宋仁帅
一．解答题（共30小题）
1．如图，已知∠AOB是直角，∠AOC=46°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， （1）试求∠MON的度数；
（2）当∠AOC的大小在10°～90°之间变化时，请问∠MON的大小是否变化？并说明理由．
2．如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，BC、BD为折痕，试判断BC、BD的位置关系．
3．如图所示，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，若∠AOB+∠EOF=156°，求∠EOF的度数．
4．如图，将长方形纸片的一角斜折过去，使点B落在点D处，EF为折痕，再把FC折过去与FD重合，FH为折痕，问：
（1）EF与FH有什么样的位置关系？
（2）∠CFH与∠BEF有什么样的数量关系？
5．如图所示，OE和OD分别是∠AOB和∠BOC的平分线，且∠AOB=90°． （1）若∠BOC=40°，求∠EOD的度数；
（2）若∠AOB+∠BOC=x°，直接写出用含x的式子表示∠EOD的度数．
6．如图所示，两个相同的三角形有一个公共顶点，其中OA⊥OB，OC⊥OD，图中①、②分别是两个三角形有重叠部分和无重叠部分的两种放置状态．
（1）如图①，若∠BOC=60°，求∠AOD的度数；
（2）如图②，猜想∠AOD和∠BOC的大小关系，并写出理由．
7．如图，O是直线AB上的点，OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线． （1）求∠DOE的度数．
（2）若只将射线OC的位置改变，其他条件不变，那么∠DOE的度数会有变化吗？ （3）若∠AOB=n°（n＜180），其他条件不变，则∠DOE的度数是多少？
8．如图，一张长方形纸片，按如图的分法折叠一角，折痕为EF，如果∠1=40°，试求∠2的度数．
9．如图1所示，已知∠AOC=120°，∠BOC=30°，OM平分∠AOB，ON 平分∠BOC．
（1）∠MON= _________ ；
（2）如图2，∠AOC=120°，∠BOC=30°，分别作∠AOC，∠BOC的平分线OM，ON，能否求出∠MON的度数？若能，求出其值；若不能，说明理由； （3）设∠AOC=α，∠BOC=β（α＞β），分别作∠AOC，∠BOC的平分线OM，ON，求出∠MON的度数= _________ ．
10．如图，∠AOB=100°，OE是∠BOC的平分线，OD是∠AOC的平分线．求∠EOD的度数．
11．下面是初一（2）班马小虎同学解的一道数学题． 题目（原题中没有图形）：在同一平面上，若∠AOB=70°，∠BOC=15°，求∠AOC的度数． 解：根据题意画出图形，如图所示， ∵∠AOC=∠AOB﹣∠BOC =70°﹣15° =55°
∴∠AOC=55°
若你是老师，会判马小虎满分吗？若会，说明理由；若不会，请指出错误之处，并给出你认为正确的解法．
12．如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOE．
（1）写出∠AOC与∠BOD的大小关系： _________ ，判断的依据是 _________ ； （2）若∠COF=35°，求∠BOD的度数．
13．如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起， （1）若∠DCE=35°，求∠ACB的度数； （2）若∠ACB=140°，求∠DCE的度数；
（3）猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，并说明理由．
14．如图所示，OA丄OB，OC丄OD，OE为∠BOD的平分线，∠BOE=22°，求∠AOC的度数．
15．（1）已知∠BOC=120°，∠AOB=70°，求∠AOC的大小；
（2）已知∠AOB=80°，过O作射线OC（不同于OA、OB），满足∠AOC=∠BOC，求∠AOC的大小．
（注：本题中所说的角都是指小于平角的角）
16．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；
（2）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 _________ 秒（直接写出结果）；
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
17．如左图甲所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处． （1）①∠AOD和∠BOC相等吗？说明理由．
②∠AOC和∠BOD在数量上有何关系？说明理由．
（2）若将这幅三角尺按左图乙所示摆放，三角尺的直角顶点重合在点O处． ①∠AOD和∠BOC相等吗？说明理由．
②∠AOC和∠BOD的以上关系还成立吗？说明理由．
18．按下面的方法折纸，然后回答问题：
（1）∠2是多少度的角？为什么？ （2）∠1与∠3有何关系？
（3）∠1与∠AEC，∠3与∠BEF分别有何关系？
19．如图，一副三角板的两个直角顶点重合在一起． （1）比较∠EOM与∠FON的大小，并写出理由； （2）求∠EON+∠MOF的度数．
20．如图，将书面斜折过去，使角的顶点A落在M处，BC为折痕，BD为∠MBE的平分线，求∠CBD的度数．
21．如图，AB是一条河流，要铺设管道将河水引到C、D两个用水点，现有两种铺设管道的方案； 方案一：分别过C、D作AB的垂线，垂足为E、F，沿CE、DF铺设管道； 方案二：连接CD交AB于点P，沿PC，PD铺设管道． 这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？为什么？
22．说出日常生活现象中的数学原理： 日常生活现象 相应数学原理 有人和你打招呼，你笔直向他走过去 两点之间直线段最短 要用两个钉子把毛巾架安装在墙上 桥建造的方向通常是垂直于河两岸 人去河边打水总是垂直于河边方向走
23．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点． （1）过点P画OA的垂线，垂足为H； （2）过点P画OB的垂线，交OA于点C；
（3）线段PH的长度是点P到 _________ 的距离， _________ 是点C到直线OB的距离．因为直线外一点到直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是 _________ ．（用“＜”号连接）
24．（2012•房山区一模）请你先动笔在草稿纸上画一画，再回答下列问题： （1）平面内两条直线，可以把平面分成几部分？ （2）平面内3条直线，可以把平面分成几部分？
（3）平面内4条直线，可以把平面最多分成多少部分？ （4）平面内100条直线，可以把平面最多分成多少部分？
25．已知线段AB=6cm，在直线AB上截取线段BC=4cm，若M，N分别是AB，BC的中点． （1）求M，N间的距离；
（2）若AB=acm，BC=bcm，其它条件不变，此时M，N间的距离是多少？ （3）分析（1）（2）的解答过程，从中你发现了什么规律？在同伴间交流你得到的启迪．
26．已知线段AB=6，点C是直线AB上的点，其中线段BC=2，AC=t，小明认为t=8，小红认为t=4，你认为他们的说法对吗？为什么？ 27．（1）如图，已知点C在线段AB上，且AC=8cm，BC=6cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长度．
（2）若点C是线段AB上任意一点，且AC=a，BC=b，点M、N分别是AC、BC的中点，请直接写出线段MN的长度（用a、b的代数式表示）；
（3）在（2）中，把点C是线段AB上任意一点改为：点C是直线AB上任意一点，其他条件不变，则线段MN的长度会变化吗？若有变化，求出结果．
28．如图，线段AB=8cm．
（1）若C是线段AB上一点，M是AC的中点，N是BC的中点，求线段MN的长；
（2）若将第（1）题中点C的位置改为“C是线段AB的延长线上的任意一点”，你能求出线段MN的长吗？
解：（1）因为M是AC的中点，N是BC的中点，
所以MC= _________ AC，NC= _________ BC， 因为MN=MC+NC，
所以MN= _________ + _________ = _________ =4（cm）．
请仿照上面的表述完成第（2）题，并画出图形．
29．已知C为直线AB上任一点，M、N分别为AC、BC的中点，试探究MN与AB之间的关系，并说明理由．
30．如图，线段AB=6，点O是线段AB上一点，C，D分别是线段OA，OB的中点，小华据此轻松地求得CD=3．他在反思过程中突发奇想：若点O运动到AB的延长线上，原有的结论“CD=3”是否仍然成立？请帮小华画出图形并说明理由．
第六章角与线段的计算题
参考答案与试题解析
一．解答题（共30小题）
1．如图，已知∠AOB是直角，∠AOC=46°，OM平分∠AOC，ON平分∠BOC， （1）试求∠MON的度数；
（2）当∠AOC的大小在10°～90°之间变化时，请问∠MON的大小是否变化？并说明理由．
考点： 角的计算；角平分线的定义． 专题： 计算题．
分析： （1）先求出∠BOC，再根据角平分线的定义求出∠NOC、∠MOC，然后根据∠MON=∠NOC﹣∠MOC代
入数据进行计算即可得解；
（2）根据（1）中思路求解即可．
解答： 解：（1））∵∠AOB是直角，∠AOC=46°，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+46°=136°， ∵ON平分∠BOC，
∴∠NOC=∠BOC=×136°=68°， ∵OM平分∠AOC， ∴∠MOC=
AOC=×46°=23°，
∴∠MON=∠NOC﹣∠MOC=68°﹣23°=45°； （2）∠MON=45°，∠MON不会变，理由如下： ∠MON=∠AOM+∠AON =∠AOC+∠AOB﹣∠BON =∠AOC+∠AOB﹣∠BOC =∠AOB﹣（∠BOC﹣∠AOC） =∠AOB﹣∠AOB =
=45°．
点评： 本题考查了角的计算，角平分线的定义，整体思想的利用是解题的关键．
2．如图，将一张长方形纸片按如图方式折叠，BC、BD为折痕，试判断BC、BD的位置关系．
考点： 角的计算；翻折变换（折叠问题）．
分析： 根据折叠的性质得到∠ABC=∠CBE，∠1=∠DBE，再由平角的定义得∠ABC+∠CBE+∠1+∠DBE=180°，
即可得到∠CBD的度数，可得BC⊥BD．
解答： 解：BC⊥BD．
∵长方形纸片按如图的方式折叠，BC、BD为折痕， ∴∠ABC=∠CBE，∠1=∠DBE， 而∠ABC+∠CBE+∠1+∠DBE=180°， ∴∠CBE+∠DBE=90°， 即∠CBD=90°． ∴BC⊥BD．
点评： 本题考查了折叠的性质：折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等．也考查了平角的定义．
3．如图所示，OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，若∠AOB+∠EOF=156°，求∠EOF的度数．
考点： 角的计算；角平分线的定义．
分析： 首先根据角平分线的定义以及角度的和、差得到∠AOB和∠EOF的关系，即可求解． 解答： 解：∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠COE=∠AOC，∠COF=∠BOC，
∴∠EOF=∠AOC﹣∠BOC=（∠AOC﹣∠BOC）=∠AOB． 又∵∠AOB+∠EOF=156°， ∴∠EOF=52°．
点评：
本题考查了角度的计算，以及角平分线的定义，正确证明∠EOF=∠AOB是关键．
4．如图，将长方形纸片的一角斜折过去，使点B落在点D处，EF为折痕，再把FC折过去与FD重合，FH为折痕，问：
（1）EF与FH有什么样的位置关系？
（2）∠CFH与∠BEF有什么样的数量关系？
考点： 角的计算；翻折变换（折叠问题）． 分析：
（1）由折叠的性质可得出∠BFE=∠DFE，∠CFH=∠DFH，从而可得出∠EFH=∠DFH+∠EFD=∠BFC=90°，
进而可得EF与FH互相垂直；
（2）由（1）可知：∠CFH+∠BEF=90°．
解答： 解：（1）∵由折叠的性质可得出∠BFE=∠DFE，∠CFH=∠DFH，
∴∠EFH=∠DFH+∠EFD=∠BFC=90°， ∴EF⊥FH；
（2）∵∠EFH=∠DFH+∠EFD=∠BFC=90°，
∴∠CFH+∠BEF=180°﹣∠EFH=90° 点评： 此题考查了折叠的性质，解答本题的关键是根据折叠的性质得出∠BFE=∠DFE，∠CFH=∠DFH，难度一般，
注意仔细观察所给图形．
5．如图所示，OE和OD分别是∠AOB和∠BOC的平分线，且∠AOB=90°． （1）若∠BOC=40°，求∠EOD的度数；
（2）若∠AOB+∠BOC=x°，直接写出用含x的式子表示∠EOD的度数．
考点： 角的计算；角平分线的定义． 分析：
（1）根据角平分线定义求出∠BOE=∠AOB=45°，∠BOD=∠BOC=20°，代入∠EOD=∠BOE+∠BOD求
出即可；
（2）根据角平分线定义求出∠BOE=∠AOB，∠BOD=∠BOC，代入∠EOD=∠BOE+∠BOD求出即可．
解答： 解：（1）∵OE和OD分别是∠AOB和∠BOC的平分线，∠AOB=90°，∠BOC=40°，
∴∠BOE=∠AOB=45°，∠BOD=∠BOC=20°，
∴∠EOD=∠BOE+∠BOD=45°+20°=65°；
（2）∵OE和OD分别是∠AOB和∠BOC的平分线，∠AOB+∠BOC=x°， ∴∠BOE=∠AOB，∠BOD=∠BOC，
∴∠EOD=∠BOE+∠BOD=（∠AOB+∠BOC）=x°．
点评：
本题考查了角平分线定义，角的有关计算的应用，解此题的关键是求出∠EOD=（∠AOB+∠BOC）．
6．如图所示，两个相同的三角形有一个公共顶点，其中OA⊥OB，OC⊥OD，图中①、②分别是两个三角形有重叠部分和无重叠部分的两种放置状态．
（1）如图①，若∠BOC=60°，求∠AOD的度数；
（2）如图②，猜想∠AOD和∠BOC的大小关系，并写出理由．
考点： 角的计算．
分析： （1）由已知可先求出∠AOC，即可求出∠AOD的度数．
（2）利用周角与平角即可求出两角的关系．
解答： 解：（1）∵∠BOC=60°，OA⊥OB，
∴∠AOC=90°﹣60°=30°， ∴∠AOD=90°+30°=120°， （2）∠AOD+∠BOC=180°， ∵OA⊥OB，OC⊥OD， ∴∠AOB+∠COD=180°，
∴∠AOD+∠BOC=360°﹣180°=180°．
点评： 本题主要考查了角的计算，解题的关键是灵活利用直角．
7．如图，O是直线AB上的点，OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线． （1）求∠DOE的度数．
（2）若只将射线OC的位置改变，其他条件不变，那么∠DOE的度数会有变化吗？ （3）若∠AOB=n°（n＜180），其他条件不变，则∠DOE的度数是多少？
考点： 角的计算；角平分线的定义．
分析： （1）根据平角的大小和角平分线的定义即可解题；
（2）不会，∠DOE大小和射线OC无关；
（3）根据角平分线的定义即可求得∠DOE=∠AOB．
解答： 解：（1）∵OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线．
∴∠AOD=∠COD，∠BOE=∠COE， ∵∠AOB=180°，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=90°；
（2）由（1）中可知，∠DOE大小和射线OC无关，
∴只将射线OC的位置改变，其他条件不变，那么∠DOE的度数不会有变化； （3））∵OD是∠AOC的平分线，OE是∠COB的平分线． ∴∠AOD=∠COD，∠BOE=∠COE， ∵∠AOB=n，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=；
点评： 本题考查了角的计算，考查了角平分线的定义，本题中熟练运用角平分线是解题的关键．
8．如图，一张长方形纸片，按如图的分法折叠一角，折痕为EF，如果∠1=40°，试求∠2的度数．
考点： 角的计算；翻折变换（折叠问题）．
分析： 根据翻折的性质，可得∠1与∠3的关系，根据角的和差，可得答案． 解答： 解：如图：
，
由翻折的性质，得 ∠3=∠1=40°， 由角的和差，得 ∠2=180°﹣∠1﹣∠3 =180°﹣40°﹣40° =100°．
点评： 本题考查了角的计算，利用了翻折的性质，角的和差．
9．如图1所示，已知∠AOC=120°，∠BOC=30°，OM平分∠AOB，ON 平分∠BOC． （1）∠MON= 60° ；
（2）如图2，∠AOC=120°，∠BOC=30°，分别作∠AOC，∠BOC的平分线OM，ON，能否求出∠MON的度数？若能，求出其值；若不能，说明理由；
（3）设∠AOC=α，∠BOC=β（α＞β），分别作∠AOC，∠BOC的平分线OM，ON，求出∠MON的度数=
α﹣β ．
考点： 角的计算． 分析：
（1）根据角平分线的性质，OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，得出∠MON=∠AOC，由
∠AOC=∠AOB+∠BOC，进而求出∠MON的度数；
（2）根据角平分线的定义，可得出∠MON=∠AOC，∠CON=∠BOC，从而得出∠MON的度数，
（3）由（2）可得∠MON的度数．
解答： 解：（1）∵OM平分∠AOB，ON平分∠BOC，
∴∠BOM=∠AOB，∠BON=∠BOC， ∴∠MON=∠AOB+∠BOC=∠AOC， ∵∠AOC=120°，∠BOC=30°，
∴∠AOB=90°，
∵∠AOC=∠AOB+∠BOC， ∴∠MON=45°+15°=60°；
（2）∵OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC， ∴∠MOC=∠AOC，∠CON=∠BOC，
∴∠MON=∠MOC﹣∠CON=∠AOC﹣∠BOC=60°﹣15°=45°， （3）∵OM，ON分别平分∠AOC，∠BOC， ∴∠MOC=∠AOC，∠CON=∠BOC， ∵∠AOC=α，∠BOC=β（α＞β），
∴∠MON=∠MOC﹣∠CON=∠AOC﹣∠BOC=α﹣β， 故答案为60°，α﹣β．
点评：
本题考查了角平分线的定义和性质，得出∠MOC=∠AOC，∠CON=∠BOC，是解决问题的关键．
10．如图，∠AOB=100°，OE是∠BOC的平分线，OD是∠AOC的平分线．求∠EOD的度数．
考点： 角的计算；角平分线的定义． 分析：
根据角平分线的定义以及角的和、差即可得到∠EOD=∠EOC﹣∠COD=∠BOC﹣AOC=（∠BOC﹣
∠AOC）=∠AOB，从而求解．
解答： 解：∵OE是∠BOC的平分线，OD是∠AOC的平分线，
∴∠EOC=∠BOC，∠COD=∠AOC，
∴∠EOD=∠EOC﹣∠COD=∠BOC﹣AOC=（∠BOC﹣∠AOC）=∠AOB=50°．
点评：
本题考查了角度的计算，角平分线的定义，正确证明∠EOD=∠AOB是关键．
11．下面是初一（2）班马小虎同学解的一道数学题． 题目（原题中没有图形）：在同一平面上，若∠AOB=70°，∠BOC=15°，求∠AOC的度数． 解：根据题意画出图形，如图所示， ∵∠AOC=∠AOB﹣∠BOC =70°﹣15° =55°
∴∠AOC=55°
若你是老师，会判马小虎满分吗？若会，说明理由；若不会，请指出错误之处，并给出你认为正确的解法．
考点： 角的计算． 专题： 阅读型．
分析： 根据题意画图形，应考虑两种情况：∠BOC在∠AOB的内部，∠BOC在∠AOB的外部． 解答： 解：不能给满分，
他只解答了一种情况，∠BOC在∠AOB的内部， 而忽略了∠BOC在∠AOB的外部，如图所示： ∵∠AOC=∠AOB+∠BOC =70°+15° =85°
∴∠AOC=85°，
∴∠AOC=55°或∠AOC=85°．
点评： 在题干不配图时，注意考虑两种情况：∠BOC在∠AOB的内部，∠BOC在∠AOB的外部．
12．如图，已知直线AB和CD相交于点O，∠COE是直角，OF平分∠AOE．
（1）写出∠AOC与∠BOD的大小关系： 相等 ，判断的依据是 对顶角相等 ； （2）若∠COF=35°，求∠BOD的度数．
考点： 角的计算；角平分线的定义；余角和补角． 专题： 计算题．
分析： （1）根据对顶角相等填空即可；
（2）首先根据直角由已知角求得它的余角，再根据角平分线的概念求得∠AOE，再利用角的关系求得∠AOC，根据上述结论，即求得了∠BOD．
解答： 解：（1）相等，对顶角相等；
（2）∵∠COE是直角，∠COF=35° ∴∠EOF=55°
又OF平分∠AOE，∴∠AOE=110° ∴∠AOC=20°
∴∠BOD=∠AOC=20°．
故答案为相等、等角的补角相等、20°．
点评： （1）理解邻补角的概念，掌握等角的补角相等的性质；
（2）正确求得一个角的余角，熟练运用角平分线表示角之间的倍分关系，再根据角之间的和差关系进行计算．
13．如图，将两块直角三角尺的直角顶点C叠放在一起， （1）若∠DCE=35°，求∠ACB的度数； （2）若∠ACB=140°，求∠DCE的度数；
（3）猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，并说明理由．
考点： 角的计算． 专题： 探究型．
分析： 本题已知两块直角三角尺实际就是已知三角板的各个角的度数，根据角的和差就可以求出∠ACB，∠DCE
的度数；根据前两个小问题的结论猜想∠ACB与∠DCE的大小关系，结合前两问的解决思路得出证明．
解答： 解：（1）∵∠ECB=90°，∠DCE=35°
∴∠DCB=90°﹣35°=55° ∵∠ACD=90°
∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=145°．
（2）∵∠ACB=140°，∠ACD=90° ∴∠DCB=140°﹣90°=50° ∵∠ECB=90°
∴∠DCE=90°﹣50°=40°．
（3）猜想得∠ACB+∠DCE=180°（或∠ACB与∠DCE互补） 理由：∵∠ECB=90°，∠ACD=90° ∴∠ACB=∠ACD+∠DCB=90°+∠DCB
∠DCE=∠ECB﹣∠DCB=90°﹣∠DCB ∴∠ACB+∠DCE=180°．
点评： 记忆三角板各角的度数，把所求的角转化为已知角的和与差．
14．如图所示，OA丄OB，OC丄OD，OE为∠BOD的平分线，∠BOE=22°，求∠AOC的度数．
考点： 角的计算；角平分线的定义；垂线． 专题： 计算题．
分析： 由已知中所给的垂直关系，可以求出∠AOB和∠COD的度数，再根据角平分线的性质，求出∠BOD的度
数，从而可以求出∠AOC的度数．
解答： 解：∵OA丄OB，OC丄OD，
∴∠AOB=∠COD=90°， ∵OE为∠BOD的平分线， ∴∠BOD=44°，
∴∠AOC=360°﹣（∠AOB+∠COD+∠BOD）， =360°﹣（90°+90°+44°）， =136°．
点评： 本题考查了角的比较与计算，本题解题的关键是利用角平分线的性质，求得∠BOD的度数． 15．（1）已知∠BOC=120°，∠AOB=70°，求∠AOC的大小；
（2）已知∠AOB=80°，过O作射线OC（不同于OA、OB），满足∠AOC=∠BOC，求∠AOC的大小． （注：本题中所说的角都是指小于平角的角）
考点： 角的计算． 专题： 分类讨论．
分析： （1）是角的多解问题，求解时因为位置不同，可分情况讨论．
（2）直线OA、OB将平面分成四个部分，分别考虑射线OC落在这四个部分的情况，
解答： 解：（1）当射线OA在∠COB内部时，
因为∠AOB=70°，∠BOC=120°，
所以∠AOC=∠BOC﹣∠AOB=120°﹣70°=50° 当射线OA在∠COB外部时， 因为∠AOB=70°，∠BOC=120°，
所以∠AOC=∠BOC+∠AOB=120°+70°=190°， 而求解的只是小于平角的角， 所以∠AOC=∠=360°﹣190°=170° 所以∠AOC等于50°或170°． （2）根据题意画出图形得：
∵∠AOB=80°，∠AOC=∠BOC，
∴设∠BOC=5x，则∠AOC=3x，根据题意列出方程得：5x+3x=80°， 解得x=10°
∴∠AOC=30°，∠BOC=50°；
∵∠AOB=80°，∠AOC=∠BOC，
∴设∠BOC=5x，则∠AOC=3x，根据题意列出方程得：5x+3x=280°， 解得x=35°
∴∠AOC=105°，∠BOC=175°．
点评： 本题的多解情况可依据不同情况求解，在计算中我们所求的角一般都是小于平角的角．
16．如图1，点O为直线AB上一点，过点O作射线OC，使∠AOC=60°．将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方．
（1）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图2，使一边OM在∠BOC的内部，且恰好平分∠BOC，求∠CON的度数；
（2）将图1中的三角板绕点O按每秒10°的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第t秒时，直线ON恰好平分锐角∠AOC，则t的值为 12或30 秒（直接写出结果）；
（3）将图1中的三角板绕点O顺时针旋转至图3，使ON在∠AOC的内部，请探究∠AOM与∠NOC之间的数量关系，并说明理由．
考点： 角的计算；角平分线的定义；三角形内角和定理． 专题： 计算题．
分析： （1）由角的平分线的定义和等角的余角相等求解；
（2）由∠BOC=120°可得∠AOC=60°，则∠AON=30°或∠NOR=30°，即顺时针旋转300°或120°时ON平分∠AOC，据此求解；
（3）因为∠MON=90°，∠AOC=60°，所以∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON，然后作差即可．
解答： 解：（1）已知∠AOC=60°，
∴∠BOC=120°， 又OM平分∠BOC，
∠COM=∠BOC=60°， ∴∠CON=∠COM+90°=150°；
（2）延长NO， ∵∠BOC=120°
∴∠AOC=60°，
当直线ON恰好平分锐角∠AOC， ∴∠AOD=∠COD=30°，
即顺时针旋转300°时NO延长线平分∠AOC， 由题意得，10t=300° ∴t=30，
当NO平分∠AOC， ∴∠NOR=30°，
即顺时针旋转120°时NO平分∠AOC， ∴10t=120°， ∴t=12，
∴t=12或30；
（3）∵∠MON=90°，∠AOC=60°，
∴∠AOM=90°﹣∠AON、∠NOC=60°﹣∠AON，
∴∠AOM﹣∠NOC=（90°﹣∠AON）﹣（60°﹣∠AON）=30°， 所以∠AOM与∠NOC之间的数量关系为：∠AOM﹣∠NOC=30°．
点评： 此题考查了角的计算，关键是应该认真审题并仔细观察图形，找到各个量之间的关系，是解题的关键．
17．如左图甲所示，将一副三角尺的直角顶点重合在点O处． （1）①∠AOD和∠BOC相等吗？说明理由．
②∠AOC和∠BOD在数量上有何关系？说明理由．
（2）若将这幅三角尺按左图乙所示摆放，三角尺的直角顶点重合在点O处． ①∠AOD和∠BOC相等吗？说明理由．
②∠AOC和∠BOD的以上关系还成立吗？说明理由．
考点： 角的计算． 专题： 计算题．
分析： （1）①根据角的和的关系解答，②利用周角的定义解答；
（2）①根据同角的余角相等解答，②根据图象，表示出∠AOC整理即可得到原关系仍然成立．
解答： 解：（1）①∵∠AOD=90°+∠BOD
∠BOC=90°+∠BOD，
∴∠AOD和∠BOC相等．
②∵∠AOC+90°+∠BOD+90°=360°， ∴∠AOC+∠BOD=180°；
（2）①∵∠AOD=90°﹣∠BOD， ∠BOC=90°﹣∠BOD， ∴∠AOD和∠BOC相等． ②成立．
∵∠AOC=90°+90°﹣∠BOD， ∴∠AOC+∠BOD=180°．
点评： 本题主要考查角的和、差关系，理清和或是差是解题的关键．
18．按下面的方法折纸，然后回答问题：
（1）∠2是多少度的角？为什么？ （2）∠1与∠3有何关系？
（3）∠1与∠AEC，∠3与∠BEF分别有何关系？
考点： 角的计算．
分析： （1）由折叠易得∠2是平角的一半；
（2）∠1、∠2、∠3组成一个平角，∠2是90°，那么∠1与∠3互余； （3）∠1与∠AEC，∠3与∠BEF都组成一个平角，是互补．
解答： 解：（1）∠2是90°的角．
过点E作出AB、EC的折痕，设BE、CE与EG重合，由折纸可知： ∠1=∠AEG，∠3=∠FEG， ∴∠1+∠3=∠AEG+∠FEG，
∵∠1+∠3+∠AEG+∠FEG=180°，
∴∠1+∠3=∠AEG+∠FEG=180°÷2=90°， 即∠2=90°．
（2）∠1与∠3互为余角，或∠1+∠3=90°；
（3）∠1与∠AEC互补，∠3与∠BEF互补． 或∠1+∠AEC=180°，∠3+∠BEF=180°．
点评： 折叠前后对应角相等；相加得90°的角互为余角；相加得180°的角互为补角．
19．如图，一副三角板的两个直角顶点重合在一起． （1）比较∠EOM与∠FON的大小，并写出理由； （2）求∠EON+∠MOF的度数．
考点： 角的计算；余角和补角．
分析： （1）根据等角的余角相等即可发现：两个角相等．
（2）要求∠EON+∠MOF的度数和，结合图形发现角之间的和的关系，显然即是两个直角的和．
解答： 解：（1）∠EOM=∠FON．
∵∠EOM+∠MOF=90°=∠FON+∠MOF， ∴∠EOM=∠FON；
（2）∵∠EON+∠EOF=∠EOM+∠MOF+∠FON+∠MOF， ∴∠EON+∠MOF=∠EOF+∠MON=180°．
点评： 理解余角的概念，掌握等角的余角相等这一性质；能够根据图形正确表示角之间的和的关系．
20．如图，将书面斜折过去，使角的顶点A落在M处，BC为折痕，BD为∠MBE的平分线，求∠CBD的度数．
考点： 角的计算；展开图折叠成几何体． 专题： 计算题．
分析： 由∠ABC=∠CBM，∠MBD=∠DBE，又知∠ABE=180°，故能求∠CBD的度数． 解答： 解：∵BD为∠MBE的平分线，
∴∠MBD=∠DBE， ∵∠ABC=∠CBM，
∴∠ABC+∠DBE=∠CBM+∠DBM， ∵∠ABE=180°， ∴∠CBD=90°．
故答案为90°．
点评： 本题主要考查角的比较与运算，还涉及角平分线的知识点，比较简单．
21．如图，AB是一条河流，要铺设管道将河水引到C、D两个用水点，现有两种铺设管道的方案； 方案一：分别过C、D作AB的垂线，垂足为E、F，沿CE、DF铺设管道； 方案二：连接CD交AB于点P，沿PC，PD铺设管道． 这两种铺设管道的方案哪一种更节省材料？为什么？
考点： 垂线段最短． 专题： 应用题．
分析： 根据垂线段最短解答即可． 解答： 解：∵CE⊥AB，DF⊥AB，
∴CE＜PC，DF＜PD， ∴CE+DF＜PC+PD， ∴方案一更节省材料．
点评： 本题考查了垂线段最短，熟记性质并准确识图是解题的关键．
22．说出日常生活现象中的数学原理： 日常生活现象 相应数学原理 有人和你打招呼，你笔直向他走过去 两点之间直线段最短 要用两个钉子把毛巾架安装在墙上 桥建造的方向通常是垂直于河两岸 人去河边打水总是垂直于河边方向走
考点： 垂线段最短；直线的性质：两点确定一条直线． 专题： 应用题．
分析： 根据两点确定一条直线和垂线段最短解答． 解答： 解：这几种实际问题用数学原理解释分别是：
两点确定一条直线；
夹在两平行线间的线段中，垂线段最短；
连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．
点评： 此题主要考查数学原理在实际生活中的应用．
23．如图，点P是∠AOB的边OB上的一点． （1）过点P画OA的垂线，垂足为H； （2）过点P画OB的垂线，交OA于点C；
（3）线段PH的长度是点P到 直线OA 的距离， 线段CP的长度 是点C到直线OB的距离．因为直线外一点到直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短，所以线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是 PH＜PC＜OC ．（用“＜”号连接）
考点： 垂线；垂线段最短． 专题： 作图题．
分析： （1）过点P画∠PHO=90°即可；
（2）过点P画∠OPC=90°即可；
（3）利用点到直线的距离可以判断线段PH的长度是点P到OA的距离，PC是点C到直线OB的距离，线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是PH＜PC＜OC．
解答： 解：（1）（2）所画图形如下所示；
（3）线段PH的长度是点P到直线OA的距离，线段CP的长度是点C到直线OB的距离， 根据垂线段最短可得：PH＜PC＜OC．
故答案为：直线OA，线段CP的长度，PH＜PC＜OC．
点评： 本题主要考查了基本作图﹣﹣﹣﹣作已知直线的垂线，另外还需利用点到直线的距离才可解决问题． 24．（2012•房山区一模）请你先动笔在草稿纸上画一画，再回答下列问题： （1）平面内两条直线，可以把平面分成几部分？ （2）平面内3条直线，可以把平面分成几部分？
（3）平面内4条直线，可以把平面最多分成多少部分？ （4）平面内100条直线，可以把平面最多分成多少部分？
考点： 直线、射线、线段． 专题： 规律型． 分析： （1）（2）（3）这根据题意画图即可；
（4）根据（1）（2）（3）的数值得出规律，再根据规律解题．
解答：
解：（1）如图：分成3个或4个平面；
（2）如图：分成4，6，7个平面；
（3）如图：最多分成11个．
（4）如图：一条直线可以把平面分成两部分，两条直线最多可以把平面分成4部分，三条直线最多可以把平面分成7部分，四条直线最多可以把平面分成11部分，可以发现，两条直线时多了2部分，三条直线比原来多了3部分，四条直线时比原来多了4部分，…，n条时比原来多了n部分． 因为n=1，a1=1+1， n=2，a2=a1+2， n=3，a3=a2+3， n=4，a4=a3+4， …
n=n，an=an﹣1+n，
以上式子相加整理得，an=1+1+2+3+…+n=1+100个时可分成1+
=1+5050=5051．
．
点评： 本题考查了直线射线和线段，要知道从一般到具体的探究方法，并找到规律．
25．已知线段AB=6cm，在直线AB上截取线段BC=4cm，若M，N分别是AB，BC的中点． （1）求M，N间的距离；
（2）若AB=acm，BC=bcm，其它条件不变，此时M，N间的距离是多少？ （3）分析（1）（2）的解答过程，从中你发现了什么规律？在同伴间交流你得到的启迪．
考点： 两点间的距离．
分析： （1）根据题意画出图形，由M，N分别是AB，BC的中点求出MC及NC的长．根据MN=MC+NC即可
得出结论；
（2）根据由M，N分别是AB，BC的中点用a，b表示出出MC及NC的长，进而可得出结论； （3）由（1）、（2）的规律即可得出结论．
解答： 解：（1）如图所示，
∵线段AB=6cm，线段BC=4cm， ∴AC=AB﹣BC=6﹣4=2cm．
∵M，N分别是AB，BC的中点，
∴MC=AC=1（cm），NC=BC=2（cm）， ∴MN=MC+NC=1+2=3（cm）． 答：M，N间的距离是3cm；
（2）∵AB=acm，BC=bcm， ∴AC=AB﹣BC=（a﹣b）=2cm．
∵M，N分别是AB，BC的中点，
∴MC=AC=（a﹣b）cm，NC=BC=b（cm）， ∴MN=MC+NC=（a﹣b）+b=a（cm）． 答：M，N间的距离是acm；
（3）由（1）（2）可得，无论线段AB为何值，MN=AB．
点评： 本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
26．已知线段AB=6，点C是直线AB上的点，其中线段BC=2，AC=t，小明认为t=8，小红认为t=4，你认为他们的说法对吗？为什么？
考点： 两点间的距离．
分析： 根据点C在线段AB上与在线段AB外两种情况进行讨论． 解答： 解：他们的说法对．
当点C在AB之间时，如图1所示， ∵AB=6，BC=2，
∴AC=AB﹣BC=6﹣2=4，即t=4． 当点C在AB外时，如图2所示， ∵AB=6，BC=2，
∴AC=AB+BC=6+2=8，即t=8． 综上所述，t=4或t=8．
点评： 本题考查的是两点间的距离，在解答此题时要注意进行分类讨论，不要漏解． 27．（1）如图，已知点C在线段AB上，且AC=8cm，BC=6cm，点M、N分别是AC、BC的中点，求线段MN的长度．
（2）若点C是线段AB上任意一点，且AC=a，BC=b，点M、N分别是AC、BC的中点，请直接写出线段MN的长度（用a、b的代数式表示）；
（3）在（2）中，把点C是线段AB上任意一点改为：点C是直线AB上任意一点，其他条件不变，则线段MN的长度会变化吗？若有变化，求出结果．
考点： 两点间的距离．
分析： （1）根据线段中点的性质，可得MC、NC的长度，根据线段的和差，可得答案；
（2）根据线段中点的性质，可得MC、NC的长度，根据线段的和差，可得答案； （3）根据线段中点的性质，可得MC、NC的长度，根据线段的和差，可得答案．
解答： 解：（1）由AC=8（cm），M是AC的中点，得
MC=AC=4（cm）．
由BC=6（cm），N是CB的中点，得 CN=CB=3（cm）．
由线段的和差，得
MN=MC+NC=4+3=7（cm）； （2）由AC=a（cm），M是AC的中点，得 MC=AC=（cm）．
由BC=b（cm），N是CB的中点，得 CN=CB=（cm）． 由线段的和差，得 MN=MC+NC=+=
（cm）；
（3）①当点C在B点的右边时，AC=a，BC=b，点M、N分别是AC、BC的中点，得 MC=AC=，NC=BC=（cm）． 由线段的和差，得 MN=MC﹣NC=﹣=
（cm）；
②当点C在A点的左边时，AC=a，BC=b，点M、N分别是AC、BC的中点，得 MC=AC=，NC=BC=（cm）． 由线段的和差，得 MN=NC﹣MC=﹣=
．；
（cm）．
③点C在线段AB上时，MN=MC+NC=+=
点评： 本题考查了两点间的距离，利用了线段中点的性质，线段的和差，（3）分类讨论：①当点C在B点的右边时，②当点C在A点的左边时，③点C在线段AB上时．
28．如图，线段AB=8cm．
（1）若C是线段AB上一点，M是AC的中点，N是BC的中点，求线段MN的长；
（2）若将第（1）题中点C的位置改为“C是线段AB的延长线上的任意一点”，你能求出线段MN的长吗？ 解：（1）因为M是AC的中点，N是BC的中点， 所以MC=
AC，NC=
BC，
因为MN=MC+NC， 所以MN= =
AB
AC +
BC
=4（cm）．
请仿照上面的表述完成第（2）题，并画出图形．
考点： 两点间的距离． 分析：
（1）根据M是AC的中点，N是BC的中点得出MC=AC，NC=BC，再根据MN=MC+NC即可得出结
论；
（2）根据题意画出图形，根据（1）中的过程即可得出结论．
解答： 解：（1）∵M是AC的中点，N是BC的中点，
∴MC=AC，NC=BC，
∴MN=MC+NC=（AC+BC）=AB=4cm． 故答案为：，，AC，BC，AB；
（2）如图所示，
∵M是AC的中点，N是BC的中点， ∴MC=AC=（AB+BC），BN=BC，
∴MN=MC﹣NC=（AB+BC﹣BC）=AB=4cm．
点评： 本题考查的是两点间的距离，熟知各线段之间的和、差及倍数关系是解答此题的关键．
29．已知C为直线AB上任一点，M、N分别为AC、BC的中点，试探究MN与AB之间的关系，并说明理由．
考点： 两点间的距离．
分析： 分三种情况当C在线段AB上时，当C在线段AB的延长线上时，当C在线段BA的延长线上时，进行推
论说明．
解答：
解：∵M是线段AC的中点，∴CM=AC，
∵N是线段BC的中点，∴CN=BC， 以下分三种情况讨论，
当C在线段AB上时，MN=CM+CN=
当C在线段AB的延长线上时，MN=CM﹣CN=
当C在线段BA的延长线上时，MN=CN﹣CM=
=
=AB； =AB；
=AB；
综上：MN=AB． 故答案为：MN=AB．
点评： 考查了两点间的距离．首先要根据题意，考虑所有可能情况，画出正确图形．再根据中点的概念，进行线
段的计算与证明．
30．如图，线段AB=6，点O是线段AB上一点，C，D分别是线段OA，OB的中点，小华据此轻松地求得CD=3．他在反思过程中突发奇想：若点O运动到AB的延长线上，原有的结论“CD=3”是否仍然成立？请帮小华画出图形并说明理由．
考点： 两点间的距离．
分析： 运动到延长线时，根据线段中点定义得到有关的线段表示出所求的线段长． 解答： 解：原有的结论仍然成立．理由如下：
当点O在AB的延长线上时，如图所示，
CD=OC﹣OD=（OA﹣OB）=AB=×6=3．
点评： 考查了两点间的距离，解决本题的关键需利用线段中点定义．
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