概率论与数理统计2.4.1 连续型随机变量及其概率密度的定义及性质

JINING UNIVERSITY

教师姓名 陈洁 教学设计

课程名称 授课章节 授课对象 教学目标 《概率论与数理统计》 §2.4.1连续型随机变量及其概率密度的定义及性质 机械设计制造及自动化、材料科学与工程专业等 掌握连续型随机变量分布函数、概率密度函数的定义及性质，并会求解连续型随机变量取值的概率。 教学方式 教学内容 教学重点 教学难点 启发式 连续型随机变量分布函数、概率密度函数的定义及性质。 连续型随机变量分布函数、概率密度函数的定义及性质 连续型随机变量概率密度函数的性质 采用多媒体课件辅助，首先对连续型随机变量分布函数、教学方法和策略 概率密度函数的定义及性质进行深入讲解，举例说明性质的用法，以学生为教学主体，共同完成教学目标。 学生已经掌握了命概念，会运用概率密度函数的性质解决学情分析 具体问题。 师生互动，启发式教学引导学生思考并进而解决问题；深教学评价 入分析，用例题加深学生对知识点的理解。 课程资源 参考书目，网上教学视频，网络微课教学

教学过程： 一、定义 设F(x)为随机变量X的分布函数，若存在非负可积函数f(x)，使得 xxF(x)P{Xx}f(x)dxf(t)dt(x) 补充说明 则称X为连续型随机变量，f(x)称为X的概率密度函数，简称为 概率密度或密度函数或密度. F(x) 图1 f(x) X x 二、性质 (1) f(x)≥0 (2)f(x)dx1F()y 曲线下x轴上所围面积为1 0图2 x注：a.性质(2)是用来求待定常数的方法； 深入讲解各个性质的具体应用。 b.若某函数满足这两条则一定可作为某连续性随机变量的概率 密度函数. 例1 设 f(x)，g(x)都是概率密度函数，求证 01 h(x)f(x)(1)g(x), 也是一个概率密度函数. 证明：由已知得f(x)≥0，g(x)≥0，f(x)dx1 ， g(x)dx1. 

故h(x)0. 由01，则011，又h(x)dx(f(x)(1)g(x))dx f(x)dx(1)g(x)dx11b故h(x)≥0也是一个概率密度函数. (3)P{aXb}f(x)dxay a0图3 bx(4) 连续型随机变量取任何实数值a的概率等于0. 证明：P {Xa}limP{aXah}limh0h0aahf(x)dx0 由性质(4)知：P{aXb}P{aXb}P{aXb}P{aXb} (5) 在 f ) 的连续点处有： f(x)F'(x).(x baf(x)dx 证明：F(x)xf(t)dt(x)连续型随机变量取值落在某某一区间的概率与区间的开闭 无关。 由变上限函数的积分求导公式，得 F'(x)f(x). 注：性质(5)是用来求概率密度f(x)的方法. x1,0，得 f(x)例如 F(x)lnx, 1xe, 1, xe. 1 1xe,, x 0, 其他