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浙江2018-2020解析几何解析

2021-11-20 来源:乌哈旅游
【2019.浙江】【15】

已知点𝐅(𝟏,𝟎)为抛物线𝐲𝟐=𝟐𝐩𝐱(𝐩>𝟎)的焦点,过点F的直线交抛物线于A、B两 点,点C在抛物线上,使得△𝐀𝐁𝐂的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q 在点F右侧.记△𝐀𝐅𝐆,△𝐂𝐐𝐆的面积为𝐒𝟏,𝐒𝟐.

(1)求p的值及抛物线的标准方程;F(,𝟎) =1 P=2 𝒚𝟐=4x

𝟐

𝟐

𝐏

𝐏

(2)求𝟏的最小值及此时点G的坐标.

𝑺𝟐

𝑺

设A(4𝒕𝟐4𝒕𝟏);B(4𝒕𝟐4𝒕𝟐);C(4𝒕𝟐𝒍𝑨𝑪:X=(𝒕𝟏+𝒕𝟑)y-4(𝒕𝟏𝒕𝟑)∴𝑿𝑸=-4𝒕𝟏𝒕𝟑 𝟏,𝟐,𝟑,4𝒕𝟑)

𝟐𝟐∵G为重心,∴G((𝒕𝟐𝟏+𝒕𝟐+𝒕𝟑),(𝒕𝟏+𝒕𝟐+𝒕𝟑))

𝟑

𝟑

𝟒

𝟒

∵G在x轴上,易得𝒕𝟏+𝒕𝟐+𝒕𝟑=0,

∵𝒍𝑨𝑩过焦点,∴𝒕𝟏𝒕𝟐=- 𝒕𝟐=-𝟒

𝟏

𝟏

𝟒𝒕𝟏

𝒕𝟑=-𝒕𝟏+

𝟏𝟒𝒕𝟏

∵Q在G右侧,所以Q-G>0 𝑿𝑸=-4𝒕𝟏(-𝒕𝟏+∴𝑿𝑸-𝑿𝑮=

𝟏∵𝒕𝟐>𝟏𝟐

𝟏𝟒𝒕𝟏

𝟐

)=4𝒕𝟐𝟏-1 𝑿𝑮= 𝒕𝟏+

𝟑𝟖

𝟏𝟔𝒕𝟏𝟑

𝟐- 𝟐

𝟐

(𝟐𝒕𝟐𝟏−𝟏)(𝟒𝒕𝟏+𝟏)

𝟔𝒕𝟐𝟏

∴︱GQ︱=

𝟐

(𝟐𝒕𝟐𝟏−𝟏)(𝟒𝒕𝟏+𝟏)

𝟔𝒕𝟐𝟏

𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐︱𝟏𝟔𝒕𝟒𝟖𝟐𝟏𝟓𝟏−𝟏𝟎𝒕𝟏+𝟏︱︱(𝟐𝒕𝟏−𝟏)(𝟖𝒕𝟏−𝟏)︱(𝟐𝒕𝟏−𝟏)(𝟖𝒕𝟏−𝟏)

︱FG︱=︱𝒕𝟏+𝟐-︱=== 𝟐𝟐𝟑𝟔𝒕𝟏𝟑𝟔𝒕𝟐𝟔𝒕𝟔𝒕𝟏𝟏𝟏

∴=

𝐒𝟐

𝐒𝟏

𝟏

︱𝐅𝐆︱︱𝒚𝑨︱𝟐𝟏

︱𝐐𝐆︱︱𝒚𝑪︱𝟐

=

(𝟐𝒕𝟐−𝟏)(𝟖𝒕𝟐𝟏𝟏−𝟏)︱𝒕𝟏︱

𝟔𝒕𝟐𝟏(𝟐𝒕𝟐−𝟏)(𝟒𝒕𝟐𝟏𝟏𝟏+𝟏)︱−𝒕𝟏+𝟒𝒕︱

𝟔𝒕𝟐𝟏𝟏

=

𝟐𝟐𝟐︱−𝟒𝒕𝟐𝟏+𝟏︱(𝟒𝒕𝟏+𝟏)(𝟒𝒕𝟏−𝟏)(𝟒𝒕𝟏+𝟏)

𝟐

︱𝟒𝒕𝟐𝟏︱(𝟖𝒕𝟏−𝟏)

=

𝟐

𝟒𝒕𝟐𝟏(𝟖𝒕𝟏−𝟏)

𝒎(𝟐𝒎−𝟏)𝟐𝒎𝟐−𝒎𝒎−𝟐𝟐𝐒𝟏

m=𝟒𝒕𝟏 ==𝟐=2-𝟐;

𝐒(𝒎−𝟏)(𝒎+𝟏)𝒎−𝟏𝒎−𝟏

𝟐

令m-2=n>1 𝟏=2-𝐒𝟐

𝟑

𝐒𝒏

𝟐

(𝐧+𝟐)−𝟏

√𝟑+𝟐𝟒

=2-

𝒏

𝒏𝟐+𝟒𝒏+𝟑

=2-

𝟏

𝒏+𝟒+𝒏

𝟖𝟑

𝟑≥2-𝟏𝟒+𝟐√𝟑𝟐

=√𝟑+𝟐𝟐

当𝒏=时,即n=√𝟑,𝒕𝟐𝟏=

𝒏

时取等,此时𝑿𝑮= 𝒕𝟐𝟏+

𝟏

𝟔𝒕𝟏𝟑

𝟐-=2,故G(2,0)

-------------------------------------------------------------------------- 【2020.7浙江】【15】 如图,已知椭圆𝑪𝟏:

𝒙𝟐𝟐

+𝒚𝟐=𝟏,抛物线𝑪𝟐:𝒚𝟐=𝟐𝒑𝒙(𝒑>𝟎),点𝑨是椭圆𝑪𝟏与抛物线

𝑪𝟐的交点,过点𝑨的直线𝒍交椭圆𝑪𝟏于点𝑩,交抛物线𝑪𝟐于𝑴(𝑩,𝑴不同于𝑨). (1)若𝒑=F(,0)F(

𝟐𝑷

𝟏𝟏𝟔𝟏𝟑𝟐

,求抛物线𝑪𝟐的焦点坐标; ,𝟎)

(2)若存在不过原点的直线𝒍使𝑴为线段𝑨𝑩的中点;求𝒑的最大值.

𝟐

A(2p𝒕𝟐𝟏,2p𝒕𝟏)M(2p𝒕𝟐,2p𝒕𝟐)∵M为AB中点 𝟐∴B(4p𝒕𝟐𝟐-2p𝒕𝟏,4p𝒕𝟐-2p𝒕𝟏)

∵A、B均在椭圆上,𝑪𝟏:𝒙+𝟐𝒚=(𝟒𝐩𝒕𝟐𝟐(𝟐𝐩)

𝟐

𝟐𝟐

𝟏𝟒𝟐

𝟐∴𝒕𝟏+𝟐𝒕𝟏=𝟐①

𝟐𝒑

𝟐

𝟐𝟐𝟐𝐩𝒕𝟏)

+2(𝟒𝐩𝒕𝟐−𝟐𝐩𝒕𝟏)=1 +2(𝟐𝒑)(𝟐𝒕𝟐−𝒕𝟏)=1

𝟐

𝟏𝟐𝒑𝟐

𝟐

𝟐

(𝟐𝒕𝟐𝟐−

𝟐𝟐

𝒕𝟏)

(𝟐𝒕𝟐𝟐

𝟐𝟐

𝒕𝟏)

+2(𝟐𝒕𝟐−𝒕𝟏)=

𝟐𝟐𝟐

①-②4𝒕𝟒+8𝒕-4𝒕【不为0】 𝟐𝟐𝟏𝒕𝟐-8𝒕𝟏𝒕𝟐提出4𝒕𝟐(𝒕𝟐−𝒕𝟏)𝟐∴𝒕𝟐(𝒕𝟐+𝒕𝟏)+2=0 𝒕𝟐≥8当𝒕𝟏𝟏=8时,𝒕𝟐=-√𝟐

代入①得

√𝟏𝟎

p≤当𝟒𝟎

A(

𝟐√𝟏𝟎√𝟓𝟓

,

√𝟓√𝟏𝟎√𝟏𝟎

);M(,-);B(-,𝟓𝟏𝟎𝟏𝟎𝟓

𝟐√𝟓𝟓

)时取等

---------------------------------------------------------------------------------------

【2018.浙江】【15】如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.

yAPOMxB

(1)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;

𝟐p=2 设A(4𝐭𝟐𝟏,4𝐭𝟏) B(4𝐭𝟐,4𝐭𝟐)P(𝐱𝟎,𝐲𝟎)

AP中点𝐍𝟏(

𝟒𝐭𝟐𝟏+𝐱𝟎

𝟐

𝟒𝐭𝟐𝟏+𝐲𝟎

𝟐

);BP中点𝐍𝟐(

𝟐

𝟐

𝟒𝐭𝟐𝟐+𝐱𝟎

𝟐

𝟒𝐭𝟐𝟐+𝐲𝟎

𝟐

)=2(𝟒𝐭𝟐𝟐+𝐱𝟎)

𝟐

∵𝐍𝟏、𝐍𝟐均在C上 ∴(

𝟒𝐭𝟐𝟏+𝐲𝟎

)=2(𝟒𝐭𝟐𝟏+𝐱𝟎)(

𝟏𝟒

𝟒𝐭𝟐𝟐+𝐲𝟎

𝟐

𝟐𝐭𝟏 ,𝐭𝟐是关于t的方程:4𝐭𝟐-2𝐲𝟎t+2𝐱𝟎-𝐲𝟎的两个实数根

𝒕𝟏𝒕𝟐=

𝒙𝟎𝟐

𝒚𝟐𝟎𝟏𝟔

;𝒕𝟏+𝒕𝟐=𝟎 𝟐

𝒚

𝒚𝑴=2(𝒕𝟏+𝒕𝟐)=𝒚𝟎∴PM垂直于y轴

(2)P是半椭圆x+=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围.

𝟒

2

𝐲𝟐

因为P在半椭圆x

𝟏𝟐

2

𝟐

𝟐𝒚𝟎

+=1(x<0)上,∴𝒙𝟎+=1 𝟒𝟒

𝐲𝟐

∴S△PAB=︱𝐏𝐌︱·︱𝒚𝑨−𝒚𝑩︱

𝟐

=(2𝒕𝟐𝟏+𝟐𝒕𝟐-𝒙𝟎)︱𝟒𝒕𝟏−𝟒𝒕𝟐︱ 𝟐

𝟐

=2(2𝒕𝟐+𝟐𝒕𝟏𝟐-𝒙𝟎)︱𝒕𝟏−𝒕𝟐︱

𝟏

∵𝒕𝟏𝒕𝟐=−

𝟐

𝒙𝟎

𝒚𝟐𝟎𝟏𝟔

;𝒕𝟏+𝒕𝟐=𝟎 𝟐

𝟑𝟖

𝟏𝟐

𝒚

𝟐𝟐𝟐∴𝒕𝟐𝟏+𝒕𝟐=-𝒙𝟎+𝒚𝟎 ︱𝒕𝟏−𝒕𝟐︱=√−𝟐𝒙𝟎+𝒚𝟎

𝟑𝟒

𝟏𝟐

𝟏𝟐

𝟑

𝟐𝟐𝟐

∴S△PAB=2(-𝟐𝒙𝟎+𝒚𝟐𝟎-𝒙𝟎)√−𝟐𝒙𝟎+𝒚𝟎=3(−𝟐𝐱𝟎+𝐲𝟎)

𝟐

𝟐𝒚𝟎

由𝒙𝟎+=1,𝒙𝟎∈[-1,0] 可得−𝟐𝐱𝟎

𝟒

𝟐

+𝐲𝟎∈[2,] 进而得S∈[6√𝟐,𝟐

𝟐

𝟏𝟓𝟏𝟓√𝟏𝟎𝟒

]

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