(12)发明专利申请
(10)申请公布号 CN 110995406 A(43)申请公布日 2020.04.10
(21)申请号 201911317460.6(22)申请日 2019.12.19
(71)申请人 宁波海特技术转移有限公司
地址 315504 浙江省宁波市奉化市汇明路
98号(72)发明人 陈啸
(74)专利代理机构 哈尔滨市阳光惠远知识产权
代理有限公司 23211
代理人 刘景祥(51)Int.Cl.
H04L 9/00(2006.01)
权利要求书2页 说明书8页 附图8页
(54)发明名称
一种不等阶分数阶混沌系统的构造方法(57)摘要
本发明是一种不等阶分数阶混沌系统的构造方法。本发明基于Caputo定义了一个新的不等阶分数阶混沌系统，并且利用数字信号处理技术，设计数字电路作为混沌序列发生器。该新的四维不等阶分数阶混沌系统的动力学特性十分复杂，包括多吸引子共存，隐藏吸引子等复杂现象。不等阶分数阶混沌系统增加了4个可变阶数作为分岔的控制参数，增大了系统的秘钥空间，提升了系统的混沌性能。而且基于TMS320F28335,分数阶混沌系统实现灵活性高，使用性强，可以实现任何分数阶混沌系统。
CN 110995406 ACN 110995406 A
权 利 要 求 书
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1.一种不等阶分数阶混沌系统的构造方法，其特征是：包括以下步骤：步骤1：基于Caputo微积分，确定不等阶分数阶混沌系统的数学模型；步骤2：采用Adomian分解法，求解不等阶分数阶混沌系统的数值仿真解；步骤3：对不等阶分数阶混沌系统进行动力学特性分析，确定不等阶分数阶混沌系统的动力学特性；
步骤4：采用数字信号处理技术，基于TMS32F28335实现不等阶分数阶混沌系统。2.根据权利要求1所述的一种不等阶分数阶混沌系统的构造方法，其特征是：所述步骤1具体为：
步骤1.1：确定Caputo微积分，通过下式表示Caputo微积分：
其中，
为Caputo微积分方程，Γ为伽玛函数，m为积分常数，τ时间常数，dm为微分
算子；
步骤1.2：基于Caputo微积分，确定不等阶分数阶混沌系统的数学模型，通过下式表示不等阶分数阶混沌系统的数学模型：
其中，为Caputo定义的微分算子，x1(t)、x2(t)、x3(t)和x4(t)为
x1，x2，x3和x4的时间序列，x1，x2，x3和x4为状态变量，a、b、c和d均为不等阶分数阶混沌系统参
数。
3.根据权利要求1所述的一种不等阶分数阶混沌系统的构造方法，其特征是：采用Adomian分解法，求解不等阶分数阶混沌系统的数值仿真解，通过下式表示不等阶分数阶混沌系统的数值仿真解：
其中，xj为不等阶分数阶混沌系统的数值仿真解，j为状态变量个数，i为截取项数，Ajicj为系统方程中的常数。为非线性项的Adomian多项式，为初始条件，
4.根据权利要求1所述的一种不等阶分数阶混沌系统的构造方法，其特征是：所述步骤4具体为：
步骤4.1：初始化DSP芯片，配置GPIO口；步骤4.2：将迭代Adomian法所用的迭代公式入主函数；对混沌序列多平移和缩放变换；
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权 利 要 求 书
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步骤4.3：将示波器探针连接DSP输出，调试示波器，得到混沌吸引子相图。
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说 明 书
一种不等阶分数阶混沌系统的构造方法
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技术领域
[0001]本发明涉及不等阶分数阶技术领域，是一种不等阶分数阶混沌系统的构造方法。背景技术
[0002]5G技术、大数据、区块链等技术领域的飞速发展给民众带来极大便利的同时，也引发了人们对网络空间安全问题的思考。如何保证数据隐私是重中之重。如何保证网络空间安全迫在眉睫。基于混沌理论的保密通讯成为了研究热点。混沌系统具有初值敏感性、类噪声性、高带宽和遍历性等优点，使其在保密通信领域具有独特的优势。此外，研究人员通过简单的迭代可以很容易的获取混沌序列，能够满足实时加密的要求。[0003]整数阶混沌系统因具有实现方便，迭代占用资源少等优点而被广发地应用于保密通信领域。但是，随着人工智能、区块链和云计算的发展，对于简单整数阶混沌系统的参数、初值和变量运动轨迹的预测技术越发精准，从而使得保密通讯存在安全隐患。[0004]近年来，随着信息安全的问题日益凸显，混沌科学逐渐成为了研究的热点。混沌系统具有初值敏感性、类噪声性和遍历性等特点，使其在密码学应用中具有独特的优势。此外，混沌序列通过简单迭代即可生成，能满足实时加密的要求。因此，设计结构更为复杂，可用参数和变量更加多的混沌系统将会具有更高的安全性。[0005]分数阶最早由莱布尼茨和洛必达提出，已经有300多年的历史。但是由于缺乏有效的计算工具和应用场景，分数阶微积分发展十分缓慢。随着计算机技术的发展，学者们开始大量研究分数阶微积分的应用。自然界中的大多数物理现象都能用分数阶系统来描述。尤其是与历史变化过程相关的物理现象，比如迟滞系统，黏性系统等。实际上，整数阶系统是分数阶系统的一个特例。分数阶混沌系统的动力学特性研究成为学者研究的热点。由于分数阶混沌系统具有更加复杂的结构，更多可用的参数等优点而被广泛地应用于保密通讯领域。分数阶混沌系统能够提供能多的可用参数，尤其是不等阶分数阶混沌系统成为了混沌保密通信中的理想模型。
[0006]混沌系统的硬件实现在基于混沌序列的保密通信中非常关键。和模拟电路相比较，数字电路实现混沌系统时所需的元器件较少，精度高，且受外界环境(温度等)影响较小，因此数字电路成为实现混沌系统的首选。利用数字信号处理技术设计混沌系统的实现方案成为了基于混沌理论保密通信的一个关键步骤。如何设计一个高维的，具有更多可用参数的分数阶混沌系统并且设计数字电路实现该系统具有重要的现实意义和研究价值。发明内容
[0007]本发明为提高混沌系统的精度，并可以进行高维研究，本发明提供了一种不等阶分数阶混沌系统的构造方法，本发明提供了以下技术方案：[0008]一种不等阶分数阶混沌系统的构造方法，包括以下步骤：[0009]步骤1：基于Caputo微积分，确定不等阶分数阶混沌系统的数学模型；[0010]步骤2：采用Adomian分解法，求解不等阶分数阶混沌系统的数值仿真解；
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说 明 书
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步骤3：对不等阶分数阶混沌系统进行动力学特性分析，确定不等阶分数阶混沌系
统的动力学特性；[0012]步骤4：采用数字信号处理技术，基于TMS32F28335实现不等阶分数阶混沌系统。[0013]优选地，所述步骤1具体为：[0014]步骤1.1：确定Caputo微积分，通过下式表示Caputo微积分：
[0015]
[0016]其中，
为Caputo微积分方程，Γ为伽玛函数，m为积分常数，τ时间常数，dm为
微分算子；
[0017]步骤1.2：基于Caputo微积分，确定不等阶分数阶混沌系统的数学模型，通过下式表示不等阶分数阶混沌系统的数学模型：
[0018]
[0019]其中，为Caputo定义的微分算子，x1(t)、x2(t)、x3(t)和x4
(t)为x1，x2，x3和x4的时间序列，x1，x2，x3和x4为状态变量，a、b、c和d均为不等阶分数阶混沌
系统参数。
[0020]优选地，采用Adomian分解法，求解不等阶分数阶混沌系统的数值仿真解，通过下式表示不等阶分数阶混沌系统的数值仿真解：
[0021][0022]
其中，xj为不等阶分数阶混沌系统的数值仿真解，j为状态变量个数，i为截取项
是初始条件，cj为系统方程中的常数。
数，Aji为非线性项的Adomian多项式，
[0023][0024][0025]
优选地，所述步骤4具体为：步骤4.1：初始化DSP芯片，配置GPIO口；步骤4.2：将迭代Adomian法所用的迭代公式入主函数；对混沌序列多平移和缩放
变换；
[0026]
步骤4.3：将示波器探针连接DSP输出，调试示波器，得到混沌吸引子相图。
[0027]本发明具有以下有益效果：
[0028]本发明提供的Adomian分解法计算速度快，精度高，可以提供更多的可变参数，从而加大了系统的密钥空间；并且通过动力学特性分析表明分数阶混沌系统相比较于对应的整数阶系统有更高的混沌特性。最后利用DSP实现不等阶分数阶混沌系统，为利用混沌序列
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说 明 书
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进行保密通信应用提供了极大的便利。
附图说明
[0029]图1是系统不同参数和阶数的混沌吸引子相图；
[0030]图2为参数a变化时的系统分岔图和李雅普诺夫指数谱图。[0031]图3不同参数a的吸引子共存相图；
[0032]图4为参数b变化时的系统分岔图和李雅普诺夫指数谱图；[0033]图5为不同参数b的吸引子共存相图；
[0034]图6为参数c变化时的系统分岔图和李雅普诺夫指数谱图；[0035]图7为不同参数c的吸引子共存相图；
[0036]图8为等阶时系统随q变化时分岔图和李雅普诺夫指数谱图；[0037]图9为不等阶时系统随q变化时分岔图和李雅普诺夫指数谱图；[0038]图10为隐藏吸引子相图；
[0039]图11为基于TMS320F28335芯片的硬件关系图；[0040]图12为软件设计图；[0041]图13为DSP平台展示图；[0042]图14为DSP仿真结果图。
具体实施方式
[0043]以下结合具体实施例，对本发明进行了详细说明。[0044]具体实施例一：
[0045]本发明提供一种不等阶分数阶混沌系统的构造方法，包括以下步骤：[0046]步骤1：基于Caputo微积分，确定不等阶分数阶混沌系统的数学模型；[0047]所述的Caputo微分定义为：
[0048]
[0049]其中，
为Caputo微积分方程，Γ为伽玛函数，m为积分常数，τ时间常数，dm为
微分算子；
[0050]基于Caputo微积分，确定不等阶分数阶混沌系统的数学模型，通过下式表示不等阶分数阶混沌系统的数学模型：
[0051]
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其中，为Caputo定义的微分算子，x1(t)、x2(t)、x3(t)和x4
(t)为x1，x2，x3和x4的时间序列，x1，x2，x3和x4为状态变量，a、b、c和d均为不等阶分数阶混沌
系统参数。
[0053]步骤2：采用Adomian分解法，求解不等阶分数阶混沌系统的数值仿真解；[0054]对个一个给定的分数阶系统*Dq t0x(t)＝f(x(t))，步骤S2所述的Adomian分解法为：
[0055][0056]
其中*Dq t0是Caputo定义的微分算子，L和N分别是线性项和非线性项，c是常数方程两边同时应用算子可得：
项。
[0057][0058][0059]
其中第i个非线性项按照公式(4)分解：
[0060]
[0061][0062][0063][0064][0065][0066][0067][0068][0069][0070][0071]
则非线性项N为：
分数阶系统的数值解为：
其中xi为：
…
利用Adomian分解法，将非线性项进行分解得到：
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令初值为x0＝[x1(t+0)x2(t+0)x3(t+0)x4(t+0)]＝c0＝[c0 1 c0 2 c0 3 c0 4].
则
[0076]
[0077]
令
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其中j＝1,2,3,4。h＝t0-t。
[0086]以下对该新不等阶分数阶混沌系统的动力学特性进行分析(包括不同参数共存吸引子共存，隐藏吸引子，不同阶数对系统动力学特性的影响)，从而证明该混沌系统具有丰富的动力学特性。
[0087]吸引子共存是指一个系统在相同参数下，对于不同的初始值，系统出现不同的运动轨迹的现象。吸引子共存现象说明了混沌系统的初值敏感性。李雅普诺夫指数表征相邻两个轨迹之间的发散程度，正的李雅普诺夫指数是混沌系统的基本特征，李雅普诺夫指数越大，系统的混沌特性越强。
[0088]图1是新不等阶分数阶系统在x-y,x-z,y-z平面上吸引子相图a＝2,b＝3.8,c＝3,d＝1,初始值为x0＝(0.01,0.1,0.1,0.1),(a-c)q1＝q2＝q3＝q4＝0.9；(d-f)q1＝0.9,q2＝0.9,q3＝0.8,q4＝0.6。
[0089]图2为q1＝0.9,q2＝q3＝q4＝0.8,h＝0.01,b＝1,c＝3,d＝2,x0＝[0.010.10.10.1]和x1＝[-0.01-0.1-0.1-0.1]，a变化时的共存分岔图，共存李雅普诺夫指数谱演化图。其中蓝色代表初值x0的分岔图，红色为x1的分岔图，从图一可以看出，系统有大量的吸引子共存现象。当a>2.04时，不同初始值对应的吸引域分离，意味着吸引子共存现象。从图3上可以看出，参数a变化时，系统有不同类型的混沌吸引子与混沌吸引子共存，混沌吸引子与周期态共存和周期态与周期态共存。图3所示的系统在x-y平面共存吸引子相图：(a)a＝0.33；(b)a＝2.055；(c)a＝2.1；(d)a＝2.15；(e)a＝2.4。
[0090]令q1＝q4＝0.9,q2＝q3＝0.8,a＝2,c＝3,d＝1,b∈[3.2,4],并且x0,x1,h保持与图2一致，b变化时有更加丰富的吸引子共存现象。从图4可以看出，尽管系统参数保持一致，但是当初始值不同时，系统的运动轨迹有很大的不同，轨迹之间的发散程度也不相同，这对于利用混沌序列进行加密是十分理想的。图5为系统在z-w平面的吸引子共存相图：(a)b＝3.26；(b)b＝3.345；(c)b＝3.39；(d)b＝3.413。[0091]参数c变化时，同样有吸引子共存现象。令q1＝q2＝q3＝0.9,q4＝0.8,a＝2,b＝1,d＝1,c∈(0.5,5),x0,x1,h保持不变，系统共存分岔、共存李雅普诺夫指数谱如图6所示。系统不仅有很大的混沌参数范围，而且有着大量的吸引子共存现象。图7为系统在y-w平面的吸引子共存相图：(a)c＝1.02；(b)c＝2.07；(c)c＝2.46；(d)c＝2.35；(e)c＝3.3；(f)c＝3.5。[0092]不等阶分数阶混沌系统相比较整数阶系统来说，系统有更多的可变参数，例如阶数q。等阶与不等阶系统的分岔图与李雅普诺夫指数谱如图8，图9所示。显然，方程阶数对系统动力学特性有明显不同的影响。例如q1＝q3＝q4＝0.6，q2∈(0.9,1)时系统处于混沌状态，而当qi＝q2＝0.6(i＝1,3,4),qj∈(0.9,1)(j＝1,3,4,j≠i)时，系统处于周期态。[0093]隐藏吸引子是一种不可预测的吸引子，它的吸引域不与任何平衡点相交，并且会远离平衡点。例如，没有平衡点或者只有稳定平衡点的系统存在的吸引子为隐藏吸引子。取a＝2,c＝3,d＝2,q1＝q2＝0.9,q3＝q4＝0.5,b＝5.5，系统出现隐藏吸引子如图10所示。隐藏吸引子现象说明了该不等阶分数阶混沌系统具有更加复杂的动力学特性。图10：(a)y-z-w；(b)y-x-w；(c)x-y-z；[0094]以上分析表明，该新不等阶分数阶混沌系统具有很强的混沌特性，适合将其应用于保密通信领域。混沌序列发生器是基于混沌特性保密通信的关键一步，本发明利用TMS320F2855芯片实现该混沌系统。
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图11为主板芯片与DA转换器，示波器之间的关系图。对于任何一个分数阶混沌系
统，都可以利用该平台实现。[0096]步骤3：对不等阶分数阶混沌系统进行动力学特性分析，确定不等阶分数阶混沌系统的动力学特性；[0097]步骤4：采用数字信号处理技术，基于TMS32F28335实现不等阶分数阶混沌系统。[0098]步骤4.1：首先初始化DSP芯片，配置GPIO口。[0099]步骤4.2：将迭代Adomian法所用的迭代公式写入主函数。为了加快迭代计算，提前将Γ(·)函数和hnq计算好，以备主函数调用。并且按照需要设定系统参数以及初始值，迭代步长。由于所用芯片D/A8552的数限范围是(0,65535)，因次需要对混沌序列多平移和缩放变换，具体设定根据实际需要。[0100]步骤4.3：将示波器探针连接DSP输出，调试示波器，得到混沌吸引子相图。[0101]按照以上三个步骤，依据图12和图13，首先设定与图1对应的初始值，系统参数和阶数，在DSP平台上对该新不等阶分数阶混沌系统进行仿真，得到的仿真结果如图14所示，该结果与在MATLAB平台上得到的一致，证明该方法的有效性。图14：(a-c)a＝2,b＝3.8,c＝3,d＝1,q1＝q2＝q3＝q4＝0.9；(d-f)a＝2,b＝3.8,c＝3,d＝1,q1＝q2＝0.9,q3＝0.8,q4＝0.6。
[0102]以上所述仅是一种不等阶分数阶混沌系统的构造方法的优选实施方式，一种不等阶分数阶混沌系统的构造方法的保护范围并不仅局限于上述实施例，凡属于该思路下的技术方案均属于本发明的保护范围。应当指出，对于本领域的技术人员来说，在不脱离本发明原理前提下的若干改进和变化，这些改进和变化也应视为本发明的保护范围。
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