理１的证明　对于任何ｇ　∈Ａ．Ｃ－　根据引理１和引理２得到　ｌ　（　）Ｋ　（，。　）ｌ—Ｃｌ　（　）Ｋ：：　（，，　）ｌ≤Ｃｎ　（ｍｉｎ（ｎＴ。　（　）））　’ｌｌ　结合Ｋ一泛函的定义。（３）式和（４）式不难得到　一ｇ　ｌｌ＋Ｃｌ　ｇ‘ｌ　’ｌｌ，　　（ｌ　）Ｋ：　（，，　）ｌ≤Ｃｎ　。　“　’（　）ｃ￡，；＾（　，ｙ／－１／２　＂（　）），　由此可知定理１得证。　参考文献　［１］Ｄｉｔｚｉａｎ　ｚ，Ｔｏｔｉｋ　Ｖ．Ｍｏｄｕｌｉ　ｏｆ　Ｓｍｏｏｔｈｎｅｓｓ［Ｍ］．Ｎｅｗ　Ｙｏｒｋ：Ｓｐｒｉｎｇ－Ｖｅｒｌａｇ，１９８７．　［２］Ｄｉｔｚｉａｎ　ｚ．Ｄｅｒｉｖａｔｉｖｅｓ　ｏｆ　Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ　ａｎｄ　ｓｍｏｏｔｈｎｅｓｓ［Ｊ］．Ｐｒｏｃ　Ａｍｅｒ　Ｍａｔｈ　Ｓｏｃ，１９８５，９３：２５—３１．　［３］Ｚｈｏｕ　Ｄ　Ｘ．Ｏｎ　ｓｍｏｏｔｈｎｅｓｓ　ｃｈａｒａｃｔｅｒｉｚｅｄ　ｂｙ　Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ－－ｔｙｐｅ　ｏｐｅｒａｔｏｒｓ［Ｊ］．Ｊ　Ａｐｐｒｏｘ　Ｔｈｅｏｒｙ，１９９５，８１　ｌ３０３－－３１５．　［４］Ｄｉｔｚｉａｎ　ｚ．Ａ　ｇｌｏｂａｌ　ｉｎｖｅｒｓｅ　ｔｈｅｏｒｅｍ　ｆｏｒ　ｃｏｍｂｉｎａｔｉｏｎｓ　ｏｆ　Ｂｅｒｎｓｔｅｉｎ　ｐｏｌｙｎｏｍｉａｌｓ［Ｊ］．Ｊ　Ａｐｐｒｏｘ　Ｔｈｅｏｒｙ，１９７９，２６：２７７－－２９２