中考专练之二次函数交点个数问题(解析版)

求解函数交点的方式

1. 令两函数值相等（解析式等）

2.

3. 解出等式的未知数 x

4：把未知数 x 的值带入两函数任意一个（一般是一次函数） 5：写出交点坐标（x，y）

1. 已知关于x的一元二次方程x2+(4-m)x+（1-m）= 0． （1）求证：无论m取何值，此方程总有两个不相等的实数根；

（2）此方程有一个根是3，在平面直角坐标系xOy中，将抛物线y=x2+(4-m)x+（1-m）向右平移3个单位，得到一个新的抛物线，当直线y=x+b与这个新抛物线有且只有一个公共点时，求b的值． 【答案】 （1）见解析（2）-4 【解析】

（1）证明：∵△=4m41m. =m24m12 =m28 ∴△＞0.

∴无论m取何值，方程总有两个不相等的实数根. （2）把x=-3代入原方程，解得m=1. ∴yx3x.

22239即yx.

2439依题意，可知新的抛物线的解析式为y'x.

24即y'x3x

∵抛物线y'与直线yxb只有一个公共点， ∴x23xxb.

222即x24xb0. ∵△=0.

∴44b0. 解得b= -4.

2. 已知抛物线y3x2mx2．

（1）求证：无论m为任何实数，抛物线与x轴总有两个交点；

（2）若m为整数，当关于x的方程3x2mx20的两个有理数根都在1与求m的值．

（3）在(2）的条件下，将抛物线y3xmx2在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新图象G，再将图象G向上平移n个单位，若图象G与过点（0，3）且与x轴平行的直线有4个交点，直接写出n的取值范围是 ．

y2244之间（不包括-1、）时，33O1x

【答案】 （1）见解析（2）1（3）【解析】

（1）∵△=m43(2)m24， ∴无论m为任何实数，都有m2240 ∴抛物线与x轴总有两个交点．

22

11n3 12

当 m=-2时， 方程的判别式△=28，根为无理数，不合题意. 当 m=-1时， 方程的判别式△=25，根为x11,x22，符合题意. 3当 m=0时， 方程的判别式△=24，根为无理数，不合题意. 综上所述 m=-1 . （3）n的取值范围是

211n3． 123. 二次函数yxbxc的图象如图所示，其顶点坐标为M(1,-4)． （1）求二次函数的解析式；

（2）将二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合新图象回答：当直线yxb与这个新图象有两个公共点时，求b的取值范围．

【答案】 （1）yx2x3（2）3b1 【解析】

(1) 因为M(1,-4) 是二次函数y(xm)k的顶点坐标， 所以y(x1)4x2x3

2222令x2x30,解之得x11,x23. ∴A，B两点的坐标分别为A（-1，0），B（3,0）

(2) 当直线yxb(b1)经过A点时，可得b1. 当直线yxb(b1)经过B点时，可得b3. 由图可知符合题意的b的取值范围为3b1 4. 已知抛物线yxkxk2．

（1）求证：无论k为任何实数，该抛物线与x轴都有两个交点； （2）在抛物线上有一点P（m，n），n<0，OP=抛物线的解析式；

（3）将（2）中的抛物线x轴上方的部分沿x轴翻折，与原图象的另一部分组成一个新的图形M，当直线

22103，且线段OP与x轴正半轴所夹锐角的正弦值为

45，求该

yxb与图形M有四个交点时，求b的取值范围.

y1-1O-11x

【答案】 （1）见解析（2）yx2【解析】

28121＜b＜-2 x（3）3336（1）证明：当y=0时，得x2kxk20. ∵b4ack4(k2)(k2)4. ∵(k2)0， ∴(k2)40.

∴无论k为任何实数，该抛物线与x轴都有两个交点. （2）解：如图，过点P作PA⊥x轴于A,则∠OAP=90°，

22222依题意得：OP∴AP∵n<0, ∴P(2,).

3103,sinPOA45.

y83,OA2.

B1-1O-11P8CAx∵P在抛物线上， ∴8342kk2. 23.

∴k∴抛物线解析式为yx228x. 33

5. 已知关于x的方程mx（1）求m的值；

（2）将抛物线C1：ymx2(m1)xm1向右平移a个单位，再向上平移b个单位得到抛物线C2，若抛物线C2过点A（2，b）和点B（4 ，，求抛物线C2的表达式； 2b1）（3）将抛物线C2绕点(n1,n)旋转180得到抛物线C3，若抛物线C3与直线y点在其对称轴两侧，求n的取值范围． 【答案】 （1）1（2）y222(m1)xm10有两个实数根，且m为非负整数.

1x1有两个交点且交2yx24x7）x23（或 （3）n4

2

（2）抛物线C1：yx平移后，得到抛物线C2：y(xa)b， ∵抛物线C2过点A(2,b)，b(2a)b，可得a2， 同理：2b1(4a)b，可得b3， ∴C2：y2222（或yx24x7）x23 .

222n3）（3）将抛物线C2：y(x2)3绕点(n1,n)旋转180°后得到的抛物线C3顶点为（2n，，

12n1n1， 2由题意，2n3n1，

当x2n时，y即：n4．

16. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线yx2x2与y轴交于点A，

27654y顶点为点B，点C与点A关于抛物线的对称轴对称． （1）求直线BC的解析式；

（2）点D在抛物线上，且点D的横坐标为4．将抛物线在点A，D之间的部分（包含点A，D）记为图象G，若图象G向下平移t（t0）个单位后与直线BC只有一个公共点，求t的取值范围．

–5–4–3–2321–1O–1–2–3–4–5–612345x1【答案】 （1）yx1（2）1t≤3

2【解析】 （1）∵抛物线y12xx2与y轴交于点A， 2–7∴点A的坐标为（0，2）．

∵y1213xx2(x1)2， 222∴抛物线的对称轴为直线x1，顶点B的坐标为（1，）． 又∵点C与点A关于抛物线的对称轴对称， ∴点C的坐标为(2，2)，且点C在抛物线上． 设直线BC的解析式为ykxb．

∵直线BC经过点B（1，）和点C(2，2)，

323231kb，k，∴2 解得2 2kb2.b1.∴直线BC的解析式为

y1x1． 212xx2中， 2（2） ∵抛物线y当x4时，y6， ∴点D的坐标为(4，6)． ∵直线y1x1中， 2当x0时，y1， 当x4时，y3，

∴如图，点E的坐标为(0，1)， 点F的坐标为(4，3)．

设点A平移后的对应点为点A'，点D平移后的对应点为点D'． 当图象G向下平移至点A'与点E重合时， 点D'在直线BC上方， 此时t=1；

当图象G向下平移至点D'与点F重合时，点A'在直线BC下方，此时t=3． 结合图象可知，符合题意的t的取值范围是1t≤3． 7. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y在点B左侧），且点A的横坐标为-1． （1）求a的值；

（2）设抛物线的顶点P关于原点的对称点为P'，求点P'的坐标；

12ax2xa1与y轴交于C点，与x轴交于A，B两点（点A2（3）将抛物线在A，B两点之间的部分（包括A， B两点），先向下平移3个单位，再向左平移m（m0）个单位，平移后的图象记为图象G，若图象G与直线PP'无交点，求m的取值范围．

【答案】 （1）-2 （2）（-1，-4） （3）m【解析】

（1）∵A（-1，0）在抛物线y15 4y12ax2xa1上， 21∴a2xa10， 2∴解得a2，

（2）∴抛物线表达式为yx2x3．

∴抛物线yx22x3的顶点P的坐标为（1，4）． ∵点P关于原点的对称点为P'， ∴P'的坐标为（-1，-4）．

22-2O-22x（3）直线PP'的表达式为y4x，图象向下平移3个单位后，A'的坐标为（-1，-3），B'的坐标为（3，-3）， 若图象G与直线PP'无交点，则B'要左移到M及左边， 令y3代入PP'，则xyPCAOA'33，M的坐标为,3，

44315，

∴B'M=34415∴m．

4

2BB'xMP'8. 如图，将抛物线M1: yax4x向右平移3个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线M2，直线yx与M1的一个交点记为A，与M2的一个交点记为B，点A的横坐标是－3.

（1）求a的值及M2的表达式；

（2）点C是线段AB上的一个动点，过点C作x轴的垂线，垂足为D，在CD的右侧作正方形CDEF. ①当点C的横坐标为2时，直线yxn恰好经过正方形CDEF的顶点F，求此时n的值；

②在点C的运动过程中，若直线yxn与正方形CDEF始终没有公共点，求n的取值范围（直接写出结果）. 【答案】 （1）1 yx-2x （2）-2 n＞3，n＜－6. 【解析】

（1）∵ 点A在直线yx，且点A的横坐标是－3， ∴ A(－3，－3) .把A(－3，－3)代入yax4x， 解得a=1.

∴M1 : yx4x，顶点为(－2，－4) . ∴M2的顶点为(1，－1) . ∴M2的表达式为yx-2x. （2）①由题意，C(2，2)， ∴F(4，2) .

∵直线yxn经过点F， ∴2=4+n. 解得n=－2. ② n＞3，n＜－6.

9. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2x2mxn经过点A（-1，a ），B（3，a），且最低点的纵坐标为-4.

（1）求抛物线的表达式及a的值；

（2）设抛物线顶点C关于y轴的对称点为点D，点P是抛物线对称轴上一动点，记抛物线在点A，B之间的部分为图象G（包含A，B两点）.如果直线DP与图象G恰有两个公共点，结合函数图象，求点P纵坐标t的取值范围.

2222

【答案】 （1） y2x24x2 4 （2）4t0 【解析】

（1）∵抛物线y2xmxn过点 ，B（3，a）， A（-1，a ）

∴抛物线的对称轴x=1． ∵抛物线最低点的纵坐标为-4 ， ∴抛物线的顶点是（1，-4）．

2yy=2x2-4x-2Ax=1By=2x-2-1-2O3x∴抛物线的表达式是y2(x1)24， 即y2x4x2．

把A（-1，a ）代入抛物线表达式，求出a4．

2D-4C（2）∵抛物线顶点C(1,4)关于y轴的对称点为点D，∴D(1,4)． 求出直线CD的表达式为y4

求出直线BD的表达式为y2x2，当x1时，y0． 所以4t0．

10. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线ymx2mx3(m0)与x轴交于A(3,0)，B两点． （1）求抛物线的表达式及点B的坐标；

（2）当2x3时的函数图象记为G，求此时函数y的取值范围；

（3）在（2）的条件下，将图象G在x轴上方的部分沿x轴翻折，图象G的其余部分保持不变，得到一个新图象M．若经过点C(4,2)的直线ykxb(k0)与图象M在第三象限内有两个公共点，结合图象求b的取值范围．

2【答案】 （1）yx2x3 1,0（2）4y5（3）282b 35【解析】

（1）将A3,0代入，得m1． ∴抛物线的表达式为yx2x3．

2B点的坐标1,0．

（2）yx2x3x14．

22∵当2x1时，y随x增大而减小；

当1x3时，y随x增大而增大， ∴当x1，ymin4； 当x2，y5．

∴y的取值范围是4y5．