《线性代数》教材分论
摘 要
《线性代数》是高等数学中的基础课程,也是研究生入学考试的必考课程。通过分析目前国内多所高校的教材可以看出,根据专业的不同教材内容上也有所侧重,教师应根据自身和学生的实际情况,选择适当的教材,达到教好、学好《线性代数》的目的。 关键词：线性代数;教材
《线性代数》是代数的一个分支,它研究有限维空间中线性关系的理论和方法,有着悠久的历史和丰富的内容。如今它已经成为高等理工科学校教学计划中的基础理论课,也是研究生入学考试的必考课程。随着计算机的快速发展,用代数方法解决实际问题已渗透到现代科学、技术、经济、管理的各个领域,尤其在计算机、通讯、电子等学科领域,其重要性和实用性日渐显现。因此各大高校的《线性代数》教材也日趋完善和实用。
一、《线性代数》课程的主要内容和特点
近年来,随着科学技术的发展,特别是电子计算机的广泛使用,作为重要的数学工具之一,线性代数的应用已经深入到自然科学、社会科学、工程技术、经济和管理等各个领域,各高校许多院系都将《线性代数》设为必修的基础课程之一,同时向加强基础、计算与应用的方向推进,对《线性代数》的教学内容和教学形式提出了更高的要求。
《线性代数》的主要内容是研究代数学中线性关系的经典理论。线性关系是变量之间比较简单的一种关系,线性问题广泛存在于科学技术的各个领域,一些非线性问题在一定条件下也可以转化或近似转化为线性问题。因此《线性代数》所介绍的思想方法已成为从事科学研究和工程应用工作的必不可少的工具,尤其在计算机高速发展和日益普及的今天,《线性代数》作为高等本科学校工科各专业的一门重要的基础理论课,其地位和作用更显得重要。
《线性代数》主要研究矩阵、方程组和向量三种对象,这三种对象的理论是密切相关的,大部分问题在这三种理论中都有等价说法。因此,熟练地从一种理论的叙述转移到另一种理论,是学习《线性代数》时应养成的一种重要习惯和素质。如果说与实际计算结合最多的是矩阵的观点,那么向量的观点则着眼于从整体性和结构性考虑问题,因而可以更深刻、更透彻地揭示《线性代数》中各种问题的内在联系和本质属性。
学习《线性代数》课程应该掌握矩阵、方程组和向量的内在联系,重点关注以下几方面事项,遇到问题就能左右逢源,举一反三,化难为易。首先要注重对基本概念的理解与把握,正确、熟练运用基本方法及基本运算。《线性代数》的概念很多,在学习过程中不仅要准确把握住概念的内涵,也要注意相关概念之间的区别与联系。同时,《线性代数》中运算法则多,学习中也应整理清楚,避免混淆,
保证基本运算与基本方法过关。其次要注重知识点的衔接与转换,知识要成网,努力提高综合分析能力。《线性代数》从内容上看前后联系紧密,相互渗透。因此解题方法灵活多变,学习时应当常问自己做得对不对,再问做得好不好。只有不断地归纳总结,努力搞清内在联系,使所学知识融会贯通,接口与切入点多了,熟悉了,思路自然就开阔了。另外还要注重逻辑性与叙述表达的准确性。《线性代数》对于抽象性与逻辑性有较高的要求,学生在学习过程中应当搞清各个公式、定理成立的条件,不能张冠李戴,同时还应注意语言的 叙述表达要准确、简明。
二、各类教材内容简介与比较 (一)理工类教材综述
与高等数学、概率统计等其他基础数学课相比,理工类《线性代数》教材的特点在于概念多、定理多、符号多、运算规律多,内容抽象而且相互纵横交错,环环相扣。《线性代数》对于抽象性与逻辑性有较高的要求,通过证明题来培养学生对数学主要原理、定理的理解与掌握程度,提高学生的抽象思维能力、逻辑推理能力。通过一些应用实例和数学实验的学习,培养学生综合运用所学知识解决实际问题的能力,特别是运用数学语言的能力与数学建模的能力。
威廉·克林根贝尔格编写的《线性代数与几何》(高等教育出版社, 2001)一书是教育部“高等教育面向21世纪教学内容和课程体系改革计划”的研究成果,是面向21世纪课程教材和教育部工科数学学科“九五”规划教材,主要内容有向量代数与向量空间,空间解析几何,矩阵与行列式,线性方程组,线性变换,特征值、特征向量、矩阵对角化,二次型。附录中介绍了群、环、域以及应用实例———投入产出综合平衡的数学模型、Jordan标准形和四个定理证明。 刘建亚编写的《线性代数》(高等教育出版社,1999)一书保持了第一版简明精要、逻辑严谨、论述清晰、例题和习题丰富、实用性强、便于自学等特色,在内容上注意矩阵、向量等基本数学工具的建立并用它们来处理其他内容,使整个系统更加完整。同时对语句进行了仔细推敲,改写了一些重要概念的论述,调整了习题的配置,使之更便于教学。
魏战线主编的《线性代数》(辽宁大学出版社,2001)一书内容少而精,体现素质教育的基本要求,突出了数学思想,扩大了学习者的知识面。同时注意与中学数
学相衔接,易教易学。各节的习题配置除基本练习外,还有部分综合练习,书末附有习题答案。
胡金德、王飞燕编写的《线性代数》(清华大学出版社, 2003)一书根据教育部制定的《线性代数》教学大纲的要求编写而成,也是编者多年进行《线性代数》教学和辅导实践的总结。该书第3版在第2版的基础上,调整了编写体例、充实了典型例题的分析和习题。各章每一节开始都有“内容提要”,概括本节的主要知识内容,然后是例题分析并在每章末给出习题答案与提示。
同济大学应用数学系编写的《线性代数》(同济大学出版社, 1991)一书十分注意《线性代数》这门课程深刻的几何背景,详细介绍了向量、行列式、线性变换的几何意义并且把解析几何的基本内容,例如直角坐标系,向量的内积、外积与混合积,平面与直线,二次曲面及其分类等用《线性代数》的语言加以介绍,把代数与几何有机地结合起来。同时该书强调用列向量的形式来表示向量,突出了矩阵行初等变换的作用。
(二)经济、工商、管理类教材综述与理工类教材相比,经济、工商、管理类《线性代数》教材的特点在于对传统数学体系削枝强干,力求深入浅出,在不影响数学体系的前提下,淡化理论推导,强化实践能力培养。更重要的是密切结合经济工作的需要,充分注意逻辑思维的规律,突出重点,循序渐进。同时重视线性代数与线性规划在经济上的运用,注意与专业课接轨,做到难易适当,举一反三,融会贯通。教材通常都加强了例题和习题的编写,使数学理论与实际应用结合得更紧密,渗透了数学建模思想,展现了数学在经济活动中的应用,有助于开阔学生视野,启迪思维,激发学生学习数学的热情,达到不仅会学数学也会用数学的目的。 周誓达编写的《线性代数与线性规划》(中国人民大学出版社, 2005)一书的特点是密切结合经济工作的需要,充分注意逻辑思维的规律,做到了重点突出,通俗易懂。全书共分五章,介绍了经济工作所需要的行列式、矩阵、线性方程组以及线性规划问题数学模型、单纯形解法,着重讲解了基本概念、基本理论和基本方法,以培养学生熟练运算能力。
S. K. Jain A. D. Gunawardena编写的《线性代数》(机械工业出版社, 2003)一书的特点是使用丰富的例子说明概念和应用,涉及统计、经济、工程商业等很多学科的应用,含有大量与实际问题相关的习题并附有部分习题的答案, 附录中
包括Matlab基础知识。
21世纪教育出版社出版的《线性代数》一书是教育部“高等教育面向教学内容和课程体系改革计划”的研究成果,是高等院校经济学学科门类和管理学学科门类的数学基础课教材之一。书中采用经管类学生易于接受的方式科学、系统地介绍了线性代数之矩阵、线性方程组、线性空间与线性变换、矩阵的特征值和特征向量、二次型,侧重于有关理论、方法的应用和经济数学模型的介绍并附有习题及参考答案。
靳全勤、张华隆编写的《线性代数》(上海交通大学出版社, 2008)一书内容符合教育部高等学校线性代数教学的要求,遵循循序渐进、由浅入深的原则,从《线性代数》课程的基本概念、基本定理的背景及其应用入手,延伸到解题的思路、方法和技巧。 (三)综合类教材综述
与理工、经济、工商、管理类教材相比,综合类《线性代数》书目的特点是,以体现学术性、系统性和前瞻性为宗旨,在结构和内容安排上力求规范性、逻辑性和系统性,体现了几何观念与代数方法之间的联系,突出了从具体概念抽象出来的公理化方法以及严谨的逻辑推证、巧妙的归纳综合等,使学生在掌握代数内容的同时,受到充分的处理问题能力的训练,以达到真正提高学生数学修养,特别是代数修养的目的。要求学生掌握代数学提出问题、分析问题和解决问题的思路方法,充分体会代数学简洁、抽象而严谨的特点,培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和运算能力(包括使用数学软件的能力) 。
蓝以中、赵春来编写的《线性代数》(北京大学出版社, 2002)一书涵盖了综合大学数学系《线性代数》课程的内容,在阐述上也保持了数学专业教材所应有的逻辑上的严密性,同时较多地照顾到非数学专业学生和工作者的特点,对于线性代数基本概念的引入和基本命题的阐述尽可能详尽,由具体而抽象,力求使之通俗易懂,不使初学者望而生畏。在学习者理解、掌握了线性代数的基本概念与方法之后,再逐步加深内容,达到必要的理论高度。
陈怀琛、龚杰民编写的《线性代数实践》(电子工业出版社, 2005)一书是根据“用软件工具提高线性代数教学”的指导思想,参照美国1992～1997年国家科学基金项目ATLAST的思路编写而成的《线性代数》补充教材,其目的是弥补我国
现有教材的缺陷。全书分为两篇,第一篇介绍线性代数使用的软件工具MATLAB语言,它可以作为教材,也可以作为手册使用。第二篇介绍线性代数实践,其中包括三方面内容,一是利用MATLAB的可视化功能,给线性代数中的概念赋予几何形象;二是为繁琐的线性代数计算提供了简明的算法和程序;三是给出了各个工程和经济领域中使用线性代数建模的大量实例以及其解的物理意义。可以说,这本教材把抽象、冗繁、枯燥的《线性代数》变成了生动形象、简明精彩的课程。 David C. Lay编写的《线性代数及其应用》(机械工业出版社, 2005)一书介绍了最新的线性代数理论及其有趣应用,目的是帮助学生掌握《线性代数》的基本概念及应用技巧,为后续课程的学习和工作实践奠定基础。主要内容包括线性方程组、矩阵代数、行列式、向量空间、特征值与特征向量、正交性和最小二乘法、对称矩阵和二次型等。此外,书中包含有大量的练习题、习题、例题等。 三、结语
通过以上横向、纵向的比较可以看出,全国各高校《线性代数》教科用书的不同点在于根据专业要求不同而在内容上有所侧重,共同点是突出了《线性代数》在高等教育中的基础性地位。数学作为工具的特有属性也决定了《线性代数》学习的普遍性和重要性。就目前全国各高校教学情况来看,学好《线性代数》已成为大学生的必然要求,许多文科生也主动选修了《线性代数》。但是《线性代数》作为高等数学里最基础的课程,对学生来说也具有相当的难度,在学习的过程中对所涉及的概念、性质及定理要充分理解,特别要注意基本概念、基本方法之间的相互交叉与渗透,例如矩阵的秩与向量组的秩、线性方程组与向量组的线性组合、线性相关之间的关系等。弄清这些关系,一方面可以对所涉及的概念通过不断重复而达到加深印象的目的,另一方面也能对问题有进一步的理解。 分析教材是为了学好这门课程。选择一本难易适中、适合学生需要的教材是学好该课程的基础,达到学好《线性代数》的目的。
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