基于“专家打分法”的DEA交叉效率聚集方法

打分相应的会赋予较小的权重。最后运用算例分析说明此方法的有效性。关键词：DEA； DEA交叉效率；交叉效率矩阵；交叉效率集结中图分类号：022

文献标志码：A 文章编号：1000-7695 （2019） 02 -0248 -06DEA Cross 一 efficiency Aggregation Method Based upon Expert ScoringLiu Peng, Wang Lifang, Xu yan

(School of Management, Northwestern Polytechnical University, Xi * an 710072, China)Abstract: This paper focuses on aggregating cross 一 efficiencies by taking into consideration their relative importance and

proposes a method to aggregate cross - efficiency based on expert scoring. This method will transform the cross - efficiency matrix into expert scoring matrix.. Due to their differences on education background and work experience, experts' scoring

should be given a different weight in the final score. The weights allocated to experts are based on their dissimilarity level to other ones. If there is a significant difference between the efficiency scoring of an expert and that of other experts, the au­

thority of the expert will be questioned. Accordingly, his efficiency scoring will play a small role in the final score. Finally, a numerical example is used to show the validity of this method.Key words: data envelopment analysis ； DEA cross - efficiency ； cross - efficiency matrix ； cross - efficiency aggregation数据包络分析是一个对具有多投入（产岀）同

质决策单元（DMU）进行效率度量的非参数方 法⑷。DEA被证实是一种有效的效率度量及鉴别生

BCC）中的非唯一权重解，极大地影响了 DEA交叉 效率方法的使用［7］9°'91,致使计算得出不同的交叉 效率矩阵〔9】。为了解决这一问题，构建DEA交叉效

产前沿面的方法⑷。DEA方法已经被广泛运用在学 率第二目标函数的想法被提出\"回-98。受此想法启

校、酒店、工程项目投资等方面的效率评估上卩7。

但是，传统的DEA方法仅仅把决策单元区分为有效

发，一系列的第二目标函数方法被提出。Doyle 等\"°）提出了敌对和友善交叉效率模型。敌对模型的

建模思路是在众多自利权重体系中，选择一组能使 其他决策单元平均交叉效率最小的权重体系，友善

和非有效两组，对有效决策单元无法进一步进行区 分排序同。为了提升DEA方法对决策单元的区分效

度，DEA交叉效率评估方法被提出，它采用“自评

+他评”方法来评估决策单元的效率17188DEA

模型的建模思路与之相反。基于敌对和友善模型的

建模思路，Liang等⑴〕、Wang等［⑵、Lim［13］均提 出了一些类似的第二目标函数模型。与敌对和友善

交叉效率方法被证实可以对不同决策单元给定唯一

的排序号⑻，极大地的提升了 DEA方法对决策单元

模型的建模思路不同，Wang等［⑷提出的“中立模 型”，更加关注的是，在众多对自己有利的权重体系 中，如何选出一组权重体系，尽量对自己有利，而

的区分能力。但是，决策单元在DEA传统模型（CCR、收稿日期：2018 -04-04，修回日期：2018 -05 -30基金项目：国家自然科学基金项目\"不确定环境下整合风险与属性绩效交互影响的多属性决策方法及应用研究”（71601155）；陕西省自然

科学基础研究计划项目“风险交互影响的关联多属性决策方法研究及其应用”（2017JQ7001）刘 鹏等：基于\"专家打分法”的DEA交叉效率聚集方法249不去关注它对其他决策单元的影响。Wang等“一阎 策单元的效率“打分”，由于“专家”之间的教育

背景、工作经验等存在差异，他们的“打分”理应 设置不同的权重。权重的设定依据他们对决策单元 效率“打分”的差异程度，差异程度较大的专家，

均基于此想法，扩充了 DEA交叉效率中立模型。除 此之外还有DEA交叉效率排序模型\"I, DEA权重 平衡模型［⑷等等。从以上论述可以看出，现存的有关DEA交叉效

他的权威性就会受到质疑，相应的会给出较小的权

率研究的文献，大多集中在DEA交叉效率的应用以

重设置。1 DEA交叉效率及求解DEA交叉效率矩阵上，很少关注DEA交叉

效率的集结问题。最为常用的集结方法，就是把每

个决策单元的众多交叉效率值，采用等权的处理方

假设有\"个同质决策单元需要进行效率评估，

他们均有m个投入，s个产出。决策单元j =（1,-,

法进行简单的数学平均，得出最终的平均交叉效率

值。但是，采取等权处理，会使最终的平均交叉效

\"）的投入产岀数值表示为切（i = 1,…，m）和Xy（r =

率值与权重之间丧失联系，同时也没有考虑到不同 交叉效率值彼此重要性的差异［切。文献梳理发现，

1,…，s）。依据投入产出比，它的效率值定义0 =

三打1\"\"\" J= （1,=1,…，m）和 ur（r = 1,

仅有少数几篇文献考虑到了不同交叉效率值之间的

差异，采用非等权的处理方法。吴杰等从合作博弈

论的视角来理解DEA交叉效率，发现采用简单数学 平均方法得出的最终平均交叉效率值，并非一个帕 累托方案，提岀了采用合作博弈论中的核子解、夏

…,s）分别是投入指标和产出指标的权重，决策单元k e

的CCR效率值可以依据以下CCR模型⑴ 求得。普利值方法以及爛权法来确定每个交叉效率值的不

,x 八 Xr=i urkyrkMaximize Ukk =皿同权重，采用非等权的方法集结交叉效率mb］。除 了说明采用等权处理得出的最终效率值，不是一个 帕累托方案这一抽象原因外，以上3篇文献没有给 出具体宜观的原因说明为什么交叉效率要用非等权

的方式进行聚合集结［如o Lian - lian Song等⑵］发现 采用爛权法得出的权重违背了 “泽莱尼规则「旳”，

Subject to 妝二絆：\"J51/=/,...,n （1） 乙 vikxijUrk > 0, r=I,--',sVik > 0, i =从以上规划式不难看出,CCR模型就是在保证使 所有决策单元的效率值不大于1的权重体系下，允许

进一步完善了基于爛权法的交叉效率聚合模型。但 是，它依然没有给出为何采用不同的权重来聚合交

叉效率的具体原因。除此之外，YingMing Wang 等少］采用了有序加权平均算子方法（0WA）来求

每个决策单元使用最有利于自己的权重体系进行效

率测量。从这个角度上，可以看出CCR模型是一个“自 评”效率模型,由CCR模型得出的权重解为相应决策单

解不同交叉效率的权重，此方法考虑了外部决策者

的风险偏好（乐观水平），但是此方法会给每个具 体的决策单元设置不同的权重⑺】，同时计算结果会

随着决策者风险偏好水平的不同设定而出现差异，

元的自利权重。假设u；（r = l,…,s）和”；（i=l,…,s）

是以上模型的最优权重解。则% =迂叮“为决

且也存在着决策者风险水平难以测度的问题。于 2013年他们又提出了 3个备选方案⑵］。他们的计算

策单元k e -n｝的CCR效率值。用如=

原理是，首先计算出某个具体决策单元衡量下的交 叉效率向量，与其他组交叉效率向量的差异程度，

差异越大相应的权重设置越小，但是他们没有给出

为\"印\"表示决策单元= …，在决

策单元％的自利权重体系下的交叉效率值。以上CCR模型求解\"次，可以得出每个决策单 元的自利权重体系，在“组权重体系下，每个决策

单元获得一个“自评”效率值”-1个“他评”效

具体直观的计算逻辑依据，同时算例分析也表明3 个方案给出的效率评估结果不一致，这就导致在3

个方案中难以选择的问题。为了克服现存的交叉效率集结方法的不足，本

率值，依据一定的集结方法（如简单数学平均、 0WA、炳权法等），每个决策单元会得出一个平均 交叉效率值即为DEA交叉效率值，交叉效率矩阵见

文提出了基于“专家打分法”的交叉效率集结方

法。此方法把交叉效率矩阵看作外部“专家”对决

表1所示。250表1DMU刘 鹏等：基于“专家打分法”的DEA交叉效率聚集方法DEA交叉效率矩阵目标DMU1^11urk > 0,r=l,...,s,n0“Vik >

\"72 …12珀2 022…该中立模型，希望决策单元在众多自利权重体 系下，选择出一组权重体系使自己在各个单独的产

出下，效率都尽量有效。采用以上3个模型，可以

n^11%2 …Em求解出如表1所示的交叉效率矩阵。为了得出最终 的平均交叉效率值，就涉及到聚合集结方法的选择

注意到CCR模型在求解中，可能不止一个最优

权重解。这一问题会严重影响到DEA交叉效率模型 的使用。因为不同的权重体系下，会得出不同的交叉

效率矩阵，致使每个决策单元最终的平均交叉效率值

不唯一，对他们无法进行排序。为了解决这一问题, Sexton等提出构建第二目标函数方法［7］91'98,基于此 想法Doyle和GreentI0］于1994年提岀了 DEA交叉效

率敌对和友善模型。他们的数学规划式如下：MiniinizeJ；^=1 urk

片屏丁)Subject to vtk (Cm 对=1Sf-=i y)k —®kk》l=lVikXik=0

( 2)Sr=l urkyrj~ vikXij < 0,/=1,,.. , n；j丰 k

Urk 工 0, r=l,…,S, vik > 0 ,i=l, ,mMaximize S'=1 urk (丫雋,円 yrj)

Subject to f 呗(马=1,円夠)=1Sr=i urkyrk - dkk^'i=l vikxik^0

⑶Yir=iurkyr］ ~ 2/=1 vikxij — °J=1,…，n； J 丰 k

urk>0, r=l,...,s,Vik X 0,7=1,(2)式为敌对模型，其最小化其他决策单元的 平均交叉效率值，友善模型与之相反。除此之外还 有一类较为典型的第二目标函数方法，称之为“中

立模型”。此类模型，更加关注选择的权重体系，对

自身的影响，而非对其他决策单元效率的影响，较 为典型的中立模型，是Wang等［⑷于2010年提岀

的，规划式如下：Maximizes =mi {1,nimum\\…,S}（ 器山小\"］VtkXik\\Subject to 0；斤=妝€可：：：：：vikxik< 1J=1,.... n;j丰 k (4)问题。2基于“专家打分法”的交叉效率聚合方法表1所示的交叉效率矩阵，可以看作不同的外 部“专家”对决策单元的效率“打分”，如第二列

可以看作专家1对个决策单元的效率“打分”，专家 依据自己的判断，对不同的投入(产出)指标设置 相应的权重，据此给出决策单元的效率得分。'由于

他们之间学识背景，工作经验等的差异，理应对他

们的效率“打分”给予区别对待。若某个“专家”

与其他“专家”的“打分”存在较大的差异，那么

很显然他的权威性就受到一定的质疑，他的效率 “打分”在最终“得分”中扮演的作用就会弱一些,

下面的算例分析，会给出此方法详细的计算步骤。3算例分析算例：7个学院的效率评估⑵〕。投入指标分别 为教职工的人数，教职工的工资薪水，行政人员的

薪资，产出指标为培养的本科生人数，研究生人数

以及发表的论文数量。7个学院的教学科研活动, 可以看作一个3个投入3个产出的生产活动。他们

的原始数据以及CCR效率值，如表2所示。表2 7个学院投入产出数据和CCR值投入，产出学院-CCRX1 x2x371/2y?>效率值11240020

653517121975070139414013421 500702256875

141560010090

12170.819 75452 000250253145130161973050132454517412 35060030515997

1其中，%,为教职工人数，心为教职工的总薪

资，单位为千磅，巧为行政人员的总薪资，单位为

千磅。y,为培养的本科生人数，y2为培养的研究生

人数，y3为发表的论文数量。运用DEA传统模型

CCR,对他们进行效率评估，结果显示7个学院中

刘 鹏等：基于“专家打分法”的DEA交叉效率聚集方法251的6个为DEA有效点，无法对他们进一步区分排 序，使用DEA交叉效率模型，可以解决这一问题。

专家2对它的效率打分却为0. 845 2，他们的差值为

0. 1548,以此类推可以求得专家1和其他6个专家，

对所有7个决策单元的效率差异（差异值用效率差 异的绝对值表示），由此计算求得总差异值为

表3、4列示了 DEA交叉效率敌对模型，计算得岀 的每个决策单元在众多自利权重体系中，所选择的

权重体系以及他们所对应的各个决策单元的效率值。表3 DEA交叉效率敌对模型选择的用于计算交叉效率的权重矩阵学院1X|15. 360 20同理可以求得专家2与其他6位“专家”

的总差异值为11-897 8,专家3的总差异值为 12. 3093,专家4的总差异值为13.083 6,专家5的

总差异值为11-679 8,专家6的总差异值为9. 473,

x2x3yiY2y-i00000.002 30000.005 40.004 300.000 90.000 10.000 900.000 5000000.001 7

230.000 105.3E-060.000 70.000 30.000 8专家7的总差异值为12. 653 10与其他“专家”在 对决策单元的效率“打分”上差异化越大，其权威

性越受到质疑，相应的其的效率“打分”在决策单

元的最终效率得分上扮演的作用应该越小，受此启

400.000 40.000 7567

00000

发用差异值的倒数作为他们各自效率“打分”在最

0.001 00.006 6

0.001 2000终效率得分上的权重，即专家1的效率“打分”的 权重为1/15. 360 2,专家2的权重为1 /11.897 8, 专家3的权重为1/12. 309 3,专家4的权重为1/

13.083 6,专家5的权重为1/11.679 8,专家6的权

表4 敌对模型下计算得出的交叉效率矩阵学院 （专家）学院1 21.000 034567重为1/9.473,专家7的权重为1/12. 653 1,由此求得

10.334 71.000 00.617 81.000 00.555 10.848 10.068 60.755 10.33140.662 00.514 31.000 00.821 30.151 4决策单元最终的平均效率值，决策单元1的在以上权

重下的最终效率值为0.508 1（ 1.000 Ox 1/15. 360 2 +

20.845 20.604 40.158 10.998 5340.933 30.687 81.000 01.00000.280 00.819 70.24170.441 30.314 80.764 61.000 00.477 80.845 2 x 1/11.897 8 + 0.933 3 x 1/12 309 3 + 0.687 8 x

1/13.083 6+ 1.000 Ox 1/11.679 8 + 0.933 3 x 1/9.473 +

0.735 10.555 11.000 00.950 70.79155670.701 70.985 40.278 31.000 00.752 1 x 1/12.653 l）o决策单元2的最终效率值为 0. 425 5,决策单元3的最终效率值为0. 430 9,决策

单元4的最终效率值为0. 236 9,决策单元5的最终

0.933 30.752 10.842 60.556 41.000 00.417 50.206 30.830 90.610 7表4中第三行的效率值是在表3学院1（专家

1）的权重体系（0, 0, 0.000 9, 0, 0.000 5, 0） 下求得的，其他行的效率值类似原理。可以把左侧

效率值为0.363 0,决策单元6的最终效率值为 0. 478 5,决策单元7的最终效率值为0. 342 6,他们

在CCR模型及基于“专家打分法”聚合的DEA交

叉效率敌对模型（以下简述为DEA交叉效率模型） 下的效率值和排序结果如表5所示。在CCR模型 下，会出现对有效决策单元无法进一步区分排序的

进行权重选择的每个学院看作不同的外部专家，每

个学院在敌对模型下求得的权重体系，看作专家对

不同投入（产出）指标之间重要性的判断。从表3

可以看出，他们的判断有很大差异，相应的表4也 显示，他们对决策单元的效率“打分”也存在较大 差异。为了把表4中众多的交叉效率值（效率打分） 聚合成一个效率值，就需要对不同专家的重要性

问题，采用DEA交叉效率模型，可以很好的解决这 一问题。以上是采用DEA交叉效率敌对模型得出的

效率值结果，表6和表7分别所示了 DEA交叉效率 友善模型下计算得出的每个决策单元选择的用于计

算交叉效率的权重体系，及相应的交叉效率矩阵,

（权威性）给出判断，我们期望他们的判断、对决 策单元的效率“打分”越接近越好，若出现个别专

家的“打分”与其他有很大出入，则此专家的权威

可以看出敌对和友善模型在决策单元众多的自利权

重体系中选择出了不同的权重体系，也可以看作敌

性就会受到质疑。基于此思路，首先求得某个具体

对和友善模型下，选择的专家样本不同，他们对不 同投入（产出）指标之间重要性的判断出现了差

异，和敌对模型下的计算思路一致，可以求解得出，

“专家”对不同决策单元的效率“打分”和其他 “专家”的差异程度，差异化越小，其的权威性越 高，相应的他对决策单元的效率“打分”的权重设 置就越高。由表4可以求得，专家1和其他6个专 家对决策单元效率“打分”的差异程度，如专家1

友善模型下的各个决策单元的最终平均交叉效率值，

他们的效率值分别为1.540 7、1.552 8、1.237 5、

1.019 5、1.443 4、1.587 5、1.545 6,他们在 CCR

模型及DEA交叉效率友善模型下的排序结果如表8

对决策单元1 （被评价对象1）的效率打分为1,而

252刘 鹏等：基于“专家打分法”的DEA交叉效率聚集方法所示，可以看出基于“专家打分法”聚合的DEA交 叉效率敌对和友善模型下，决策单元的效率值及排

表8 （续）学院CCR1排序DEA交叉效率排序序结果出现了差异，为了规避在两者难以选择的问

311.237 51.019 56题，我们建议使用DEA交叉效率“中立”模型进行

计算。表9和10分别列示了 DEA交叉效率“中立” 模型下生成的权重矩阵及相应的交叉效率矩阵，与 敌对和友善模型均存在差异，基于以上计算思路,

45670. 819 771171111.443 41.587 51. 545 65113可以求得基于“专家打分法”的DEA交叉效率中立 模型下的所有决策单元最终的效率值，他们分别为

表9 DEA交叉效率中立模型选择的用于计算

交叉效率的权重矩阵学院1X1X21.092 6、1.080 7、0. 880 1、0.682 2、1.022 2、

X3yiY2Y31.1197、1.067 9O他们新的排序结果如表11所示。表5 7个学院的效率值及排序结果学院100.037 10.001 70.016 200.005 60.005 30.009 50.019 60.003 32排序130.000 406.29E-050.000 30.003 20.002 61.60E-10CCR111排序11DEA交叉效率00.064 20.014 300000.000 80.009 10.001 30.008 51.13E ・100.002 60. 508 10.425 50.430 945240.010 80.002 30.007 40.002 134136700.00140.000 10.002 50.001 10.007 40.003 40. 819 7710. 236 90. 363 075260.017 4567111110.478 50. 342 6表10中立模型下计算得出的交叉效率矩阵学院学院（专家）1 234560.955 070.819 3表6 DEA交叉效率友善模型选择的用于计算

11.000 00.930 20.759 00.771 90.614 30.701 30.268 00.836 00.899 00.336 50.764 91.000 0交叉效率的权重矩阵学院1X12Y2Y30.92191.000 00.687 41.000 01.000 00. 829 41.000 0x2x3yi30.616 61.000 01.000 00.734 90.167 01.000 01.000 01.000 01.000 00.002 00.002 98. IE-05000.000 30.000 60.000 90.000 60.000 200.000 30450.819 70.413 50.950 60.910 42346. 6E-052. 9E-055.3E-061.000 01.000 00.944 40.846 10.953 80.665 10.749 100.005 40.000 7000000.001 0670.540 90.596 60.996 00.958 41.000 01.00000.000 80.000 40.000 30.000 43. 2E-110.971 80.754 450.002 50. 002 10. 002 50.000 10.001 10.000 40.000 30.000 467& 4E-050.000 10.000 90.001 2表11学院17个学院的效率值及排序结果排序11CCRDEA交叉效率1.092 61.080 7排序2111表7友善模型下计算得出的交叉效率矩阵学院（专家）236学院1 23510. 880 10. 682 21.022 2346740. 819 7711175111.000 00.921 91.000 00.687 51.00000.981 20.769 00.641 10.70130.938 20.899 01.000 01.000 01.000 00.950 60.910 41.000 01.000 01.000 01.000 05611121.000 00.851 01.000 00.771 91.000 01. 119 71.067 93450.454 20.495 00.765 01.000 00.294 1740.734 90.665 10. 819 71.000 01.000 01.000 00.846 10.981 20.413 50.641 10.641 14结论现存的有关DEA交叉效率评估方法的文献，大 多关注交叉效率矩阵的计算上，很少关注交叉效率 的集结问题，本文的研究聚焦交叉效率的聚合问题。

671.000 01.000 00.769 00.769 00.938 20.938 20.98 121.000 0表8学院17个学院的效率值及排序结果排序DEA交叉效率CCR11排序在克服现存的交叉效率聚集方法不足的基础上，提

111.540 742岀了 “基于专家打分法”的交叉效率聚合方法，此

21.552 8方法把基于一定DEA交叉效率第二目标函数得出的

刘 鹏等：基于\"专家打分法”的DEA交叉效率聚集方法253交叉效率矩阵，看作外部“专家”对决策单元(被

-731.[14] WANG Y M, CHIN K S. A neutral DEA model for cross - efficiency

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评价对象)的效率“打分”矩阵，依据他们彼此的

差异程度大小，确定他们的效率“打分”在最终效

率“得分”上的作用(权重)，最后，运用一个算

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ficiency evaluation [J]. International Journal of Production Economics ,2010,128(1)： 332 - 338.作者简介：刘鹏(1989—)，男，河南商丘人，博士研究生，主要研 究方向为DEA、生产力分析；王莉芳(1965-),女，陕西西安人，

[13 ] LIM S. Minimax and maximin formulations of cross - efficiency in

DEA [ J ]. Computers & Industrial Engineering, 2012, 62: 726教授，博士生导师，主要研究方向为系统工程方法；许燕 (1983-),女，陕西西安人，副教授，主要研究方向为决策管理、 可持续发展。