最新沪教版数学复习课：学会“数形结合”,善于“数形结合”教案

（课堂教学教案设计）

问题背景：恩格斯曾说过：“数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学。”自1637年，法国的笛卡尔提出了解析几何，把变量引进数学以来，“数形结合”，成为数学发展的动力，《解析几何》成为数学发展的新的转折点。 数形结合就是根据数学问题的条件和结论之间的内在联系，既分析其代数意义，又揭示其几何直观，使数量关系的精确刻划与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化难为易、化繁为简，从而得到解决。“数”与“形”是一对矛盾，宇宙间万物无不是“数”和“形”的矛盾的统一。 数形结合不仅是数学解题中常用的思想方法，而且有助于把握数学问题的本质。由于使用了数形结合的方法，很多问题便迎刃而解，且解法简捷。 教师在课堂教学中要有意识培养学生数形结合的思想意识，要争取胸中有图，见数想图，以开拓学生的思维视野。

课题：学会“数形结合”，善于“数形结合”

课堂教学进程

1 / 6

一、问题引入：以形助数，以数辅形

例1、 直线y2和函数y2cosx,x[0,2]的图象围成的一个封

闭图形的面积是（ ）。 解：如图：

例2、已知向量a(cos750,sin750),b(cos150,sin150) 那么|ab|的值是

2 / 6

（ ）

。

代数解法： |ab|2 =（ab）2

=a22a·bb2=12(cos750cos150+sin750sin150)+1 =1111

|ab|=1

几何解法：如图：将a、即a=OA、b的始点都平移到原点，

b=OB

则|ab|=BA 且BOA=600

又OA=1 AB=1

二、注意联系，实现转化

∠XOB=150 ∠XOA=750 ∠

例3、若5x+12y=60，求x2y2的最小值。 学生图解（略）

三、加强变式，一题多变，从不同侧面看同一问题,培养学生的

发散性思维和创造性思维。

例题4： 已知：A（2，-3），B（-3，-2），直线l过点P（1，1），且与线段AB相交，求直线l的斜率范围。

3 / 6

变式：已知：A（2，-3），B（-3，-2），直线l过点P（1，1），A、B两点在直线异侧，求直线l的斜率范围

解法1：在坐标系内画图，可确定斜率范围是K 3/4,或k4; 解法2：设L方程：y-1=k(x-1),因为A，B在直线两侧，故使

A•B0号即（k+4）(-4k+3) 0.

解法3：将AB方程列出，与L方程联立，解出X，-3X2，解出K的范围。结果与1同。 四、 加强体验，巩固练习：

例5、已知集合A={(x,y)||x||y|1},B={(x,y)||xy|1|x||y|}，

求AB的元素个数。 解：学生画图解答。

五、作业：

1、求实数m的取值范围，使得关于x的方程sinx+cosx=m在

4 / 6

区间[0,]上

（1） 恰有一个实数解。 （2） 有两个不同的实数解。

2、设R为平面上以A（4，1）、B（-1，-6）、C（-3，2）三点为顶点的三

角形区域（三角形内部及边界），试求当点（X，Y）在区域

R上变动

时， 函数Y=X—的最值。

3、直线l过点p(0,1),Q(-1,m2),当实数m变化时，直线l的倾斜角的范围是（ ）。 六、总结反思

华罗庚对“数形结合”的精辟论述： 数与形，本是相倚依， 焉能分作两边飞。 数缺形时少直觉， 形少数时难入微。 数形结合百般好， 隔裂分家万事非。 切莫忘， 几何代数统一体，

5 / 6

43t3永远联系，切莫分离。

6 / 6