2006年浙江省高考数学文科卷

2006年普通高等学校招生全国统一考试

数学试题（文科）

一、选择题： 10小题，每小题 5分，共 50分。 1.设集合 A=|x｜-1≤x≤2|，B=|x|0≤x≤4|，则 A∩B=( )

A）．[0，2] B.．[1，2] C.．[0，4] D．[1，4] 7.“a＞0，b＞0”是“ab＞0”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.如图，正三棱柱 ABCA1B1C1的各棱长都为 2，E,F分别为( )

A.2 B.3 C.5 D.7

2.在二项式(x1)6的展开式中，含x3的项的系数是( )

A.15 B.20 C.30 D.40 3.抛物线y28x的准线方程是( ) A.x=－2 B.x=－4 C.y=－2 D.y=－4 4.已知log1mlog1n0 则( )

22A.n＜m＜1 B.m＜n＜1 C.1＜m＜n D.1＜n＜m

5.设向量 a，b，c满足 a+b+c=0，且 a⊥b，|a|=1，|b|=2，则|c| 2 =( ) A.1 B.2 C.4 D.5

6.函数f(x)x33x22在区间[－1，1]上的最大值是( )

A.－2 B.0 C.2 D.4

xy29.在平面直角坐标系中，不等式组0xy20,表示的

y0平面区域的面积是( ) A.42 B.4 C.22 D.2 10.对a,bR，记maxa,ba,abb,ab函数

f(x)maxx1,x2(xR)的最小值是( )

A.0 B.

12 C.32 D.3

二、填空题：本大题共 4小题，每小题 4分，共 16分。 11.不等式

16.如图，函数y2sin(x),xR其中(0的图象与y轴交于点（0，1） （Ⅰ）求的值；

2)

x10的解集是_______. x212.函数y2sinxcosx1,xR的值域是_______

x213.双曲线y21上的点到左焦点的距离与到左准

m（Ⅱ）设P是图象上的最高点，M，N是图象与x轴的交点，求PM与PN的夹角。

线的距离的比是3，则m 等于 _______。

14.如图，正四面体 ABCD的棱长为 1，平面α过棱 AB， 且 CD∥α，则正四面体上的所有点在平面α内的射 影构

成的图形面积是_______。

三、解答题：本大题共 6小题，每小题 14分，共 84

分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15.若Sn是公差不为 0的等差数列an的前n项和，且

S1,S2,S4成等比数列

（Ⅰ）求数列S1,S2,S4的公比； （Ⅱ）S2=4，求an的通项公式。

17.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面为直角梯形， AD∥BC，∠BAD=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=AB=2BC，M、N分别为PC、PB的中点。 （Ⅰ）求证：PB⊥DM；

（Ⅱ）求BD与平面ADMN所成的角。

18.甲、乙两袋装有大小相同的红球和白球，甲袋装有2个红球，2个白球；乙袋装有 2个红球，n个白球，现从甲、乙两袋中任取 2个球。

（Ⅰ）若n3，求取到的4个球全是红球的概率； （Ⅱ）若取到的4个球中至少有 2个红球的概率为 求 n。

3，4

x2y219.如图，椭圆221(ab0)与过

ab且椭圆的A(2,0),B(0,1)的直线有且只有一个公共点T，

20.设f(x)3ax22bxc，若a+b+c=0，

f(0)f(1)0，求证

（Ⅰ）方程f(x)0有实根；

离心率e3, 2（Ⅱ）2b1 a（Ⅰ）求椭圆的方程

（Ⅱ）设F1,F2分别为椭圆的左、右焦点，求证

（Ⅲ）设x1,x2是方程f(x)0的两个实根，则

32AT12AF1AF2

3x1x23

数学试题（文科）参考答案

一、选择题：本题考察基本知识和基本运算。每小题 5分，共 50分。

（1）A（2）B （3）A （4）D （5）D （6）C （7）A （8）C （9）B （10）C

二、填空题：本题考察基本知识和基本运算。每小题 4分，满分 16分。

（11）xx1,或x2（12）2,0（13）18 （14）

12 三、解答题

（15）本题主要考察等差、等比数列的基本知识、考查运算及推理 能力。满分 14分。

解：（Ⅰ）设数列an的公差为d,由题意，得

S22S1S4

所以(2a21d)a1(4a16d)

因为d0

所以 d2a1

故公比qS2S4 1（Ⅱ）因为S24,d2a1,S22a12a14a1, 所以a11,d2

因此a2a1(n1)d2n1.

（16）本题主要考查三角函数的图象，已知三角函数值求角，向量夹角的计算等基础知识和基本的运算能力。

满分14分。

解：（Ⅰ）因为函数图象过点（0，1） 所以 2sinx1,即 sinx12

因为0l2所以l6. （Ⅱ）由函数y2sin(x6)及其图象，得

M(16,0),P(13,2),N(56,0),

所以 PM(112,2,)PN(2,2)从而

cosPM,PNPMPNPMPN

1517 故PM,PNarccos1517. 17．本题主要考查空间线线、线面关系、空间向量的概念与运算等基础知识，同时考查空间想象能力。满分 14分。

解：方法一：

（Ⅰ）因为N是PB的中点，PA=AB,

所以AN⊥PB.

因为AD⊥面PAB,

所以AD⊥PB.

从而PB⊥平面ADMN.

因为DM平面ADMN

所以PB⊥DM. （Ⅱ）连结DN，

因为PB⊥平面ADMN，

所以∠BDN是BD与平面ADMN所成的角.

在RtBDN中, sinBDNBNBD12, 故BD与平面ADMN所成的角是6. 方法二：

如图，以A为坐标原点建立空间直角坐标系Axyz,设BC=1，则A(0,0,0)

P(0,0,3),B(2,0,0),M(1,12,1),D(0,2,0)

（Ⅰ）因为PBDM(2,0,2)(1,32,1)

0

所以PB⊥DM .

（Ⅱ）因为 PBAD(2,0,2)(0,2,0) 0 所以PB⊥AD. 又PB⊥DM.

因此PBAD的余角即是BD与平面ADMN. 所成的角.

因为 cosPBAD3

所以PBAD=

3 因此BD与平面ADMN所成的角为6. （18）本题主要考查排列组合、概率等基本知识，同

时考查逻辑思维能力和数学应用能力。满分14分。 解：（Ⅰ）记“取到的4个球全是红球”为事件A.

P(A)C2C222111C2260.

4C5610（Ⅱ）记“取到的4个球至多有一个红球”为事件B，“取到的4个球只有1个红球”为事件B1，“取到的

4个球全是白球”为事件B2.

由题意，得

P(B)13144 2P(BC1122C2CnC2C112C1)22C2aC2

4Ca24Ca22n23(n2)(n1); 2P(BC2C2a1)C22

4Ca2 n(n1)6(n2)(n1);

所以 P(B)P(B1)P(B2)

2n2n(n1)3(n2)(n1)6(n2)(n1);

14 化简，得

7n211n60,解得n2，或n37（舍去），

故 n2.

（19）本题主要考查直线与椭圆的位置关系、椭圆的几何性质，考查解析几何的基本思想方法和综

合解题能力。满分 14分。 解：（Ⅰ）过 A、B的直线方程为

x2y1

因为由题意得x2y2a2b211有惟一解。

y2x1即(b2124a)x2a2xa2b20有惟一解,

所以a2b2(a24b24)0(ab0),，

故(a24b24)0

又因为 c3a2b232,即a24 ， 所以a24b2 从而得a22,b212, 故所求的椭圆方程为x222y21. （Ⅱ）由（Ⅰ）得c62, 所以 F1(62,0),F62(2,0) 由 x2y2a2b21解得 x1x21,,

y12x1因此T(1,12).

从而 AT254,

因为AF51AF22, 所以AT212AF1AF2 (20）本题主要考查二次函数的基本性质、不等式的基本性质与解法，以及综合运用所学知识分析和解决问题的能力。满分 14分。

证明：（Ⅰ）若 a = 0, 则 b = －c , f (0) f (1) = c (3a + 2b + c )

c20，

与已知矛盾， 所以 a ≠ 0.

方程3ax22bxc = 0 的判别式

4(b23ac),

由条件 a + b + c = 0，消去 b，得

4(a2b2ac)

4(a1c)23c2240

故方程 f (x) = 0 有实根. （Ⅱ）由条件，知

x2b1x23a, xcab1x23a3a,

所以(x1x22)2(x1x2)4x1x2

4b3219(a2)3. 因为 2ba1,

所以 1243(x1x2)9

故 33xx2123