在矿山、轻工、运输和土建等行业中，有许多用各种金属薄板制成的管道设备。在管道的岔路设备中，三通圆柱管应用较为普遍。本文根据解析几何与投影几何理论，用解析方法建立了管面交线的函数式及展开方法，并用Auto-lisp语言设计出了绘制三通圆柱管展开图的实用程序。 二、管面及交线方程的建立
1．参数设置及坐标系的建立
如图1所示，假定管壁厚度为零，三管长度均为L，半径为R，三轴线共正平面Q，共交于点O，三轴线间夹角分别为α、β和γ（α、β和γ均大于0，小于π；α＋β＋γ＝2π）。
建立三个坐标系，其中：OⅠ，OⅡ，OⅢ共于O点；ZⅠ，ZⅡ，ZⅢ共于Z轴。
图1 三通薄壁圆柱管投影图
2．交线特点
根据解析几何及投影几何理论，两等直径圆柱面轴线相交时，交线为平面曲线——椭圆线，椭圆的短轴为端面圆直径。当二管长度相等时，圆柱面对称于交线所在的平面，两展开图全等。在三圆柱管等直径、三轴线共平面、共交点的情况下，三柱面交线的分界点在过三轴线交点的正垂直径的两端点上，可视为半圆柱面两两相交。为此，将三圆柱面按半圆柱面分片编号，如：管Ⅰ可划分为Ⅰ1和Ⅰ2两个半圆柱面；…。Ⅰ2与Ⅱ1相交得交线①；Ⅱ2与Ⅲ1相交得交线②；Ⅲ2与Ⅰ1相交得交线③。因此，只要求出其中一对半圆柱面交线的函数式，替换相应的轴间角参数，便可得出其它交线的函数式。 3．管面Ⅰ与管面Ⅱ的交线方程 管面Ⅰ方程为
（1）
管面Ⅱ方程为
y2Ⅱ＋z2Ⅱ＝
（2）
联立（1）、（2）两式，可得二柱管的交线①方程。 为了便于展开，设以下参数方程式： 管面Ⅰ方程为
Ⅰ
、
Ⅱ
分别表示管Ⅰ和管Ⅱ面上素线的位置角，则得
管面Ⅱ方程为
两坐标系之间点的坐标变换关系为
4．交线①上点的xⅠ轴向坐标函数 将（2）式变换为
（7）
因在Ⅱ1范围内yⅡ为负，所以根号前取负号。将（6）式代入（7）式，整理后得
（8）
式中，因0＜α＜π，则sinα≠0；以（3）式替代（1）式并与（8）式联立求解得
xⅠ＝Rcos
Ⅰ
（cosα＋ctgα） （9）
其中，因在范围内cos
Ⅰ
为正，则。
三、交线上选点的坐标及柱管展开图
已知单个圆柱管的展开图为矩形，矩形的一对边为柱管长度，另一对边为端面圆周长度。求三通薄壁圆柱管展开图的关键是求交线的展开图。以横轴表示交线上点所对应的端面圆弧长坐标s，竖轴表示交线上点所对应的轴向坐标x，由s＝R?可知为线性函数；由（9）式函数关系可知，其中R（cosα＋ctgα）为常量，x＝f（
）为余弦函数曲线，因此x＝f（s／R）亦为余弦函数曲线。曲线用
计算机绘制，即先按曲线函数选取足够多的点（本文称这些点为“选点”），用短直线段把这些选点顺次连成折线，相邻两点间的距离不断缩小，致使折线看上去近似于实际曲线。为此，将每片半圆柱面的中心角分为N等份（N为正整数），N越大，折线越近似于实际曲线。 1．交线上选点的坐标计算 （1）管Ⅰ2上选点的坐标计算 将素线位置角
Ⅰi
范围分成N等份，步长角Δ
Ⅰ
＝π／N，选点对应的
及端面圆弧长坐标sⅠi可通过下式求得：
（10）
将
Ⅰi
代入（9）式，可得求选点轴向坐标的函数式为
xⅠi＝Rcos
Ⅰi
（cscα＋ctgα） （i＝0，1，2，…，N） （11）
（2）管Ⅱ2、Ⅲ2上选点的坐标计算
同理可得
（12）
分别以
和β替代（11）式中的
和α，可得求xⅡi值的函数式（13）
ⅡiⅠi
（函数式省略）。 分别以
Ⅲi
和γ替代（11）式中的
Ⅰi
和α，可得求xⅢi值的函数式（14）
（函数式省略）。
2．柱管展开图的绘制
根据（10）～（14）式计算出一系列的si和xi值后定点，可分别绘出Ⅰ2、Ⅱ2、Ⅲ2三个半圆柱的展开图。由于对称性，展开图Ⅱ1与Ⅰ2全等，Ⅲ1与Ⅱ2全等，Ⅰ1与Ⅲ2全等。因此，只要求出Ⅰ2、Ⅱ2、Ⅲ2三个展开图，再两两相拼，便可得三柱管的全部展开图。 四、程序设计
利用Auto-lisp语言强大的表处理功能和绘图功能，可快捷地进行点的坐标计算和展开图的绘制。
（1）程序框图（见图2）
图2 程序框图
其中：AJ、BJ分别为α、β角。 （2）展开图实例（见图3）
图3 三通薄壁圆柱管展开图实例
五、结束语
该软件应用于数控机床上，可快捷、精确地解决用各种金属薄板制造三通薄壁圆柱管道的下料问题，不仅可大大提高工效，而且可精确地定位裁剪，从而提高成型焊接质量，减少材料浪费，在生产实践中具有较高的应用价值。
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