变量间的关系

◆考点链接

1．能发现实际情境中的两个变量及其关系．

2．能从表格、图象中分析出某些变量之间的关系，•并能用自己的语言准确表达． 3．理解平面上的位置与平面直角坐标系之间的联系．

4．利用点的坐标变化，将图形放大、缩小、对称、平移变换．

◆典例精析

【例题1】某港受潮汐的影响，近日每天24小时港内的水深变化大体如图3－•1－1，根据图象回答： （1）当______时，港口的水最深，深度是_______m；（2）当______时，港口的水最浅，深度是_______m； （3）当______时，港口的水深一样深，都是________m；（4）用语言描述水深随时间的变化情况； （5）一艘货船于上午7：30在码头开始卸货，计划当天卸完后离港，•已知这艘船卸货后吃水深度为2.5m（吃水深度即船底离水面的距离）．该港口规定：为了保证航行安全，只有当船底与港内水底间的距离不少于3.5m时，才能进出该港，•则该船出港时水深不少于_______m，卸货只能用_______h．

解题思路：观察图象可知，10：00水最深，21：00最浅．关键要抓住：8：00～9：00，1：00水深都一样深，解决（4）问就不易出错了，船只要安全进出该港口，•水深不得少于6m，只能有9h时间供卸货用，这是解决（5）问的关键．

解：（1）10：00，7.5m （2）21：00，3m （3）8：00～9：00，11：00，7m （4）0：•00•～8：00，9：00～10：00，21：00～24：00，水深在增加10：00～21：00，水深在减小 （5）6m，7.5m． 评析：题中的图象有生动的实际背景，必须细心观察有关特征，结合实际问题的背景知识，才能准确地解答这类题目中的若干问题．一般地，两个变量之间的关系用图象表示出来，有别于我们熟悉的一次函数、反比例函数、二次函数这些规律性极强的函数的图象．

【例题2】阅读下列材料：“父亲和儿子同时出去晨练，如图1，实线表示父亲离家的路程y（m）与时间x（min）的函数图象；虚线表示儿子离家的路程y（m）与时间x（min）的函数图象．由图可知，他们在出发10min时第一次相遇，此时离家400m；晨练了30min，他们同时到家．”

(1) (2) (3)

根据阅读材料给你的启示，利用指定的直角坐标系（如图2）或用其他方法解答问题：

一巡逻艇和一货轮同时从A港口前往相距100km的B港口，巡逻艇和货轮速度分别为100km/h和20km/h，巡逻艇不停地往返于A、B两港口巡逻．（巡逻艇调头的时间忽略不计） （1）货轮从A港口出发以后直到B港口与巡逻艇一共相遇了几次？ （2）出发多少时间巡逻艇与货轮第三次相遇？此时离A港口多少千米？

解题思路：在给出的平面直角坐标系（图3）中，同时画出巡逻艇往返于A、•B港口，货轮由A港口航行到B港口的函数图象即可找到解决问题的办法．

解：实线表示巡逻艇往返于A、B港口的路程y（km）与时间x（h）的函数图象；•虚线表示货轮从A港口航行到B港口的路程y（km）与时间x（h）的函数图象（图3）．

由图可知，货轮从A港口出发以后到直B港口与巡逻艇一共相遇了4次．•第三次在M处相遇，则BM=

1200AB．出发3h 20min时巡逻艇与货轮第三次相遇，此时离A港口33km．

评析：通过阅读一段较为简单的数学材料，•从中体会情境与图象的关系以及处理某些问题的方法，从而达到考察学生的阅读和获取信息，分析数据和相关材料解决问题的能力．

【例题3】如图，在直角坐标系中，点A（5，0），B（0，4），若有一个直角三角形与Rt△AOB全等，并且它们有一条公共边，•请你写出这个直角三角形所有可能的未知顶点的坐标． 解题思路：由题意，两个Rt△全等，且有一条公共边，考虑原△ABO•的三边都可以作公共边，利用翻折、旋转、平移等方法，图中的P1、P2、P3点的坐标易求且不会遗漏，在寻找P4、P5、P6点时，翻折、旋转、平移三种方法要综合使用．•另外使用好分类的思想方法，也是杜绝遗漏这六个点中的某些点的情况产生的很好方法．

解：如图所示，满足条件的三角形未知顶点的坐标有P1（5，4），P2（0，－4），P3（－5，0），P4（－5，4），P5（5，－4），连结P6O交AB于F，作P6E⊥OA于E．

∵△ABP6是将△ABO沿AB翻折得到的．∴根据对称性，P6O⊥AB，且OF=FP6，

AB524241.OFOP6542041,4141（也可以利用相似比求AF的长）．

40414002541,又AFOA2OF25241414111160200 ∵P6O·AF=OA·P6E， ∴P6E=，由△OEP6∽△OFA，得OE=．

224141160200 ∴P6的坐标是（，）．

4141评析：以OA、OB、AB为公共边构造与△AOB全等的直角三角形都有两种情况，所以满足条件的6种情况就自然产生，类似的可解决有关等腰三角形的问题．另外，•面积法求直角三角形斜边上的高较其它方法方便，同学们应引起足够重视，还应注重平面几何的翻折、旋转、平移等方法在代数中的应用．

第10课时 直角坐标系、函数

班级 姓名 学号

复习目标：

1.了解平面直角坐标系的有关概念，会画直角坐标系，能由点的坐标系确定点的位置，由点的位置确定点的坐标；

2.理解常量和变量的意义，了解函数的一般概念，会用解析法表示简单函数； 3.理解自变量的取值范围和函数值的意义，会用描点法画出函数的图像。 知识点：

1.平面直角坐标系:平面直角坐标系概念，坐标平面内点的坐标特征, 不同位置点的坐标特征. 2. 函数: 函数概念,自变量取值范围, 函数的表示法(解析法,列表法,图象法), 函数的图象. 教学过程：

一、中考知识梳理．

1.平面直角坐标系的初步知识在坐标平面内会正确地描点,对于坐标平面内的点能正确写出坐标；各象限内点的坐标符号；坐标轴上点的特征；平行于两坐标轴的直线上点的特点；以及对称点的坐标特征（如：关于x轴对称的两点,横坐标不变,纵坐标相反; 关于y轴对称的两点,横坐标相反,纵坐标不变;关于原点对称的两点, 横纵坐标都互为相反数）借助图形来完成.

坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的。注意：P(x,y)到两坐标轴的距离与线段长度的区分.

2．函数 设在一个变化过程中有两个变量x与y，如果对于x的每一个值， y都有唯一的值与它对应，那么就说x是自变量， y是x的函数．

用数学式子表示函数的方法叫做解析法．在用解析式表示函数时，要考虑自变量的取值范围必须使解析式有意义．遇到实际问题，还必须使实际问题有意义．

3．函数的图象描点法画函数图象的三个步骤:列表、描点、连线，选取点时,尽量选取有代表性的合理的点,连线时,应用光滑的曲线连结.

对观察实际问题的图象,要正确理解横纵坐标表示的意义. 二、考查重点与常见题型

1.考查各象限内点的符号，有关试题常出选择题，如：若点P（a，b）在第四象限，则点M（b－a，a－b）在（ ）（A）第一象限 （B）第二象限 （C）第三象限 （D）第四象限

2.考查对称点的坐标，有关试题在中考试卷中经常出现，习题类型多为填空题或选择题，如： 点P（－1，－3）关于y轴对称的点的坐标是（ ） （A）（－1，3） （B）（1，3） （C）（3，－1） （D）（1，－3） 3.考查自变量的取值范围，有关试题出现的频率很高，如：

1

(1)函数y＝中自变量x的取值范围是

x－1(2)函数y＝x＋2＋ 5－x中自变量x的取值范围是 4. 函数图象类问题考查函数知识及数形结合的数学思想.

2008年5月12日，四川汶川发生8.0级大地震，我解放军某部火速向灾区推进，最初坐车以某一速度匀速前进，中途由于道路出现泥石流，被阻停下，耽误了一段时间，为了尽快赶到灾区救援，官兵们下车急行军匀速步行前往，下列是官兵们行进的距离Ｓ（千米）与行进时间t（小时）的函数大致图像，你认为正确的是（ ）

5.考查实际问题中列函数关系式，如：上海至南京的铁路长约300km,火车从上海出发, 其平均速度为58km/h,则火车离南京的距离s(km)与行驶时间t(h)的函数关系式是_____ ___.

6.如图，在平行四边形ABCD中，AB=8, AD=6, E是AB边上一动点，记AE=x，DE的延长线CB的延长线于F。设CF=y，求y与x的函数关系式。

*11.一次函数

三、确定一次函数的表达式及一次函数的应用 1.用待定系数法求一次函数的表达式的一般步骤 （1）由题意设出函数的表达式 ；

（2）根据图像过已知点或通过别的途径告诉的自变量与因变量的对应关系列出关于待定系数的方程或 ；

（3）解关于待定系数的方程或方程组，求出 ；

（4）将求出的待定系数代回到原来设的 中即得一次函数表达式. 2.一次函数的应用

解决这类问题的关键是认真观察、分析图像，结合相关文字，弄清图像的点或线的具体含义，读懂图像.题目形式一般有以下几种：

（1）一次函数与一元一次方程或二元一次方程组结合，解决有关问题；

一次函数图象与x轴交点的纵坐标为 ，横坐标为一元一次方程kx+b=0的解；一次函数y=kx+b的图象与y轴交点的坐标为 ；两直线的交点坐标方程组的解.

（2）一次函数与一元一次不等式结合，解决有关问题； 一元一次不等式kx+b＞0或kx+b＜0的解集自变量x的取值范围.

（3）一次函数与直角三角形结合利用 定理解决求线段长或求面积等问题；

（4）一次函数与实际生活的结合题，要先理解题意建立函数关系，再结合一次函数的图象和性质分析解决问题.

答案；一、1.y=kx+b(k、b为常数，且k≠0) 2. y=kx(k≠0) 二、1.（1）-

Û两个一次函数关系式所组成的二元一次

Û一次函数y=kx+b的函数值 时相对应的

bk （2）0 2.一 三，一 二 三，一 三 四，增大；二 四，一 二 四，二 三 四，减小.

三、1.(1)y=kx+b (2)方程组 （3）k、b （4）y=kx+b 2.（1）0,(0,b) (2) y＞0或y＜0 (3)勾股

12.用函数的观点看方程（组）与不等式

◆知识讲解

1．一元一次方程、一元一次不等式及一次函数的关系

一次函数及其图像与一元一次方程及一元一次不等式有着密切的关系，函数y=ax+b（a≠0，a，b为常数）中，函数的值等于0时自变量x的值就是一元一次方程ax+•b=0（a≠0）的解，所对应的坐标（－

ba，

0）是直线y=ax+b与x轴的交点坐标，反过来也成立；•直线y=ax+b在x轴的上方，也就是函数的值大于零，x的值是不等式ax+b>0（a≠0）的解；在x轴的下方也就是函数的值小于零，x的值是不等式ax+b<0（a≠0）的解．

2．坐标轴的函数表达式

函数关系式x=0的图像是y轴，反之，y轴可以用函数关系式x=0表示；•函数关系式y=0的图像是x轴，反之，x轴可以用函数关系式y=0表示． 3．一次函数与二元一次方程组的关系

一般地，每个二元一次方程组，都对应着两个一次函数，于是也就是对应着两条直线，从“数”的角度看，解方程相当于考虑自变量为何值时两个函数的值相等，以及这两函数值是何值；从形的角度考虑，解方程组相当于确定两条直线的交点坐标，所以一次函数及其图像与二元一次方程组有着密切的联系． 4．两条直线的位置关系与二元一次方程组的解

（1）二元一次方程组yk1xb1有唯一的解直线y=k1x+b1不平行于直线y=k2x+b2 k1≠k2．

yk2xb2yk1xb1 （2）二元一次方程组无解直线y=k1x+b1∥直线y=k2x+b2 k1=k2，b1≠b2．

ykxb22 （3）二元一次方程组yk1xb1有无数多个解直线y=k1x+b1与y=k2x+b2重合k1=k2，b1=b2．

yk2xb21．函数y1=x+1与y2=ax+b（a≠0）的图像如图5所示，•这两个函数图像的交点在y轴上，那么使y1，y2的值都大于零的x的取值范围是（ ）

A．x>－1 B．x<2 C．10•的解集是（ ）

A．x>0 B．x>2 C．x>－3 D．－3313．已知一次函数y=2x+m和y=－2x+n的图像都经过点A（－2，0），且与x轴交于A，

B两点，那么△ABC的面积是（ ）

A．2 B．3 C．4 D．6

第十三讲.中考函数试题汇编

【典例精析】

例1 ⑴ 在平面直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为A（-•2，1），B（-3，-1），C（1，-1）．若四边 形ABCD为平行四边形，那么点D的坐标是_______．

（2）将点A（3，1）绕原点O顺时针旋转90°到点B，则点B•的坐标是_____． 例2

⑴ 一天,亮亮发烧了,早晨他烧得厉害,吃过药后感觉好多了, 中午时亮亮的体温基本正常,但是下

午他的体温又开始上升，直到半夜亮亮才感觉身上不那么烫了. 图中能基本上反映出亮亮这一天(0时～24时)体温的变化情况的是( )

⑵ 汽车由长沙驶往相距400km 的广州. 如果汽车的平均速度是100km/h,那么汽车距广州的路程s(km)与行驶时间t(h)的函数关系用图象表示应为( )

例3 一农民带了若干千克自产的土豆进城出售，为了方便， 他带了一些零钱备用，按市场价售出一些后， 又降价出售, 售出土豆千克数与他手中持有的钱线(含备用零钱)的关系如图所示，结合图象回答下列问题: (1) 农民自带的零钱是多少?(2) 降价前他每千克土豆出售的价格是多少?

(3) 降价后他按每千克0.4元将剩余土豆售完,这时他手中的钱(含备用零钱) 是26元，问他一共带了多少千克土豆.

y（米） 4000 3

1000 O

20 30 x(天)

例1 已知一次函数物图象经过A(-2,-3)，B(1,3)两点. ⑶ 求此函数与x轴、y轴围成的三角形的面积. 例2 （08广东）某农户种植一种经济作物，总用水量

如图所示．

⑴ 第20天的总用水量为多少米

3⑴ 求这个一次函数的解析式.⑵ 试判断点P(-1,1)是否在这个一次函数的图象上.

y（米3）与种植时间x（天）之间的函数关系式

？⑵ 当x20时，求y与x之间的函数关系式．

3⑶ 种植时间为多少天时，总用水量达到7000米？