特殊行程类型
1. 多次相遇问题 2. 猎狗追兔问题 3. 发车间隔问题 4. 其他问题
知识概述
例1 如图，A、B是一条道路的两端点，亮亮在A点，明明在B点，两人同时出发，相向而行。他们在离A点
100米的C点第一次相遇。亮亮到达B点后返回A点，明明到达A点后返回B点，两人在离B点80米的D点第二
次相遇。整个过程中，两人各自的速度都保持不变。求A、B间的距离。
名师点题
行程问题思维灵活性大，辐射面广，但根本在于路程、速度和时间三个基本量之间的关系，掌握这三个数量关系式，是解决行程问题的关键。
在解答行程问题时，经常采取画图分析的方法，根据题意画出线段图，来帮助我们分析、理解题意，从而解决问题。
【解析】 第一次相遇，两人共走了1个全程，其中亮亮走了100米；
从开始到第二次相遇，两人共走了3个全程，则亮亮走了100×3=300（米），亮亮共走的路程是一个全程多80米，所以A、B间的距离是：300-80=220（米）
例2 亮亮骑着自行车，以每分钟400米的速度，从46路汽车的始发站，沿46路车的线路前进，当他骑出
1400米时，一辆46路车从始发站开出，已知这辆车每分钟行600米，每4分钟到达一站并停车1分钟，那么汽车开出（ ）分钟后能追上亮亮。
【解析】 以5分钟为1个周期：在这段时间内，亮亮骑了400×5=2000（米），46路车行驶了600×4=2400
（米），两者的距离减少了2400-2000=400（米）。
两个周期后，两者的距离是1400-400×2=600（米），600÷（600-400）=3（分钟），所以，在第三个周期内，汽车追上了亮亮，共用时5×2+3=13（分钟）。
注：因为1400÷400=3……200，所以这里可能犯的错误是认为汽车要在第四个周期才追上亮亮。但是，注意到1个周期内两者的距离是先拉近后拉大，两者的距离最多能够减少（600-400）×4=800（米），所以实际上汽车在第三个周期内就能追上亮亮了。 例3 A、B两地是电车的两个起点站，每隔12分钟发一辆车，电车每小时行25千米，请问：如果小明从
A地坐电车到B地，那么他每隔多长时间会看见一辆电车迎面开来？
【解析】 同一方向行驶的相邻两辆车的间隔是（12÷60）×25=5（千米），小明和电车迎面相遇属于
相遇问题，从迎面遇到第1辆电车到遇到第2辆电车，相遇的路程是相邻两辆车的间隔300千米，速度和是小明的速度（电车速度）和电车的速度和，相遇时间即为迎面遇到电车的间隔时间。
（12÷60）×25÷（25+25）×60=6（分钟）
【巩固拓展】
1. 乙两人分别从A、B两地同时相向而行，第一次相遇离A地80千米。两人又继续各自向前行，分别到
达B、A两地后，立即返回（不停留），到第二次相遇离A地60千米。那么，A、B两地相距（ ）千米。
【解析】 第一次相遇时，甲乙合走1个全程，甲走了80千米；
第二次相遇时，甲乙合走3个全程，甲走了80×3=240（千米），第二次相遇离A地60千米，所以甲乙两地的距离为（80×3+60）÷2=150（千米）
2. A、B两地是电车的两个起点站，每隔12分钟发一辆车，电车每小时行25千米，请问：如果小明从
B地步行走向A地，每小时行5千米，那么他每隔多长时间会看见一辆电车迎面开来？每隔多长时间会有一辆电车从后面超过他？
【解析】 小明的速度变了，但迎面相遇的情景仍和例3相似，后面超过的过程属于追及问题，从后面面第
1辆电车超过小明到第2辆电车超过，第2辆电车追及的路程是相邻两辆车的间隔5千米，速度差就是电车的速度与小明的速度差，追及时间即为电车超过小明的间隔时间。 迎面：（12÷60）×25÷（5+25）×60=10（分钟） 后面：（12÷60）×25÷（25-5）×60=15（分钟）
例1
甲、乙、丙三人，甲每分钟行80米，乙每分钟行70米，丙每分钟行60米。如果甲从A地，乙、丙从B地，三人同时出发相向而行，途中甲与乙先相遇，后再经过5分钟甲、丙相遇。那么，A、B之间的距离是多少米？
【解析】 甲和乙相遇后再经过5分钟甲、丙相遇，说明甲和乙相遇时，乙比丙多行的路程：（80+60）×5=700
（米）
甲与乙从出发到相遇的时间：700÷（70-60）=70（分钟） A、B之间的距离：（80+70）×70=10500（米） 答：A、B之间的路程是10500米。
【巩固拓展】
甲、乙、丙三人同时同地出发，绕一个花圃行走，乙、丙二人同方向行走，甲与乙、丙相背而行。甲每分钟走40米，乙每分钟走38米，丙每分钟走36米。在途中，甲和乙相遇后3分钟和丙相遇。这个花圃的周长是多少米？
【解析】 甲先与乙相遇。在甲、乙相遇这段时间里，乙、丙所行的路程差正是甲、丙在3分钟内相向而行
的路程之和：（40+36）×3=228（米）
从出发到甲、乙相遇所用的时间为：228÷（38-36）=114（分） 所以，花圃的周长为：（40+38）×114=8892（米）
例2
（第三届小机灵杯邀请赛试题）
甲、乙分别自A、B两地同时相向步行，2小时后在中途相遇。相遇后，甲、乙步行速度都提高了1千米/时。当甲到达B地后立刻按原路向A地返行，当乙到达A地后也立刻按原路向B地返行。甲、乙二人在第一次相遇后3小时36分又再次相遇。A、B两地的距离是（ ）千米。
【解析】 第一次相遇时，甲乙合走1个全程，用时2小时；
从第一次相遇到第二次相遇时，甲乙合走2个全程，用时3小时36分，即3.6小时，说明速度提
高后，甲乙合走1个全程，用时3.6÷2=1.8小时；
甲乙原来的速度和：1.8×（1+1）÷（2-0.8）=18（千米/时） A、B距离：18×2=36（千米/时）
例3
快、中、慢三辆车同时从同一地点出发，沿着同一条公路追赶前面的一个骑车人。已知这三辆车分别是每小时54千米、22千米、12千米，快车和中车分别用2小时、6小时追上了骑车人。那么慢车要用多少时间追上骑车人？
【解析】 快车从开始追到追上骑车人用了2小时，快车2小时行驶的路程等于“原来最初车与人的距离+
骑车人2小时行驶的路程”，
中车从开始追到追上骑车人用了6小时，中车6小时行驶的路程等于“原来最初车与人的距离+骑车人6小时行驶的路程”，
所以骑车人4小时行驶的路程等于“中车6小时行驶的路程-快车2小时行驶的路程”。 骑车人的速度：（22×6 – 54×2）÷（6-2）=6（千米/时） 原来最初车与人的距离：54×2-6×2=96（千米） 96÷（12-6）=16（小时）
答：慢车要用16小时追上骑车人。
例4
（第六届中环杯初赛试题）
某人骑自行车在路上前行，每隔12分钟有一辆电车从后面超过他，每隔4分钟有一辆电车迎面向他驶来。此人与电车的速度均保持不变，且不计电车停车的时间和上、下车乘客所用的时间。那么每隔（ ）分钟，从起点站发出一辆电车。
【解析】 “车距不变”是求解发车间隔问题的关键。
设骑自行车的速度为1，车速为x，得 （x+1）×4=（x-1）×12 8x=16
x=2 车距：（2＋1）×4=12 发车间隔：12÷2=6（分钟）
【巩固拓展】
（第六届小机灵杯邀请赛试题）
小明步行，小英骑车，小英的速度是小明的3倍，他们同时同向沿100路公交车同向而行，每隔12分钟有一辆100路公交车超过小明，每隔24分钟有一辆超过小英，已知100路公交车每隔同样的时间发一辆，那么100路公交车间隔（ ）分钟发一辆车。
【解析】 设小明的速度为1，则小英的速度为3，公交车速为x，依题意得
（x-1）×12=（x-3）×24 12x=60 x=5 车距：（5-1）×12=48 发车间隔：48÷5=9.6（分钟）
例5
一只猎狗追赶前方20米处的兔子。已知狗一跳前进3米，兔子一跳前进2.1米，狗跳3次的时间兔子可以跳4次。那么兔子跑出多远后将被猎狗追上？
【解析】 以狗跳3次的时间为一个时间单位，在一个单位时间里，狗跑3×3=9（米），兔子跑4×2.1=8.4
（米），所以兔子跑的距离为： 20÷（9-8.4）×8.4=280（米）。 答：兔子跑出280米后将被猎狗追上。
【巩固拓展】
野兔逃出80步后猎狗才开始追，野兔跑7步的路程猎狗只需跑3步，野兔跑9步的时间猎狗只能跑5步。问：猎狗要跑多少步才能追上野兔？
【解析】 本题要注意兔子的1步和猎狗的1步是不一样的长度。
“野兔跑7步的路程猎狗只需跑3步，野兔跑9步的时间猎狗只能跑5步”可以转化为“野兔跑35步的路程猎狗只需跑15步，野兔跑27步的时间猎狗只能跑15步”。 在猎狗跑15步的时间里，猎狗跑了35个兔步，而野兔只跑了27个兔步，
以猎狗跑15步的时间为单位时间，狗追上兔需要：80÷（35-27）=10个单位时间，猎狗跑了10×15=150（步）
答：猎狗要跑150步才能追上野兔。
例1
（第八届中环杯初赛试题）
小明在河的东岸，小刚在河的西岸，他们分别向河对岸直线游去。两人第一次在河中相遇时距西岸80米，相遇后各自继续向对岸游去，当游抵对岸后又立即返回。他俩在河中第二次相遇时距东岸60米，相遇后再继续往前游，到达对岸后又立即返回。当他俩在河中第三次相遇时，距东岸（ ）米，距西岸（ ）米。
【解析】 从出发到第1次相遇，小明和小刚一共游了1个全程，小刚游了80米；
从出发到第2次相遇，小明和小刚一共游了3个全程，小刚游了80×3=240（米）；所以东西两岸的距离是：240-60=180（米）；
从出发到第3次相遇，小明和小刚一共游了5个全程，小刚游了80×5=400（米）； 400÷180=2……40
这时候小刚距离西岸40米，距离东岸180-40=140（米）
例2
（第十二届中环杯初赛试题）
甲、乙两人在一条圆形跑道上同时同地同向出发，绕圆形跑道跑步。已知两人在跑步过程中速度均保持不变， 且甲跑得比乙快。甲第一次追上乙时，乙离开出发点250米。当甲第二次追上乙时，乙离开出发点50米。求跑道长。
【解析】 因为两人始终保持匀速，所以从出发开始，甲第二次追上乙所用的总时间是第一次追上乙所用时
间的2倍，两人各自所走的路程也是第一次的2倍。因此，甲第二次追上乙时，可以认为乙离开出发点250×2=500（米）。接下来要分类讨论：
如果这500米是不到一圈，那么跑道长500+50=550（米）。 如果这500米是超过一圈，那么跑道长500-50=450（米）。
如果这500米是超过两圈，那么跑道长（500-50）÷2=225（米）。因为甲第一次追上乙时，乙离开出发点250米＞225米，所以舍去。 所以，跑道长450米或550米。
例3
在一条街AB上，甲由A向B以不变的速度步行，，同时乙骑车由B向A匀速行驶，乙的速度是甲的3倍，此时1路公共汽车由始发站A开出向B匀速行驶，过了一段时间，甲发现每隔10分钟有一辆1路公共汽车追上他，乙发现每隔5分钟就迎面碰到一辆1路公共汽车，1路公共汽车的发车间隔相等，那么在始发站1路公共汽车发车的间隔时间是多少？
【解析】 设甲的速度为1，则乙的速度为3，得
（车速－1）×10＝（车速＋3）×5
车速＝5
车距：（5－1）×10=40
发车间隔：40÷5=8（分钟）
答：1路公共汽车发车的间隔时间是8分钟。
例4
猎狗追赶前方30米处的野兔。猎狗步子大，它跑4步的路程兔子要跑7步，但是兔子动作快，猎狗
跑3步的时间兔子能跑4步。猎狗至少跑出（ ）米才能追上野兔？
【解析】 由“猎狗跑4步的路程兔子要跑7步，猎狗跑3步的时间兔子能跑4步”得“猎狗跑12步的路
程兔子要跑21步，猎狗跑12步的时间兔子能跑16步”，以“猎狗跑12步的时间”为1单位时间，在一个单位时间，猎狗跑了21个兔步，兔子跑了16个兔步，也就是意味着猎狗和兔子的速度比是21:16。
由追及问题，追及的路程是30米，可知马需要跑30÷（21-16）×21=126（米）
例5
某团体从甲地到乙地，甲、乙两地相距100千米，团体中一部分人乘车先行，余下的人步行，先坐车的人到途中某处下车步行，汽车返回接先步行的那部分人，全部人员同时到达。已知步行速度为8千米/时，汽车速度为40千米/时。问使团体全部成员同时到达乙地需要多少时间？
【解答】如图，汽车带着第一部分人从A到C，折回到D接到第二部分人，因为汽车的速度是人步行
速度的5倍，所以汽车行过的路程（AC+CD）是AD的5倍，因此CD=2AD。
同理，汽车从C到D，又从D到B所走的路应该是第一部分人走的路程的5倍，因此CD=2BC。 所以汽车行的总路程是AD的8倍，即AB的2倍，共200千米。
200÷40=5（小时）
答：团体全部成员同时到达乙地需要5小时。
（在本题中请注意要使全部成员同时到达，第一部分人和第二部分人步行的路程相等，即AD=BC）
【练习1】 甲、乙两车分别同时从A、B两地相对开出，第一次在离A地95千米处相遇，相遇后都继续行
进，各自走到对方出发点后立即返回，第二次在离B地25千米处相遇．求A、B两地间的距离是多少千米？
【解析】 95×3-25=260（千米）
答：A、B两地间的距离是260千米。
【练习2】 甲乙两车分别从A、B 两地同时出发，匀速相向而行，第一次相遇时离A地150千米。两车继
续各自前行，分别到达B、A 两地后立刻返回，不作停留，在离A地70千米处第二次相遇。A、B 两地间的距离为_________千米。
【解析】 从开始到第一次相遇，两人共走了1个全程；
从开始到第二次相遇，两人共走了3个全程。 （150×3+70）÷2=260（千米） 答：A、B 两地间的距离为260千米。
【练习3】 从电车总站每隔一定时间开出一辆电车。甲和乙两人在一条街上沿着同一方向步行，甲每分钟
步行82米，每隔10分钟遇上一辆迎面而来的电车；乙每分钟步行60米，每隔10分钟15秒遇上一辆迎面而来的电车。电车总站每隔__________分钟开出一辆电车。
【解析】 10分15秒＝10.25分，设电车的为x米/分，依题意得
（x+82）×10=（x+60）×10.25 0.25x=205
x=820
车距：（820+82）×10=9020（米） 发车间隔：9020÷820=11（分钟） 答：电车总站每隔11分钟开出一辆电车。
【练习4】 狗跑3步的时间马能跑6步。马跑3步的距离相当于狗跑6步的距离，现在狗已跑出630米，
马才开始追狗，马跑（ ）米可追上狗。
【解析】 由“狗跑3步的时间马能跑6步。马跑3步的距离相当于狗跑6步的距离”可得“狗跑3步
的时间马能跑6步。马跑6步的距离相当于狗跑12步的距离”，以“马跑6步的时间”为1单位时间，在一个单位时间里，马跑了12个狗步的距离，狗跑了3个狗步的距离，所以马的速度是狗的4倍。
由追及问题，追及的路程是630米，可知马需要跑630÷（4-1）×4=840（米）
【练习5】 现有甲、乙、丙三人，甲每分钟走40米，丙每分钟走60米，甲、乙从A、B两地同时相向而
行，他们出发15分钟后，丙从B出发追乙。甲、乙先在途中相遇，7分钟后甲又与丙相遇，又过了63分钟丙才追上乙。A、B两地相距多少米？
【解析】 甲、乙相遇7分钟后甲又与丙相遇，所以甲乙相遇时，乙丙之间的距离为：
（40+60）×7=700（米）
从甲乙相遇时刻算起，到丙追上乙，丙一共用时：7+63=70（分钟） 根据追及问题，我们可以求出乙、丙速度差为：700÷70=10（米/分） 乙的速度为：60-10=50（米/分）
丙出发时，乙、丙之间的距离为：50×15=750（米）
【练习6】 狼和狗是死对头，见面就要相互撕咬。一天，它们同时发现了对方，它们之间的距离狼要跑568
步。如果狼跑9步的时间狗跑7步，狼跑5步的距离等于狗跑4步的距离，那么从它们同时奔向对方到相遇，狗跑了多少步？狼跑了多少步？
【解析】 “狼跑9步的时间狗跑7步，狼跑5步的距离等于狗跑4步的距离”转化为“狼跑36步的时间
狗跑28步，狼跑35步的距离等于狗跑28步的距离”。
以狗跑28步的时间为1个单位时间，在1单位时间里，狼跑了36个狼步，狗跑了35个狼步。 从出发到相遇，需要568÷（36+35）=8个单位时间
狼跑了：36×8=288（个）狼步，狗跑了：28×8=224（个）狗步。
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