在串行传送（磁盘、通讯）中，广泛采用循环冗余校验码（CRC）。CRC也是给信息码加上几位校验码，以增加整个编码系统的码距和查错纠错能力。
CRC的理论很复杂，一般书上只介绍已有生成多项式后计算校验码的方法。检错能力与生成多项式有关，只能根据书上的结论死记。
循环冗余校验码（CRC）的基本原理是：在K位信息码后再拼接R位的校验码，整个编码长度为N位，因此，这种编码又叫（N，K）码。对于一个给定的（N，K）码，可以证明存在一个最高次幂为N-K=R的多项式G(x)。根据G(x)可以生成K位信息的校验码，而G(x)叫做这个CRC码的生成多项式。
校验码的具体生成过程为：假设发送信息用信息多项式C(X)表示，将C(x)左移R位，则可表示成C(x)*2的R次方，这样C(x)的右边就会空出R位，这就是校验码的位置。通过C(x)*2的R次方除以生成多项式G(x)得到的余数就是校验码。
几个基本概念
1、多项式与二进制数码
多项式和二进制数有直接对应关系：x的最高幂次对应二进制数的最高位，以下各位对应多项式的各幂次，有此幂次项对应1，无此幂次项对应0。可以看出：x的最高幂次为
R，转换成对应的二进制数有R+1位。
多项式包括生成多项式G(x)和信息多项式C(x)。
如生成多项式为G(x)=x4+x3+x+1， 可转换为二进制数码11011。
而发送信息位 1111，可转换为数据多项式为C(x)=x3+x2+x+1。
2、生成多项式
是接受方和发送方的一个约定，也就是一个二进制数，在整个传输过程中，这个数始终保持不变。
在发送方,利用生成多项式对信息多项式做模2除生成校验码。在接受方利用生成多项式对收到的编码多项式做模2除检测和确定错误位置。
应满足以下条件：
a、生成多项式的最高位和最低位必须为1。
b、当被传送信息（CRC码）任何一位发生错误时，被生成多项式做除后应该使余数不为0。
c、不同位发生错误时，应该使余数不同。
d、对余数继续做除，应使余数循环。
将这些要求反映为数学关系是比较复杂的。但可以从有关资料查到常用的对应于不同码制的生成多项式如图9所示：
N K 码距d G(x)多项式 G(x)
7 4 3 x3+x+1
1011
7 4 3 x3+x2+1
1101
7 3 4 x4+x3+x2+1
11101
7 3 4 x4+x2+x+1
10111
15 11 3 x4+x+1
10011
15 7 5 x8+x7+x6+x4+1
111010001
31 26 3 x5+x2+1
100101
31 21 5 x10+x9+x8+x6+x5+x3+1
11101101001
63 57 3 x6+x+1
1000011
63 51 5 x12+x10+x5+x4+x2+1
1010000110101
1041 1024 x16+x15+x2+1
11000000000000101
3 CRC码的生成步骤
1、将x的最高幂次为R的生成多项式G(x)转换成对应的R+1位二进制数。
2、将信息码左移R位，相当与对应的信息多项式C(x)*2的R次方
3、用生成多项式（二进制数）对信息码做除，得到R位的余数。
4、将余数拼到信息码左移后空出的位置，得到完整的CRC码。
【例】假设使用的生成多项式是G(x)=x3+x+1。4位的原始报文为1010，求编码后的报文。
解：
1、将生成多项式G(x)=x3+x+1转换成对应的二进制除数1011。
2、此题生成多项式有4位（R+1），要把原始报文C(x)左移3（R）位变成1010000
3、用生成多项式对应的二进制数对左移4位后的原始报文进行除：
这里的除法有两种方法
一种是把原二进制转化为10进制，然后进行除法运算得到余数。将这个余数再转化为二进制，就是要填在后面的二进制数了
如此例
1010000(原始报文移位后)转换为十进制为80
1011(生成多项式)转换为十进制为11
11除80，余数为3
转化为二进制位011
这个011就是要在后三位的校验码
编码后的报文（CRC码）：
1010000
+ 011
------------------
1010011
第二种就是 直接进行二进制除法
这里，给大家个任务，自己解决二进制除法的操作？
CRC的和纠错
在接收端收到了CRC码后用生成多项式为G(x)去做模2除，若得到余数为0,则码字无误。若如果有一位出错，则余数不为0，而且不同位出错，其余数也不同。可以证明，
余数与出错位的对应关系只与码制及生成多项式有关，而与待测碼字（信息位）无关。图10给出了G(x)＝1011，C(x)＝1010的出错模式，改变C(x)（码字），只会改变表中码字内容，不改变余数与出错位的对应关系。
收到的CRC码字
余数 出错位
码位 A7 A6 A5 正确 1 0 1 0 000 无
错
误
1 0 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 1 0 1 A4 A3 0 1 1 0
1
1
1
A2 A1
1 0 0 0 0 1 1
1 1 1 0 0 1 1
0 0 1 0 0 1 1
001
010
100
011
110
111
101
1
2
3
4
5
6
7
图10 （7，4）CRC码的出错模式（G(x)＝1011）
如果循环码有一位出错，用G(x)作模2除将得到一个不为0的余数。如果对余数补0继续除下去，我们将发现一个有趣的结果；各次余数将按图10顺序循环。例如第一位出错，余数将为001，补0后再除，第二次余数为010，以后依次为100，0ll…，反复循环，这就是“循环码”名称的由来。这是一个有价值的特点。如果我们在求出余数不为0后，一边对余数补0继续做模2除，同时让被检测的校验码字循环左移。图10说明，当出现余数(101)时，出错位也移到A7位置。可通过异或门将它纠正后在下一次移位时送回A1。这样我们就不必像海明校验那样用译码电路对每一位提供纠正条件。当位数增多时，循环码校验能有效地降低硬件代价，这是它得以广泛应用的主要原因
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