2021年九年级中考数学 分类训练：与圆有关的位置关系

一、选择题

1. 如图，AB和⊙O相切于点B，∠AOB＝60°，则∠A的大小为( ) A. 15° B. 30° C. 45° D. 60°

2. 如图，已知⊙O上三点A，B，C，半径OC＝1，∠ABC＝30°，切线PA交OC的延长线

于点P，则PA的长为( )

A．2

3. 在平面直角坐标系中，⊙O的圆心在原点处，半径为2，则下列各点在⊙O上的是( )

B.3 C.2

1

D. 2

A．(1，1)

B．(－1，3) D．(2，－2)

C．(－2，－1)

4. 如图，AB为⊙O的切线，切点为A，连接AO，BO，BO与⊙O交于点C，延长BO与

⊙O交于点D，连接AD.若∠ABO＝36°，则∠ADC的度数为( )

A．54°

5. 如图，AB是⊙O

B．36° C．32° D．27°

的直径，C是⊙O上的点，过点C作⊙O的切线交AB的延长线于点E，若∠A＝30°，则sin∠E的值为( ) 1233A. 2 B. 2 C. 2 D. 3

则光盘的直径是( )

6. 一把直尺、含60°角的三角尺和光盘如图所示摆放，A为60°角与直尺的交点，AB＝3，

A．3

7. 如图，在△

B．3 3 C．6 D．6 3

ABC中，AB＝10，AC＝8，BC＝6，经过点C且与边AB相切的

动圆与CA，CB分别相交于点P，Q，则线段PQ的最小值为( )

A．5

8. 如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，P是直线l上的一个动点，PQ切⊙O

B．4 2 C．4.75 D．4.8

于点Q，则PQ的最小值为( )

A.13

B.5

C．3

D．2

二、填空题

9. 如图，∠APB＝30°，⊙O的半径为1 cm，圆心O在直线PB上，OP＝3 cm，若⊙O沿

BP方向移动，当⊙O与直线PA相切时，圆心O移动的距离为__________．

10. 如图，已知△ABC内接于⊙O，BC是⊙O的直径，MN与⊙O相切，切点为A.若∠MAB

＝30°，则∠B＝________°.

11. 如图，AB

是⊙O的直径，⊙O交BC于点D，DE⊥AC，垂足为E，要使DE

是⊙O的切线，则图中的线段应满足的条件是____________．

12. 如图，半圆的圆心

O与坐标原点重合，半圆的半径为1，直线l的解析式

为y＝x＋t.若直线l与半圆只有一个公共点，则t的取值范围是________．

13. 如图，⊙O是△

ABC的内切圆，若∠ABC＝70°，∠ACB＝40°，则∠BOC＝

________°.

14. 已知点P到⊙O上的点的最短距离为3 cm，最长距离为5 cm，则⊙O的半径为

__________．

15. 如图，在矩形

ABCD中，AB＝8，AD＝12，过A，D两点的⊙O与BC边相切于点E.则⊙O的半径为________．

16. 如图，在扇形ABC中，CD⊥AB，垂足为D，⊙E是△ACD的内切圆，连接AE，BE，

则∠AEB的度数为________．

三、解答题

17. 如图，在△ABC中，AB=AC，过AC延长线上的点O作OD⊥AO，交BC的延长线于点D，以O为圆心，OD长为半径的圆过点B. (1)求证:直线AB与☉O相切;

(2)若AB=5，☉O的半径为12，则tan∠BDO= .

18. 如图，△ABC

中，∠ACB＝90°，D为AB上一点，以CD为直径的⊙O交

BC于点E，连接AE交CD于点P，交⊙O于点F，连接DF，∠CAE＝∠ADF. (1)判断AB与⊙O的位置关系，并说明理由； (2)若PF∶PC＝1∶2，AF＝5，求CP的长．

19. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AB为直径作半圆O交AC于点D，E为BC

的中点，连接DE.

(1)求证：DE是半圆O的切线；

(2)若∠BAC＝30°，DE＝2，求AD的长．

20. 如图，直线AB经过⊙O上的点C，直线AO与⊙O交于点E和点D，OB与⊙O交于

点F，连接DF，DC.已知OA＝OB，CA＝CB. (1)求证：直线AB是⊙O的切线； (2)求证：∠CDF＝∠EDC；

(3)若DE＝10，DF＝8，求CD的长．

3

21. 如图所示，P为正比例函数y＝x图象上的一个动点，⊙P的半径为3，设点

2P的坐标为(x，y)．

(1)求⊙P与直线x＝2相切时，点P的坐标；

(2)请直接写出⊙P与直线x＝2相交、相离时，x的取值范围； (3)求当原点O在⊙P上时，圆心P的坐标．

22. 2018·北京 对于平面直角坐标系xOy中的图形M，N，给出如下定义：P为图形M上任

意一点，Q为图形N上任意一点，如果P，Q两点间的距离有最小值，那么称这个最小值为图形M，N间的“闭距离”，记作d(M，N)．已知点A(－2，6)，B(－2，－2)，C(6，－2)． (1)求d(点O，△ABC)；

(2)记函数y＝kx(－1≤x≤1，k≠0)的图象为图形G.若d(G，△ABC)＝1，直接写出k的取值范围；

(3)⊙T的圆心为T(t，0)，半径为1.若d(⊙T，△ABC)＝1，直接写出t的取值范围．

23. 已知⊙O

的半径为3，⊙P与⊙O相切于点A，经过点A的直线与⊙O、⊙P

1分别交于点B、C，cos∠BAO＝．设⊙P的半径为x，线段OC的长为y．

3（1）求AB的长；

（2）如图，当⊙P与⊙O外切时，求y与x之间的函数关系式，并写出函数的定义域；

（3）当∠OCA＝∠OPC时，求⊙P的半径．

2021中考数学 分类训练：与圆有关的位置关系

-答案

一、选择题

1. 【答案】 B 【解析】∵AB和⊙O相切于点B，∴OB⊥AB，∴∠ABO＝90°，∵∠AOB＝60°，∴∠A＝90°－∠AOB＝90°－60°＝30°.

2. 【答案】B [解析] 连接OA.因为∠ABC＝30°，所以∠AOC＝60°.因为PA为⊙O的切线，

所以∠OAP＝90°，所以∠P＝90°－∠AOC＝30°.因为OA＝OC＝1，所以OP＝2OA＝1， 所以PA＝3.

3. 【答案】B [解析] A项，点(1，1)到圆心的距离是2，2＜2，故在圆内；B项，点(－1，

3)到圆心的距离为2，2＝2，故在圆上；C项，点(－2，－1)到圆心的距离为5，5＞2，故在圆外；D项，点(2，－2)到圆心的距离为2 2，2 2＞2，故在圆外． 故选B.

4. 【答案】D [解析] ∵AB为⊙O的切线，

∴∠OAB＝90°.

∵∠ABO＝36°，∴∠AOB＝90°－∠ABO＝54°. 1

∴∠ADC＝∠AOB＝27°.故选D.

2

5. 【答案】A

【解析】如解图，连接OC，∵EC切⊙O于C，∴∠OCE＝90°，

∵OA＝OC，

解图

∴∠ACO＝∠A＝30°，∴∠COE＝∠ACO＋∠A ＝30°＋30°＝60°，∴∠E＝180°

－∠OCE－∠COE ＝180°－90°－60°＝30°，∴在Rt△COE中，sin∠E＝sin30°1＝2.

6. 【答案】D [解析] 设光盘的圆心为O，连接OA，OB，则OB⊥AB，∠OAB＝×(180°

1

2

－60°)＝60°.

∵AB＝3，∴OA＝6，OB＝3 3， ∴光盘的直径是6 3.故选D.

7. 【答案】D

[解析] 如图，设PQ的中点为F，⊙F与AB的切点为D，连接FD，

FC，CD.

∵AB＝10，AC＝8，BC＝6，

∴∠ACB＝90°， ∴PQ为⊙F的直径．

∵⊙F与AB相切，∴FD⊥AB，FC＋FD＝PQ，而FC＋FD≥CD，

∴当CD为Rt△ABC的斜边AB上的高且点F在CD上时，PQ有最小值，为CD的长，即CD为⊙F的直径．

11∵S△ABC＝2BC·AC＝2CD·AB，∴CD＝4.8.故PQ的最小值为4.8.

8. 【答案】B [解析] ∵PQ与⊙O相切，∴∠OQP＝90°，∴PQ

＝的最小

OP2－OQ2＝OP2－22，∴当OP最小时，PQ最小．而OP值是点O到直线l的距离3，∴PQ的最小值为32－22＝5.故选B.

二、填空题

9. 【答案】1 cm或5 cm [解析] 当⊙O与直线PA相切时，点O到直线PA的距离为1 cm.

∵∠APB＝30°，∴PO＝2 cm，

∴圆心O移动的距离为3－2＝1(cm)或3＋2＝5(cm)．

10. 【答案】60

11. 【答案】BD＝CD

或AB＝AC(答案不唯一)

[解析] (1)连接OD.要使DE是⊙O的切线，结合DE⊥AC，只需OD∥AC，根据O是AB的中点，只需BD＝CD即可；

(2)根据(1)中探求的条件，要使BD＝CD，则连接AD，由于∠ADB＝90°，只需AB＝AC，根据等腰三角形的三线合一即可．

12. 【答案】t＝

2或－1≤t＜1 [解析] 若直线与半圆只有一个从直线过

公共点，则有两种情况：直线和半圆相切于点C或点A开始到直线过点B结束(不包括直线过点A)． 直线y＝x＋t与x轴所形成的锐角是45°.

当点O到直线l的距离OC＝1时，直线l与半圆O相切，设直线l与y轴交于点D，则OD＝2，即t＝2.

当直线过点A时，把A(－1，0)代入直线l的解析式，得t＝y－x＝1. 当直线过点B时，把B(1，0)代入直线l的解析式，得t＝y－x＝－1. 即当t＝2或－1≤t＜1时，直线和半圆只有一个公共点． 故答案为t＝2或－1≤t＜1.

13. 【答案】125

【解析】∵⊙O是△ABC的内切圆，∴OB、OC分别是∠ABC、

11

∠ACB的平分线，∴∠OBC＋∠OCB＝2(∠ABC＋∠ACB)＝2(70°＋40°)＝55°.∴∠BOC＝180°－(∠OBC＋∠OCB)＝180°－55°＝125°.

14. 【答案】1 cm或4 cm [解析] 若点P在⊙O内，如图①.∵AP＝3 cm，BP＝5 cm，

∴AB＝8 cm，∴OA＝4 cm；

若点P在⊙O外，如图②. ∵AP＝3 cm，BP＝5 cm， ∴AB＝2 cm， ∴OA＝1 cm.

25

4 【解析】如解图，连接EO并延长交AD于点F，连接OD、OA，

则OD＝OA.∵BC与⊙O相切于点E，∴OE⊥BC，∵四边形ABCD是矩形，∴

1

AD∥BC，∴EF⊥AD，∴DF＝AF＝2AD＝6，在Rt△ODF中，设OD＝r，则OF＝EF－OE＝AB－OE＝8－r，在Rt△ODF中，由勾股定理得DF2＋OF2＝OD2，

2525

即62＋(8－r)2＝r2，解得r＝.∴⊙O的半径为.

44

15. 【答案】

解图

16. 【答案】135° [解析] 连接CE.∵∠ADC＝90°，∴∠DAC＋∠DCA＝90°.∵⊙E内切于

△ADC，∴∠EAC＋∠ECA＝45°，∴∠AEC＝135°.由“边角边”可知△AEC≌△AEB，∴∠AEB＝∠AEC＝135°.

三、解答题

17. 【答案】

解:(1)证明:连接OB，如图所示.

∵AB=AC， ∴∠ABC=∠ACB. ∵∠ACB=∠OCD， ∴∠ABC=∠OCD. ∵OD⊥AO， ∴∠COD=90°， ∴∠D+∠OCD=90°. ∵OB=OD， ∴∠OBD=∠D， ∴∠OBD+∠ABC=90°， 即∠ABO=90°， ∴AB⊥OB， ∵点B在☉O上， ∴直线AB与☉O相切. (2)∵∠ABO=90°， ∴OA=∵AC=AB=5， ∴OC=OA-AC=8， ∴tan∠BDO=故答案为:.

==. =

=13，

18. 【答案】

解：(1)AB与⊙O相切．理由如下： ∵∠ACB＝90°，

∴∠CAE＋∠AEC＝90°，

又∵∠AEC＝∠CDF，∠CAE＝∠ADF， ∴∠CDF＋∠ADF＝90°， ∴∠ADC＝90°，

又∵CD为⊙O的直径， ∴AB与⊙O相切．(3分) (2)如解图，连接CF，

解图

∵CD为⊙O的直径， ∴∠CDF＋∠DCF＝90°， 又∵∠CDF＋∠ADF＝90°， ∴∠DCF＝∠ADF， 又∵∠CAE＝∠ADF， ∴∠CAE＝∠DCF， 又∵∠CPA＝∠FPC， ∴△PCF∽△PAC， PCPF

∴PA＝PC，(6分)

又∵PF∶PC＝1∶2，AF＝5， 故设PF ＝a，则PC＝2a， 2aa∴＝2a， a＋5

5

解得a＝3，

510

∴PC＝2a＝2×3＝3.(8分)

19. 【答案】

解：(1)证明：如图，连接BD，OD，OE.

∵AB为半圆O的直径， ∴∠ADB＝∠BDC＝90°.

在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点， ∴DE＝BE.

OB＝OD，

在△OBE和△ODE中，OE＝OE，

BE＝DE，∴△OBE≌△ODE(SSS)，

∴∠ODE＝∠ABC＝90°，即OD⊥DE. 又∵OD是半圆O的半径， ∴DE是半圆O的切线．

(2)在Rt△ABC中，∠BAC＝30°， 1

∴BC＝AC. 2

∵BC＝2DE＝4，∴AC＝8.

又∵∠C＝90°－∠BAC＝60°，DE＝BE＝EC， ∴△DEC为等边三角形，∴DC＝DE＝2， ∴AD＝AC－DC＝6.

20. 【答案】

解：(1)证明：如图，连接OC.

∵OA＝OB，AC＝CB， ∴OC⊥AB.

又∵点C在⊙O上， ∴直线AB是⊙O的切线． (2)证明：∵OA＝OB，AC＝CB， ∴∠AOC＝∠BOC. ∵OD＝OF， ∴∠ODF＝∠OFD.

∵∠AOB＝∠ODF＋∠OFD＝∠AOC＋∠BOC， ∴∠BOC＝∠OFD， ∴OC∥DF， ∴∠CDF＝∠OCD. ∵OD＝OC， ∴∠ODC＝∠OCD， ∴∠CDF＝∠EDC.

(3)如图，过点O作ON⊥DF于点N，延长DF交AB于点M. ∵ON⊥DF， ∴DN＝NF＝4.

在Rt△ODN中，∵∠OND＝90°，OD＝5，DN＝4， ∴ON＝OD2－DN2＝3. 由(2)知OC∥DF， ∴∠OCM＋∠CMN＝180°. 由(1)知∠OCM＝90°，

∴∠CMN＝90°＝∠OCM＝∠MNO， ∴四边形OCMN是矩形， ∴CM＝ON＝3，MN＝OC＝5.

在Rt△CDM中，∵∠DMC＝90°，CM＝3，DM＝DN＋MN＝9， ∴CD＝DM2＋CM2＝92＋32＝310.

21. 【答案】

解：(1)当⊙P在直线x＝2的左侧与该直线相切时， ∵圆心P到直线x＝2的距离等于半径3， ∴2－x＝3，∴x＝－1， 33此时y＝－2，P(－1，－2)．

当⊙P在直线x＝2的右侧与该直线相切时， ∵圆心P到直线x＝2的距离等于半径3， ∴x－2＝3，

1515

∴x＝5，此时y＝2，P(5，2)．

315

综上可得，当⊙P与直线x＝2相切时，点P的坐标为(－1，－2)或(5，2)． (2)当－1＜x＜5时，⊙P与直线x＝2相交； 当x＜－1或x＞5时，⊙P与直线x＝2相离． (3)当点O在⊙P上时，OP＝3. 由勾股定理可得(x－0)2＋(y－0)2＝32. 36 136 13

又∵y＝2x，∴x1＝13，x2＝－13. 39 139 13

代入y＝2x可得y1＝13，y2＝－13.

6 139 136 139 13

∴当原点O在⊙P上时，圆心P的坐标为(13，13)或(－13，－13)．

22. 【答案】

解：(1)如图所示，点O到△ABC的距离的最小值为2， ∴d(点O，△ABC)＝2.

(2)如图，函数y＝kx(k≠0)的图象经过原点，在－1≤x≤1范围内，函数图象为线段． 当函数y＝kx(－1≤x≤1，k≠0)的图象经过点(1，－1)时，k＝－1，此时d(G，△ABC)＝1；

当函数y＝kx(－1≤x≤1，k≠0)的图象经过点(－1，－1)时，k＝1，此时d(G，△ABC)＝1. ∴－1≤k≤1.

又∵k≠0，∴－1≤k≤1且k≠0.

(3)如图，⊙T与△ABC的位置关系分三种情况：

①当⊙T在△ABC的左侧时，d(⊙T，△ABC)＝1，此时t＝－4. ②当⊙T在△ABC的内部时，

当点T与原点重合时，d(⊙T，△ABC)＝1，此时t＝0； 当点T位于T3位置时，由d(⊙T，△ABC)＝1知T3M＝2. ∵AB＝BC＝8，∠ABC＝90°， ∴∠C＝∠T3DM＝45°， 则T3D＝2 2， ∴t＝4－2 2. 故此时0≤t≤4－2 2. ③当⊙T在△ABC的右侧时， 由d(⊙T，△ABC)＝1知T4N＝2. ∵∠T4DC＝∠C＝45°， ∴T4D＝2 2， ∴t＝4＋2 2.

综上，t＝－4或0≤t≤4－2 2或t＝4＋2 2.

23. 【答案】

（1）如图2，作OE⊥AB，垂足为E，由垂径定理，得AB＝2AE．

AE1在Rt△AOE中，cos∠BAO＝，AO＝3，所以AE＝1．所以AB＝2．

AO3（2）如图2，作CH⊥AP，垂足为H．

AOAP3x2由△OAB∽△PAC，得．所以．所以ACx． ABAC2AC313221在Rt△ACH中，由cos∠CAH＝，得． AHACCH3224212所以AHACx，CHACx．

3939在Rt△OCH中，由OC2＝OH2＋CH2，得y2(整理，得y3624xx9．定义域为x＞0． 8134222x)(3x)2． 99

图2 图3

（3）①如图3，当⊙P与⊙O外切时，如果∠OCA＝∠OPC，那么△OCA∽△OPC．

OAOC因此．所以OC2OAOP． OCOP3641515解方程x2x93(3x)，得x．此时⊙P的半径为．

813442②如图4，图5，当⊙P与⊙O内切时，同样的△OAB∽△PAC，ACx．

3如图5，图6，如果∠OCA＝∠OPC，那么△ACO∽△APC．

AOAC所以．因此AC2AOAP． ACAP22727解方程(x)23x，得x．此时⊙P的半径为．

344图4 图5 图6

考点伸展

第（3）题②也可以这样思考：

如图4，图5，图6，当∠OCA＝∠OPC时，3个等腰三角形△OAB、△PAC、△CAO都相似，每个三角形的三边比是3∶3∶2．

9927279这样，△CAO的三边长为、、3．△PAC的三边长为、、．

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