7-5 离散系统的卷积和分析

一、离散时间信号的时域分解

根据单位序列(k)及单位移位序列(km)的抽样性，即

f(k)(k)f(0)(k) f(k)(km)f(m)(km)

可将任意序列f(k)用单位序列及其移位序列表示，即

f(k)f(1)(k1)f(0)(k)f(1)(k1)f(2)(k2) if(k)(ki) (7-31)

可见任意离散时间信号在时域可表示为(ki)的线性组合，或者为在不同离散序号上

f(k)出现的具有不同加权值的离散序列和。

对于右边序列有

f(k)f(i)(ki)i02

6442k例如，对于图7-21所示离散时间，可表示为

-1 0 1 2 3 4 5 6 7图 7 - 21f(k)2(k1)4(k2)6(k3)4(k4)2(k5)

二、卷积和

设两个离散时间信号为f1(k)和f2(k)，定义f1(k)与f2(k)的卷积和运算为

f1(k)f2(k)if(i)f12(ki) (7-32)

与连续时间信号的卷积积分相同，卷积求和也满足基本运算规律，即

交换律：f1(k)f2(k)f2(k)f1(k) (7-33) 分配律：f1(k)[f2(k)f3(k)]f1(k)f2(k)f1(k)f3(k) (7-34) 结合律：f1(k)[f2(k)f3(k)][f1(k)f2(k)]f3(k) (7-35)

卷积和也可通过图解法来计算，其基本步骤与卷积积分类似，可分解为反折、平移、相乘、取和等，现通过下例说明。

例7-17 图7-22所示离散信号f1(k)和f2(k),求y(k)f1(k)f2(k)。 f1(k)f2(k) 324 321k 1 2 3 4 5(a)图 7 - 22-1 0 1 2 3 4 5(b)1 -1 0

k解 图解法可分如下步骤：

4-2 -1 0 1 2 3 4(e)图 7 - 23k121k-1 0 1 2 3 4 5(a)f2(1-k) 341k2f1(k)f2(-k) 3212 34-4 -3 -2 -1 0 1 2(b)f2(2-k) 34k-3 -2 -1 0 1 2 3(c)-2 -1 0 1 2 3 4(d)ky(k)19 15

(1) 画出f1(i), f2(i)图形；

(2) 将f2(i)图形折叠，即按纵轴翻转180°，得到f2(i)图形，如图7-23(b)所示； (3) 将f2(i)图形沿i轴平移，得到f2(ki)图形；

(4) 对任一给定值k，得到f2(ki)图形后进行f1(i)与f2(ki)相乘，求和运算，得到给定k的卷积和y(k)值。若令k由到变化， f2(ki)图形将沿i轴自左向右进行平移，则得到不同k上的y(k)值。

具体计算过程如下：

当k0时，显然 f1(i)f2(ki)0 故 y(k)0

当k0时，f2(i)如图7-23(b)所示，

y(0)if(i)f12(0i)f1(0)f2(0)4

当k1时，f2(1i)如图7-23(c)所示，

y(1)if(i)f12(1i)133415

当k2时， f2(2i)如图7-23(d)所示，

y(2)if(i)f12(2i)12332419

同理可得y(3)=13, y(4)=7, y(5)=2, 以及当k＞5时y(k)=0。 故卷积和可表示为

k04 15 k119 k2y(k)13 k37 k4k52 其他 0

其图形如图7-23(e)所示。

卷积和计算有许多不同方法，其中“序列阵表格法”也是常用方法之一。这种方法不需画出序列图形，而首先将两个序列f1(k),f2(k)按次序分别以行、列排列，然后对应行列值相乘得到一个表格，最后将对应对角线上的数值叠加，即可得到相应卷积和值。比如以上例

f1(k),f2(k)列表如表7-3所示。

表7-3例7-17序列阵表格法计算结果

k 0 1 2 3 4 5 6 „ f2(k) 4 3 2 1 0 0 0 „ k f1(k) 0 1 4 3 2 1 0 0 0 1 3 2 2 3 0 4 0 5 0 6 0 ┇ ┇ 12 9 6 3 0 0 0 8 6 4 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

因此

y(0)=4 y(1)=12+3=15 y(2)=8+9+2=19 y(3)=0+6+6+1=13 y(4)=0+0+4+3=7 y(5)=0+0+0+2+0+0=2

并且 y(k)=0 k＞5

图解法和列表法求卷积和常常难以形成一个闭合表达式，因此对于可用解析表达式表示的序列进行卷积求和时，可直接按定义进行计算，并根据序列特征写成闭合式。常用因果序列卷积和如表7-4所示，以备查用。此外，在实际应用中借助离散傅里叶变换中的快速傅里叶变换算法，利用计算机也可较简便地求得两序列卷积和。

三、 离散时间系统卷积和分析

对于线性时不变离散时间系统，若激励为单位序列(k)，单位序列响应为h(k),则激励与系统零状态响应之间有如下关系：

激励 零状态响应

f(0)(k) f(0)h(k) f(1)(k1) f(1)h(k1)

┇ ┇

f(i)(ki) f(i)h(ki)

if(i)(ki)

if(i)h(ki)

由前面讨论可知任意序列f(k)均可表示为

f(k)if(i)(ki) (7-36)

故可知，当激励为f(k)时，系统零状态响应为

yf(k)if(i)h(ki)f(k)h(k) (7-37)

即离散时间系统的零状态响应等于系统激励与系统单位序列响应的卷积和。因此，若要求解离散时间系统的零状态响应，首先应求得系统的单位序列响应h(k)，然后求出单位序列响应h(k)与激励序列f(k)的卷积和，即得所求零状态响应。

例 7-18 某线性时不变离散时间系统的单位序列响应h(k)aU(k)，求当激励为

kf(k)bkU(k))时该系统的零状态响应yf(k)。

解 因为yf(k)f(k)h(k),即

yf(k)aU(k)bU(k)abkkii0kibkai()i0b

k根据等比数列求和关系式，可知

k1(a/b)k1 abbyf(k) k01(a/b)bk(k1) ab

表7-4常用序列卷积和

序号 1 2 3 f1(k) k0 f(k) f(k) f2(k) k0 f1(k)f2(k) k0 f(k) (k) U(k) U(k) f(i)i0k U(k) k1 4 5 6 7 8 9 ak U(k) ka2 a1k ak ak (1ak1)/(1a) k1(a1k1a2)/(a1a2) ak k k ka2 (k1)ak ka(ak1)1a(1a)2 k a1kcos(0k) 1(k1)k(k1)6 k1a1k1cos[0(k1)]a2cos()2a12a22a1a2cos0 arctan[a1sin0/(a1cos0a2)]

例7-19 已知系统的传输算子为

H(E)求该系统单位阶跃响应g(k)。

E(2E1)E2E0.24

解 与连续时间系统类似，离散时间系统的单位阶跃响应是当激励f(k)U(k)时，系统的零状态响应g(k)。因此单位阶跃响应可通过卷积求和求得。 因

H(E)E(2E1)EE(E0.6)(E0.4)E0.6E0.4

有

h(k)[(0.6)k(0.4)k]U(k)

故

g(k)h(k)U(k)(0.6)kU(k)U(k)(0.4)kU(k)U(k)

查表7-3第4项可得

1(0.6)k11(0.4)k1g(k)U(k)U(k)10.610.4

[2532(0.6)k(0.4)k]U(k)623

例7-20 描述离散时间系统的差分方程为

y(k)0.9y(k1)0.05U(k)

已知y(1)1,求系统全响应y(k)。

解(1) 求零输入响应yx(k)。即求

yx(k)0.9yx(k1)0yx(1)1

因0.90，求得0.9，有

yx(k)C(0.9)k

代入yx(1)1,得C=0.9,故

yx(k)(0.9)k1 k≥-1

(2) 求单位序列响应h(k)。 由

h(k)0.9h(k1)0.05(k)k0h(k)0

利用等效初值法，可求得h(k)0.05(0.9)U(k)

(3) 求激励f(k)U(k)时零状态响应yf(k)。 因

kyf(k)f(k)h(k)U(k)0.05(0.9)kU(k)

可得

yf(k)0.5[1(0.9)k1]U(k)

（4）写出全响应y(k)yx(k)yf(k)，即

y(k)(0.9)k1U(k1)0.5[1(0.9)k1]U(k)零输入响应零状态响应

(k1)0.5(0.9)k1U(k)0.5U(k)暂态响应（自由响应）稳态响应（强迫响应）