伴随矩阵的若干性质及其在解题中的应用

第３３卷第５期　佳木斯大学学报（自然科学版）　Ｖｏ１．３３　Ｎｏ．５　２０１５年ｏ９月　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｊｉａｍｕｓｉ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｓｅｐ．　２０１５　文章编号：１００８—１４０２（２０１５）０５—０７３９一ｏ２　伴随矩阵的若干性质及其在解题中的应用①　张丽丽　（陇东学院数学与统计学院，甘肃庆阳７４５０００）　摘要：伴随矩阵遗传了原矩阵的诸多性质，本文对伴随矩阵的性质作了进一步的讨论，并给　出了相应的证明，最后运用这些性质来求解一些相关问题．　关键词：矩阵；伴随矩阵；矩阵的特征值　中图分类号：Ｏ１５１．２１　　‘文献标识码：Ａ　０　引　言　ｒ　，ｒ（Ａ）　，ｌ　ｒ（Ａ　）＝｛１，ｒ（Ａ）＝，ｌ一１　伴随矩阵在矩阵运算中起着非常重要的作用，　Ｌ０，ｒ（Ａ）＜　一１　它是由方阵　唯一确定的，因此伴随矩阵　与原　证明：　若ｒ（Ａ）＝几时，矩阵Ａ可逆，由定理　矩阵Ａ必定存在着一定的联系，在高等代数中我们　得ｒ（Ａ　）＝ｒ（Ａ）＝ｎ，即有ｒ（Ａ’）＝　；　已经详细的学习了矩阵的性质，这些性质能否平行　若ｒ（Ａ）＝儿一ｌ时，也就是Ａ中有　一１阶非　的运用到伴随矩阵中来，伴随矩阵是否还有它自身　零子式，Ａ’中有非零元素，从而ｒ（Ａ’）≥１．由定　的一些性质，下面将逐一进行探讨．　理得Ｉ　Ａ　Ｉ＝０，即ＡＡ’＝Ｉ　Ａ　Ｉ　Ｅ＝０．故ｒ（Ａ）＋　１伴随矩阵的定义　ｒ（Ａ’）≤厅，再由ｒ（Ａ）＝ｎ一１得ｒ（Ａ。）≤１，因此　定义　设　Ｉｔ　阶矩阵　Ａ　＝　ｒ（ａ’）＝１．　若ｒ（Ａ）＜ｎ一１时，则Ａ中所有Ｉｔ—ｌ阶子式　…　口１ｎ　全为０，即Ａ　为零矩阵，故ｒ（Ａ’）＝０．　…ｔ／，２　，　（ｉ，ｊ＝１，２，…，Ｉｔ）是Ｉ　Ａ　性质２　设Ａ为ｎ　黾阵，贝Ｕ　ｌ　’Ｉ＝ｌ　ｌ　ｎ－１．　：　：　●　●　证明：　当Ａ可逆时，因为Ａ’＝ｌ　Ａ　Ｉ　Ａ～，故Ｉ　…　口Ｍ　Ａ’Ｉ：ｌ　Ａ　Ｉ　Ａ　Ｉ－１　Ｉ＝Ｉ　Ａ　Ｉ　ｌ　Ａ　Ｉ＿。＝ｌ　Ａ　Ｉ　＿。．当Ａ不　中元素０　的代数余子式，称矩阵Ａ　＝　可逆时，Ｉ　Ａ　Ｉ＝０，故ｌ　Ａ’ｌ＝０，可得Ｉ　Ａ　ｌ＝Ｉ　Ａ　Ｉ　ｎ－Ｉ．　－Ａ　ｚ…Ａ　ｎ１　性质３　Ａ’可逆当且仅当Ａ可逆，若Ａ可逆，　Ｉ则（Ａ　）一＝（Ａ　）’．　Ｉ：　Ａ１　２　Ａ：ｎ　　…Ａ：　　Ｉ：Ｉ为　　的伴随矩阵．　证明：　（Ａ　）＿。＝（Ｉ　Ａ　ｌ　Ａ　）＿。＝ｌ　Ａ　ｌ　Ａ，　Ａ１　Ａ２　…Ａ　（Ａ－１）‘＝ｆ　Ａ　Ｉ（Ａ　）＿。＝Ｉ　Ａ　Ｉ－１Ａ，故（Ａ’）＿。＝　（　－１）　．　２　伴随矩阵的性质　性质４（Ａ　）　＝（Ａ　）’　定理　ｔＩ阶矩阵Ａ可逆的充要条件是Ａ非退　证明：　（Ａ　）’＝ｌ　Ａ　ｌ（Ａ　）－。：Ｉ　Ａ　Ｉ（Ａ－１）　＝（Ｉ　ｌ　）　＝（Ａ’）　化，即Ｉ　Ａ　ｊ≠０，Ｈ　Ａ～　’・　性质５　设ｋ为常数，（ｋＡ）’＝ｋ￣－ｌＡ’．　推论　ＡＡ’＝Ａ’Ａ＝Ｉ　Ａ　ｌ　Ｅ，Ｅ为ｎ阶单位　证明：　（ｋＡ）　＝ｌ　Ｍ　Ｉ（ｋＡ）～＝ｋ“ｌ　Ａ　ｌ・　矩阵．　ｋ－ＩＡ～＝ｋＯ－ＩＡ　性质１　设Ａ为　阶矩阵，则有　性质６（ＡＢ）　＝Ｂ’Ａ’．　证明：　１）当ｌ　Ａ　ｌ≠０，ｌ　Ｉ≠０时，有　①收稿日期：２０１５—０６—２３　作者简介：张丽丽（１９８５一），女，甘肃庆阳人，硕士研究生，讲师，主要研究方向是偏微分方程及其应用，陇东学院数学与统计学院　７４０　佳木斯大学学报（自然科学版）　２０１５生　ｌ　ＡＢ日　Ｉ？　‘　Ａ　Ｉ　．Ａ～Ｂ　。（　Ａ．Ｂ）。－　Ｂ　Ａ　＝。日　～＿。　Ｉ　～：　～，于是有　ＩＺ　【　１。ｒ　一２）Ｉ　Ａ　ｌ＝０，ｌ　Ｂ　ｌ＝０时，令Ａ（　）＝ｘＥ＋Ａ，　（＝）＝ｘＥ＋Ｂ，只要　充分大，Ａ（　）与　（　）都可　一Ｅ＝２（Ｂ＿１）　【　】　１，　逆，所以（Ａ（　）８（ｘ））　＝（８（ｘ））‘（Ａ（　））　．式　中的元素都是关于　的多项式，由于　充分大时对　应元素相等，所以对应元素是相等的多项式，即上　式对任意　都成立．取　＝０时，得（Ａ　）’：　’Ａ　．　Ｅ＝２（Ｂ　）　＋Ｂ～一Ｅ＝　Ｂ　）　其中　为多项式　）＝２ｘ　＋　一１．由于相似　矩阵有相同的特征值，故Ｂ的全部特征值为ｉ１，　下１，所以Ｂ　的全部特征值为２，２，３．因此　Ｂ　）　性质７　若　是可逆矩阵，Ａ是其特征值，Ｏｌ是　Ａ的属于Ａ的特征向量，那么Ａ’的特征值为Ａ　Ｉ　Ａ　Ｉ，　是Ａ’的属于特征值Ａ　Ｉ　Ａ　Ｉ的特征向量．　证明：　因Ａ可逆，故Ａ≠０，由Ａａ＝Ａ　，左乘　Ａ’得，Ａ　Ａａ＝ＡＡ’Ｏｌ，故Ａ’　＝Ａ　Ｉ　Ａ　ｌ　Ｅａ＝Ａ　ｆ　Ａ　Ｉ　Ｏｔ．　的全部特征值为，（２）＝９，ｆ／２）＝９　３）＝２０．　所以，所求行列式的值为Ｄ＝ｆ／Ｂ　）＝９×９　×２０＝１６２０．　例３设ｒ／，阶方阵Ａ是可逆的，那么Ａ’可表示　为Ａ的多项式．　解：Ａ的特征多项式为　Ａ）＝Ａ　＋ｆｌ，ｎ＿１Ａ　＋…＋ｎ１Ａ＋口０．因Ａ可逆，所以口ｏ＝（一１）“ｌ　Ａ　ｌ≠　０，由哈密尔顿一凯莱定理知　＿性质８　若Ａ是正定的，则Ａ’也是正定的．　证明：　因Ａ正定，故存在可逆矩阵Ｐ，使　ｐｒＡｐ＝Ｅ，）＝０，即　则有（ｐｒＡｐ）　＝Ｅ　，即Ｐ’Ａ’（Ｐ　）’　Ａ“＋ａ．ｌＡ　一　＋…＋口１Ａ＋ｏ０Ｅ＝０故　一　＝Ｅ，故Ａ’也是正定的．　（　＋　】Ａ　＋．．・＋ｃｔ１Ｅ）Ａ＝Ｅ　３　性质在解题中的应用　例１　设Ａ为４阶方阵，且Ａ的伴随矩阵的行　右乘Ａ　，得　一　列式Ｉ　Ａ　ｌ＝８，求ｌ　Ａ　＋Ａ’Ｉ　（　—ｌ＋口　一ｌ　一　＋…＋口ｌ　）：　・　解：　由性质２得，Ｉ　Ａ　Ｉ。＝Ｉ　Ａ　ｌ＝８，故　ｌ　Ａ　ｆ＝２再结合定理得．　故　＝（一１）　．１（Ａ　－１＋ａ．＿ｌＡ　一２＋…＋ａ１Ｅ）　・＝ｌ　ｌ＝（寻）　・＝　１，了１，，　参考文献：　［１］张禾瑞，郝丙新．高等代数［Ｍ］．北京：高等教育出版社，　１９８６．　例２　设３阶方阵的Ａ特征值为　１方　阵　与Ａ相似，求行列式　＝Ｉ［丢　］＋ｌ２　一　ｌ的值．　解：　由于相似矩阵有相同的行列式，故Ｊ　Ｂ　［２］　吴天毅，王文杰，邱玉文．线性代数［Ｍ］．天津：南开大学出版　社．２ｏ０７．　［３］　钱吉林．高等代数题解精粹［Ｍ］．北京：中央名族大学出版　社．２ｏｏ２．　ｌ＿ｌ　Ａ　Ｉ＿号×丢×了１＝　，故由定理得，　’＝Ｉ　Ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ　ａｄｊｏｉｎｔ　ｍａｔｒｉｘ　ａｎｄ　ｔｈｅ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｉｎ　ｓｏｌｖｉｎｇ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　Ｚ　ⅣＧ　一　（Ｓｃｈｏｏｌ　ｏｆ　Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓ　ａｎｄ　Ｓｔａｔｉｓｔｉｃｓ，ＬｏｎｇＤｏｎｇＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｑｉｎｇｙａｎｇ　７４５０００）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：　Ａｄｊｏｉｎｔ　ｍａｔｒｉｘ　ｉｔｓｅｌｆ　ｉｎｈｅｒｉｔｓ　ｍａｎｙ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅ　ｏｒｉｇｉｎａｌ　ｍａｔｉｒｘ，Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ　ｈｅ　ａｄｊｔｏｉｎｔ　ｍａｔｒｉｘ　ａｒｅ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ，ａｎｄ　ｔｈｅ　ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ　ｐｒｏｏｆｓ　ａｒｅ　ｇｉｖｅｎ．Ｆｉｎａｌｌｙ，ＳＯｍｅ　ｒｅｌａｔｅｄ　ｐｒｏｂｌｅｍｓ　ａ１℃　ｓｏｌｖｅｄ　ｂｙ　ｕｓｉｎｇ　ｔｈｅｓｅ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：　ｍａｔｒｉｘ；ａｄｊｏｉｎｔ　ｍａｔｉｒｘ；ｍａｔｒｉｘ　ｅｉｇｅｎｖａｌｕｅ