已知点𝐅(𝟏,𝟎)为抛物线𝐲𝟐=𝟐𝐩𝐱(𝐩>𝟎)的焦点,过点F的直线交抛物线于A、B两 点,点C在抛物线上,使得△𝐀𝐁𝐂的重心G在x轴上,直线AC交x轴于点Q,且Q 在点F右侧.记△𝐀𝐅𝐆,△𝐂𝐐𝐆的面积为𝐒𝟏,𝐒𝟐.
(1)求p的值及抛物线的标准方程;F(,𝟎) =1 P=2 𝒚𝟐=4x
𝟐
𝟐
𝐏
𝐏
(2)求𝟏的最小值及此时点G的坐标.
𝑺𝟐
𝑺
设A(4𝒕𝟐4𝒕𝟏);B(4𝒕𝟐4𝒕𝟐);C(4𝒕𝟐𝒍𝑨𝑪:X=(𝒕𝟏+𝒕𝟑)y-4(𝒕𝟏𝒕𝟑)∴𝑿𝑸=-4𝒕𝟏𝒕𝟑 𝟏,𝟐,𝟑,4𝒕𝟑)
𝟐𝟐∵G为重心,∴G((𝒕𝟐𝟏+𝒕𝟐+𝒕𝟑),(𝒕𝟏+𝒕𝟐+𝒕𝟑))
𝟑
𝟑
𝟒
𝟒
∵G在x轴上,易得𝒕𝟏+𝒕𝟐+𝒕𝟑=0,
∵𝒍𝑨𝑩过焦点,∴𝒕𝟏𝒕𝟐=- 𝒕𝟐=-𝟒
𝟏
𝟏
𝟒𝒕𝟏
𝒕𝟑=-𝒕𝟏+
𝟏𝟒𝒕𝟏
∵Q在G右侧,所以Q-G>0 𝑿𝑸=-4𝒕𝟏(-𝒕𝟏+∴𝑿𝑸-𝑿𝑮=
𝟏∵𝒕𝟐>𝟏𝟐
𝟏𝟒𝒕𝟏
𝟐
)=4𝒕𝟐𝟏-1 𝑿𝑮= 𝒕𝟏+
𝟑𝟖
𝟏𝟔𝒕𝟏𝟑
𝟐- 𝟐
𝟐
(𝟐𝒕𝟐𝟏−𝟏)(𝟒𝒕𝟏+𝟏)
𝟔𝒕𝟐𝟏
∴︱GQ︱=
𝟐
(𝟐𝒕𝟐𝟏−𝟏)(𝟒𝒕𝟏+𝟏)
𝟔𝒕𝟐𝟏
𝟐𝟐𝟐𝟐𝟐︱𝟏𝟔𝒕𝟒𝟖𝟐𝟏𝟓𝟏−𝟏𝟎𝒕𝟏+𝟏︱︱(𝟐𝒕𝟏−𝟏)(𝟖𝒕𝟏−𝟏)︱(𝟐𝒕𝟏−𝟏)(𝟖𝒕𝟏−𝟏)
︱FG︱=︱𝒕𝟏+𝟐-︱=== 𝟐𝟐𝟑𝟔𝒕𝟏𝟑𝟔𝒕𝟐𝟔𝒕𝟔𝒕𝟏𝟏𝟏
∴=
𝐒𝟐
𝐒𝟏
𝟏
︱𝐅𝐆︱︱𝒚𝑨︱𝟐𝟏
︱𝐐𝐆︱︱𝒚𝑪︱𝟐
=
(𝟐𝒕𝟐−𝟏)(𝟖𝒕𝟐𝟏𝟏−𝟏)︱𝒕𝟏︱
𝟔𝒕𝟐𝟏(𝟐𝒕𝟐−𝟏)(𝟒𝒕𝟐𝟏𝟏𝟏+𝟏)︱−𝒕𝟏+𝟒𝒕︱
𝟔𝒕𝟐𝟏𝟏
=
𝟐𝟐𝟐︱−𝟒𝒕𝟐𝟏+𝟏︱(𝟒𝒕𝟏+𝟏)(𝟒𝒕𝟏−𝟏)(𝟒𝒕𝟏+𝟏)
𝟐
︱𝟒𝒕𝟐𝟏︱(𝟖𝒕𝟏−𝟏)
=
𝟐
𝟒𝒕𝟐𝟏(𝟖𝒕𝟏−𝟏)
令
𝒎(𝟐𝒎−𝟏)𝟐𝒎𝟐−𝒎𝒎−𝟐𝟐𝐒𝟏
m=𝟒𝒕𝟏 ==𝟐=2-𝟐;
𝐒(𝒎−𝟏)(𝒎+𝟏)𝒎−𝟏𝒎−𝟏
𝟐
令m-2=n>1 𝟏=2-𝐒𝟐
𝟑
𝐒𝒏
𝟐
(𝐧+𝟐)−𝟏
√𝟑+𝟐𝟒
=2-
𝒏
𝒏𝟐+𝟒𝒏+𝟑
=2-
𝟏
𝒏+𝟒+𝒏
𝟖𝟑
𝟑≥2-𝟏𝟒+𝟐√𝟑𝟐
=√𝟑+𝟐𝟐
当𝒏=时,即n=√𝟑,𝒕𝟐𝟏=
𝒏
时取等,此时𝑿𝑮= 𝒕𝟐𝟏+
𝟏
𝟔𝒕𝟏𝟑
𝟐-=2,故G(2,0)
-------------------------------------------------------------------------- 【2020.7浙江】【15】 如图,已知椭圆𝑪𝟏:
𝒙𝟐𝟐
+𝒚𝟐=𝟏,抛物线𝑪𝟐:𝒚𝟐=𝟐𝒑𝒙(𝒑>𝟎),点𝑨是椭圆𝑪𝟏与抛物线
𝑪𝟐的交点,过点𝑨的直线𝒍交椭圆𝑪𝟏于点𝑩,交抛物线𝑪𝟐于𝑴(𝑩,𝑴不同于𝑨). (1)若𝒑=F(,0)F(
𝟐𝑷
𝟏𝟏𝟔𝟏𝟑𝟐
,求抛物线𝑪𝟐的焦点坐标; ,𝟎)
(2)若存在不过原点的直线𝒍使𝑴为线段𝑨𝑩的中点;求𝒑的最大值.
𝟐
A(2p𝒕𝟐𝟏,2p𝒕𝟏)M(2p𝒕𝟐,2p𝒕𝟐)∵M为AB中点 𝟐∴B(4p𝒕𝟐𝟐-2p𝒕𝟏,4p𝒕𝟐-2p𝒕𝟏)
∵A、B均在椭圆上,𝑪𝟏:𝒙+𝟐𝒚=(𝟒𝐩𝒕𝟐𝟐(𝟐𝐩)
𝟐
𝟐𝟐
𝟏𝟒𝟐
𝟐∴𝒕𝟏+𝟐𝒕𝟏=𝟐①
𝟐𝒑
𝟐
−
𝟐𝟐𝟐𝐩𝒕𝟏)
+2(𝟒𝐩𝒕𝟐−𝟐𝐩𝒕𝟏)=1 +2(𝟐𝒑)(𝟐𝒕𝟐−𝒕𝟏)=1
𝟐
𝟏𝟐𝒑𝟐
𝟐
𝟐
(𝟐𝒕𝟐𝟐−
−
𝟐𝟐
𝒕𝟏)
(𝟐𝒕𝟐𝟐
𝟐𝟐
𝒕𝟏)
+2(𝟐𝒕𝟐−𝒕𝟏)=
②
𝟐𝟐𝟐
①-②4𝒕𝟒+8𝒕-4𝒕【不为0】 𝟐𝟐𝟏𝒕𝟐-8𝒕𝟏𝒕𝟐提出4𝒕𝟐(𝒕𝟐−𝒕𝟏)𝟐∴𝒕𝟐(𝒕𝟐+𝒕𝟏)+2=0 𝒕𝟐≥8当𝒕𝟏𝟏=8时,𝒕𝟐=-√𝟐
代入①得
√𝟏𝟎
p≤当𝟒𝟎
A(
𝟐√𝟏𝟎√𝟓𝟓
,
√𝟓√𝟏𝟎√𝟏𝟎
);M(,-);B(-,𝟓𝟏𝟎𝟏𝟎𝟓
−
𝟐√𝟓𝟓
)时取等
---------------------------------------------------------------------------------------
【2018.浙江】【15】如图,已知点P是y轴左侧(不含y轴)一点,抛物线C:y2=4x上存在不同的两点A,B满足PA,PB的中点均在C上.
yAPOMxB
(1)设AB中点为M,证明:PM垂直于y轴;
𝟐p=2 设A(4𝐭𝟐𝟏,4𝐭𝟏) B(4𝐭𝟐,4𝐭𝟐)P(𝐱𝟎,𝐲𝟎)
AP中点𝐍𝟏(
𝟒𝐭𝟐𝟏+𝐱𝟎
𝟐
,
𝟒𝐭𝟐𝟏+𝐲𝟎
𝟐
);BP中点𝐍𝟐(
𝟐
𝟐
𝟒𝐭𝟐𝟐+𝐱𝟎
𝟐
,
𝟒𝐭𝟐𝟐+𝐲𝟎
𝟐
)
)=2(𝟒𝐭𝟐𝟐+𝐱𝟎)
𝟐
∵𝐍𝟏、𝐍𝟐均在C上 ∴(
𝟒𝐭𝟐𝟏+𝐲𝟎
)=2(𝟒𝐭𝟐𝟏+𝐱𝟎)(
𝟏𝟒
𝟒𝐭𝟐𝟐+𝐲𝟎
𝟐
𝟐𝐭𝟏 ,𝐭𝟐是关于t的方程:4𝐭𝟐-2𝐲𝟎t+2𝐱𝟎-𝐲𝟎的两个实数根
𝒕𝟏𝒕𝟐=
𝒙𝟎𝟐
−
𝒚𝟐𝟎𝟏𝟔
;𝒕𝟏+𝒕𝟐=𝟎 𝟐
𝒚
𝒚𝑴=2(𝒕𝟏+𝒕𝟐)=𝒚𝟎∴PM垂直于y轴
(2)P是半椭圆x+=1(x<0)上的动点,求△PAB面积的取值范围.
𝟒
2
𝐲𝟐
因为P在半椭圆x
𝟏𝟐
2
𝟐
𝟐𝒚𝟎
+=1(x<0)上,∴𝒙𝟎+=1 𝟒𝟒
𝐲𝟐
∴S△PAB=︱𝐏𝐌︱·︱𝒚𝑨−𝒚𝑩︱
𝟐
=(2𝒕𝟐𝟏+𝟐𝒕𝟐-𝒙𝟎)︱𝟒𝒕𝟏−𝟒𝒕𝟐︱ 𝟐
𝟐
=2(2𝒕𝟐+𝟐𝒕𝟏𝟐-𝒙𝟎)︱𝒕𝟏−𝒕𝟐︱
𝟏
∵𝒕𝟏𝒕𝟐=−
𝟐
𝒙𝟎
𝒚𝟐𝟎𝟏𝟔
;𝒕𝟏+𝒕𝟐=𝟎 𝟐
𝟑𝟖
𝟏𝟐
𝒚
𝟐𝟐𝟐∴𝒕𝟐𝟏+𝒕𝟐=-𝒙𝟎+𝒚𝟎 ︱𝒕𝟏−𝒕𝟐︱=√−𝟐𝒙𝟎+𝒚𝟎
𝟑𝟒
𝟏𝟐
𝟏𝟐
𝟑
𝟐𝟐𝟐
∴S△PAB=2(-𝟐𝒙𝟎+𝒚𝟐𝟎-𝒙𝟎)√−𝟐𝒙𝟎+𝒚𝟎=3(−𝟐𝐱𝟎+𝐲𝟎)
𝟐
𝟐𝒚𝟎
由𝒙𝟎+=1,𝒙𝟎∈[-1,0] 可得−𝟐𝐱𝟎
𝟒
𝟐
+𝐲𝟎∈[2,] 进而得S∈[6√𝟐,𝟐
𝟐
𝟏𝟓𝟏𝟓√𝟏𝟎𝟒
]
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