二次函数与图形面积

1. 已知抛物线y＝－x2＋bx＋c的图象过点A(4，0)、B(1，3)． (1)求抛物线的表达式；

(2)求出抛物线的对称轴和顶点坐标；

(3)抛物线的对称轴为直线l，设抛物线上的点P(m，n)在第四象限，点P关于直线l的对称点为E，点E关于x轴的对称点为F，若以O、A、P、F四点组成的四边形的面积为20，求m、n的值．

164bc0b4解：(1)将点A(4，0)、B(1，3)代入抛物线y＝－x＋bx＋c得，解得，

c01bc32

∴抛物线的表达式为y＝－x2＋4x； b

(2)对称轴为直线x＝－2a＝－

4＝2，顶点坐标为(2，4)；

21(3)抛物线的对称轴为直线x＝2，设抛物线上的点P(m，n)在第四象限，则点P关于直线l的对称点为E(4－m，n)，

点E关于x轴的对称点为F(4－m，－n)， 若以O、A、P、F四点组成的四边形的面积为20，

11

则S四边形OPAF＝S△AOF＋S△AOP＝2×4×(－n)＋2×4×(－n)＝－4n＝20，得n＝－5，将(m，－5)代入y＝－x2＋4x， 解得m＝5或m＝－1. ∵点P(m，n)在第四象限， ∴m＝5，n＝－5.

2. 抛物线y＝ax2＋bx＋c经过原点O、B(1，3)、C(2，2)，与x轴交于另一点N. (1)求抛物线的表达式；

8(2)连接BC，若点A为BC所在直线与y轴的交点，在抛物线上是否存在点P，使得S△OAP＝15S△ONP，若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 解：(1)将0(0，0)、B(1，3)、C(2，2)三点的坐标分别代入抛物线

abc3a2y＝ax2＋bx＋c，可得4a2bc2，解得b5，

c0c0∴所求抛物线的表达式为y＝－2x2＋5x； (2)存在，

3kbk1设BC所在直线的表达式为y＝kx＋b，将点B、C的坐标代入可得，解得，

22kbb4则y＝－x＋4.

把x＝0代入y＝－x＋4得y＝4， ∴点A(0，4)，

5

把y＝0代入y＝－2x2＋5x得x＝0或x＝2， 5

∴点N(2，0)，

设点P的坐标为(x，y)，

1115522

S△OAP＝2OA·x＝2x，S△ONP＝2ON·y＝2×·(－2x＋5x)＝(－2x＋5x)， 248852由S△OAP＝15S△ONP，即2x＝15·(－2x＋5x) 4解得x＝0(舍去)或x＝1， 当x＝1时，y＝3，

∴存在点P，其坐标为(1，3)．