直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

【课题】9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质

【教学目标】

知识目标：（1）了解空间两条直线垂直的概念；

（2）掌握与平面垂直的判定方法与性质，平面与平面垂直的判定方法与性质．

能力目标：培养学生的空间想象能力和数学思维能力．

【教学重点】直线与平面、平面与平面垂直的判定方法与性质． 【教学难点】判定空间直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直． 【教学设计】

在平面内，过一点可以作一条且只能作一条直线与已知直线垂直；在空间中，过一点作与已知直线垂直的直线，能作无数条.

例1是判断异面直线垂直的巩固性题目，根据异面直线垂直的定义，只要判断它们所成的角为90即可.

在判定直线与平面垂直时，要特别注意“平面内两条相交的直线”的条件．可举一些实例，以加深学生对条件的理解．

两个平面互相垂直是两个平面相交的特殊情况．在日常生活和工农业生产中，两个平面互相垂直的例子非常多，教学时可以多结合一些实例，以引起学生的兴趣．

例4是判断平面与平面垂直的巩固性题目，关键是在平面B1AC内找到一条直线AC与平面B1BDD1垂直．例5是巩固平面与平面垂直的性质的题目.

【教学备品】教学课件． 【课时安排】2课时．(90分钟) 【教学过程】

教 学 过 程 *揭示课题 9.4 直线与直线、直线与平面、平面与平面垂直的判定与性质 *创设情境 兴趣导入 【知识回顾】 如果空间两条直线所成的角是90º，那么称这两条直线互相垂直，直线a和b互相垂直，记作a⊥b． 【想一想】 演示并画出两条相交直线垂直与两条异面直线垂直的位置关系，并回答问题：经过空间任意一点作与已知直线垂直的直线，能作几条？ .

教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 介绍 质疑 引导 了解 思考 启发 学生思考 0 .

教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 分析 5 观察 思考 主动 求解 思考 解答 了解 知识 掌握 情况 质疑 引导 分析 思考 带领 学生 分析 通过例题进一步领会 10 14 *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 例1 如图9-43，长方体ABCD-A1B1C1D1中，判断直线AB和DD1是否垂直． 解 AB和DD1是异面直线，而BB1∥DD1，AB⊥BB1，根据异面直线所成的角的定义， 可知AB与DD1成直角．因此ABDD1. 说明 强调 引领 图9-43 讲解 说明 *运用知识 强化练习 1．垂直于同一条直线的两条直线是否平行？ 提问 2．在图9−43所示的正方体中，找出与直线AB垂直的棱，并指出它们与直指导 线AA1的位置关系． *创设情境 兴趣导入 【问题】 前面我们学过直线与平面垂直的概念.根据定义判断直线与平面垂直，需要判定直线与平面内的任意一条直线都垂直，这是比较困难的．那么，如何判定直线和平面垂直呢？ 【观察】 我们来看看实践中工人师傅是如何做的． 图9−44 如图9−44所示，检验一根圆木柱和板面是否垂直．工人师傅的做法是，把直角尺的一条直角边放在板面上，看曲尺的另一条直角边是否和圆木柱吻合，然后把直角尺换个位置，照样再检查一次（应当注意，直角尺与板面的交线，在两次检查中不能为同一条直线）．如果两次检查，圆木柱都能和直角尺的直角边完全吻合，就判定圆木柱和板面垂直． .

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教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 17 讲解 说明 理解 观察 思考 主动 求解 带领 学生 分析 通过例题进一步领会 20 25 *动脑思考 探索新知 【新知识】 从大量的实践与观察中，归纳出直线与平面垂直的判定方法：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直． *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 例2 长方体ABCD-A1B1C1D1中（如图9−45），直线AA1与平面ABCD垂直吗？为什 么？ 说明 强调 图9−45 解 因为长方体ABCD-A1B1C1D1中，侧面ABB1A1、AA1D1D都是长方形，所以AA1⊥AB，AA1⊥AD．且AB和AD是平面ABCD内的两条相交直线．由直线与平面垂直的判定定理知，直线AA1⊥平面ABCD． 引领 讲解 说明 图9−46 [小提示] 在实际生活中，我们采用如图9−46所示的“合页型折纸”检验直线与平面垂 直，就是直线与平面垂直方法的应用． 【做一做】 *创设情境 兴趣导入 【观察】 观察道路边的电线杆可以发现它们都垂直于地面，并且这些电线杆是平行的．这一事实启发我们得出直线与平面垂直的性质． .

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教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 质疑 引导 分析 讲解 说明 m n 图9−47 引领 分析 思考 理解 带领 学生 分析 观察 思考 通过例题进一步领会 注意 观察 学生 是否 理解 思考 启发 学生思考 28 32 *动脑思考 探索新知 【新知识】 由大量的实验与观察，归纳出直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行． 如图9−47所示，设m，n，则 m∥n． [想一想] 如果两条平行直线中的一条垂直于一个平面，那么另一条也垂直于这个平面吗？为什么？ *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 例3 如图9−48，AB和CD都是平面的垂线，垂足分别为B、D，A、C分别在平面的两侧，AB＝4 cm，CD＝8 cm，BD＝5 cm，求AC的长． 说明 强调 图9−48 解 因为AB⊥，CD⊥，所以 AB∥CD．因为BD在平面内，AB⊥BD，CD⊥BD．设AB与CD确定平面，在平面内，过点A作AE∥BD，直线AE与CD交于点E． 引领 在直角三角形ACE中，因为AE＝BD＝5 cm， CE＝CD＋DE＝CD＋AB＝8 + 4 =12（cm）， .

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教 学 过 程 所以 AC＝ 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 2AECE ＝ 512 ＝13（cm）． 222讲解 说明 提问 巡视 指导 主动 求解 思考 解答 知识 点 及时 了解 学生 知识 掌握 情况 37 *运用知识 强化练习 1．一根旗杆AB高8 m，它的顶端A挂两条10 m的绳子，拉紧绳子并把它们的两个下端固定在地面上的C、D两点，并使点C、D与旗杆脚B不共线，如果C、D与B的距离都是6 m，那么是否可以判定旗杆AB与地面垂直，为什么？ 2．如图所示，ABC在平面内，BAC90，且PA于A，那么AC与PB是否垂直？为什么？ 42 质疑 （2） 图9−49 引导 观察 思考 带领 学生 分析 *创设情境 兴趣导入 【知识回顾】 两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，那么称这两个平面互相垂直．平面与平面垂直，记作． 画表示两个互相垂直平面的图形时，一般将两个平行四边形的一组对边画成垂直的位置，可以把直立的平面画成矩形（图9−49（1）），也可以把直立的平面画成平行四边形（图9−49（2））． 【做一做】 请动手画出图9−50中的两个图形． [实例] 建筑工人在砌墙时，把线的一端系一个铅锤，另一端用砖压在墙壁面上（图9−50），观察系有铅锤的线与墙面是否紧贴（在铅锤处应有一空隙），即判断所砌墙面是否经过地面的垂线，以此保证所砌的墙面与地面垂直． .

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教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 分析 图 9−50 48 讲解 说明 引领 分析 理解 带领 学生 分析 52 说明 强调 引领 观察 思考 通过例题进一步领会 *动脑思考 探索新知 【新知识】 这种做法的依据是平面与平面垂直的判定方法：一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面垂直． 如图9−51所示，如果AB，AB在内，那么． 图9−51 *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 例4 在正方体ABCD-A1B1C1D1（如图9−52）中，判断平面B1AC与平面B1BDD1是否垂直． 图9−52 解 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1B⊥平面ABCD，所以BB1⊥AC，在底面正方形ABCD中，BD⊥AC，因此AC⊥平面BB1D1D， .

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教 学 过 程 因为AC在平面B1AC内，所以平面B1AC与平面B1BDD1垂直． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 讲解 说明 主动 求解 57 质疑 思考 带领 学生 分析 *创设情境 兴趣导入 【实验】 如图9−53所示，在正方体A1C的侧面A1ABB1中，作EE1AB，观察EE1与底面ABCD的关系． D1C1E1 引导 分析 A1D B1DAE 图9−53 CB 60 讲解 说明 理解 记忆 带领 学生 分析 64 观察 通过例题 *动脑思考 探索新知 【新知识】 可以看到，由于EE1AB，故EE1∥BB1，又BB1BC，因此EE1BC．这样，EE1就与底面ABCD中的两条相交直线AB、BC都垂直，所以EE1与底面ABCD 垂直． 由大量的观察与实践，归纳出平面与平面垂直的性质：如果两个平面垂直， 那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 引领 分析 *巩固知识 典型例题 【知识巩固】 例5 如图9−54所示，平面α⊥平面β， AC在平面α内，且AC⊥AB，BD在平面β内，且BD⊥AB，AC＝12 cm，AB＝3 cm，BD＝4 cm．求CD的长． .

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教 学 过 程 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 说明 强调 引领 讲解 说明 思考 主动 求解 进一步领会 注意 观察 学生 是否 理解 知识 点 69 图9−54 解 在平面内，连结AD．又由于BD⊥AB，所以在直角三角形ABD中， AD2AB2BD2324225， 故 AD＝5（cm）． 因为，AC在平面内，且AC⊥AB，AB为平面与的交线，所以AC⊥． 因此CA⊥AD． 在直角三角形ACD中， CD2AC2AD212252169， 故 CD＝13（cm）． *运用知识 强化练习 思考 求解 及时 了解 学生 知识 掌握 得情 况 78 1．如图所示，在长方体ABCDA1B1C1D1中，与平面AB1垂直的平面有 个，与平面AB垂直的棱有 条． 1 提问 C B C B 巡视 指导 D A D A 第2题图 第1题图 2．如图所示，检查工件相邻的两个面是否垂直时，只要用曲尺的一边卡在工件的一个面上，另一边在工件的另一个面上转动一下，观察尺边是否和这个面密合就可以了，为什么？ *理论升华 整体建构 .

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教 学 过 程 思考并回答下面的问题： 直线与平面垂直的判定与性质？ 平面与平面垂直的判断与性质？ 结论： 直线与平面垂直的判定方法：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线与这个平面垂直． 直线和平面垂直的性质：垂直于同一个平面的两条直线互相平行． 平面与平面垂直的判定方法：一个平面经过另一个平面的垂线则两个平面垂直． 平面与平面垂直的性质：如果两个平面垂直，那么一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直． 教师 学生 教学 时行为 行为 意图 间 质疑 归纳强调 回答 及时了解学生知识掌握情况 82 引导 提问 回忆 反思 动手 求解 记录 分层次要求 检验 学生 学习 效果 88 90 *归纳小结 强化思想 本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ *自我反思 目标检测 本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何？ 一根旗杆AB高8 m，它的顶端A挂两条10 m的绳子，拉紧绳子并把它们的 两个下端固定在地面上的C、D两点，并使点C、D与旗杆脚B不共线，如果C、D巡视 与B的距离都是6 m，那么是否可以判定旗杆AB与地面垂直，为什么？ 指导 *继续探索 活动探究 (1)读书部分：教材 (2)书面作业：教材习题9.4 A组（必做）；9.4 B组（选做） (3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的两个平面垂直的实例 说明 【教师教学后记】

项目 反思点 学生是否真正理解有关知识； 学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题； 在知识、技能的掌握上存在哪些问题； .

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学生是否参与有关活动； 学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信； 遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服； 学生是否积极思考；思维是否有条理、灵活； 学生思维情况 是否能提出新的想法；是否自觉地进行反思； 学生是否善于与人合作； 学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达； 是否善于倾听别人的意见； 学生是否愿意开展实践； 能否根据问题合理地进行实践； 学生实践的情况 在实践中能否积极思考； 能否有意识的反思实践过程的方面；

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