调和比在指导初等几何教学中的应用

第３３卷第４期　宜春学院学报　Ｖ０Ｌ　３３．Ｎｏ．４　２０１１年４月　Ｊｏｕｍａｔ　ｏｆ　Ｙｉｃｈｕｎ　Ｃｏｌｌｅｇｅ　Ａｐｒ．２０１１　调和比在指导初等几何教学中的应用　周明旺　，李立斌　（１．连云港师范高等专科学校数学系，江苏连云港２２２００６；　２．扬州大学数学科学学院，江苏扬州２２５００２）　摘要：采取例证分析、探讨交比尤其是调和比在初等几何中的应用，彰显了高等几何在论证方法、思考问　题等方面具有的独特性、巧妙性和灵活性特点。旨在群论观点下进一步认识初等几何的内涵与外延，深刻理解高　等几何对初等几何教学与研究的指导作用。　关键词：调和比；初等几何；指导作用　中图分类号：０１８５．１文献标志码：Ａ文章编号：１６７１—３８０Ｘ（２０１１）０４—０００３—０４　Ｔｈｅ　Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　Ｈａｒｍｏｎｉｃ　Ｒａｔｅ　ｉｎ　Ｔｅａｃｈｉｎｇ　Ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ　Ｇｅｏｍｅｔｒｙ　ＺＨＯＵ　Ｍｉｎｇ—ｗａｎｇ　，ＬＩ　Ｌｉ—ｂｉｎ　（１．Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆＭａｔｈｅｍａｔｉｃｓ，Ｌｉａｎｙｕｎｇａｎｇ　Ｔｅａｃｈｅｒｓ　Ｃｏｌｌｅｇｅ，Ｌｉａｎｙｕｎｇａｎｇ，２２２００６　Ｃｈｉｎａ；　２．Ｓｃｈ　ｏｆＭａｔｈ　Ｓｃｉ，Ｙａｎｇｚｈｏｕ　Ｕｎｉｖ，Ｙａｎｇｚｈｏｕ，２２５００２　Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅ　ｐａｐｅｒ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｓ　ｔｈｅ　ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ　ｏｆ　ｃｒｏｓｓ　ｒａｔｅ（ｅｓｐｉｃａｌｌｙ　ｈａｒｍｏｎｉｃ　ｒａｔｅ）ｉｎ　ｔｅａｃｈｉｎｇ　ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ　ｇｅｏｍｅｔｒｙ．Ｉｔ　ｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｓ　ｔｈｅ　ｕｎｉｑｕｅｎｅｓｓ，ｓｕｂｔｌｅｔｙ　ａｎｄ　ｆｌｅｘｉｂｉｌｉｔｙ　ｏｆ　ｈｉｇｈｅｒ　ｇｅｏｍｅｔｒｙ　ｉｎ　ｔｈｅ　ｍｅｔｈｏｄ　ｏｆ　ｐｒｏｖｉｎｇ　ａｎｄ　ｗａｙ　ｏｆ　ｔｈｉｎｋｉｎｇ．Ｕｎｄｅｒ　ｔｈｅ　ｔｈｅｏｒｙ　ｏｆ　ｇｒｏｕｐｓ，　ｔｈｅ　ｐａｐｅｒ　ｔｉｒｅｓ　ｔｏ　ｄｉｓｃｕｓｓ　ｔｈｅ　ｃｏｎｎｏｔａｔｉｏｎ　ａｎｄ　ｅｘｔｅｒｉｏｒ　ｅｘｔｅｎｔ　ｏｆ　ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ　ｇｅｏｍｅｔｒｙ，ＳＯ　ｔｈａｔ　ｗｅ　ｃａｎ　ｈａｖｅ　８　ｂｅｔｔｅｒ　ｕｎｄｅｒｓｔａｎｄｉｎｇ　ｏｆ　ｈｉｇｈ・　ｅｒ　ｇｅｏｍｅｔｒｙ’Ｓ　ｄｉｒｅｃｔ　ｅｆｆｅｃｔ　ｕｐｏｎ　ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ　ｇｅｏｍｅｔｙｒ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：Ｈａｒｍｏｎｉｃ　ｒａｔｅ；Ｅｌｅｍｅｎｔａｒｙ　ｇｅｏｍｅｔｒｙ；Ｇｕｉｄｉｎｇ　ｒｏｌｅ　高等几何是师范院校数学教育专业的重要基础课之一，　定理１［２１设线束ｓ（ｐ）的四条直线Ｐ　被不过点Ｓ的直　对于几何理论体系的完善、思想观念的更新、思维方法的　线ｓ截于四点Ｐ　（ｉ＝１，２，３，４），则（ＰｌＰ２，Ｐ３Ｐ４）＝（ＰＩＰ２，　训练、探求知识能力的培养等方面起着重要作用。但是就　Ｐ３　Ｐ４）。　其与学生熟悉的初等几何、解析几何相比而言，一方面内　证明：用Ｐ　分别表示线段．ｓ　（ｉ＝１，２，３，４）的长度，ｈ　容抽象、推证繁琐，学生不易接受；另一方面，学生大多　表示从点Ｓ向直线ｓ所作的垂线ＳＨ的长度，△Ｐ。Ｐ　Ｓ的面积　认为将来中学教学中用不上，学习劲头不大。事实上，只　有通过几何群论观点的熏陶，才能够在更高层面上认识几　可表示为　何空间的基本特征、研究方法　其内在联系，确认几何学　２Ｓ　Ｐ１ｓ＝Ｐｌ　Ｐ２・ｈ＝Ｐｌ　Ｐ２ｓｉｎ（ｐｌＰ２）　的本质，进而居高临下地认识初等几何的内涵与外延，更　因此利用这个公式可得：　深入地掌握并指导初等几何的教学与研究。　下面将通过实例就交比尤其是调和比在指导初等几何　（Ｐ１　，Ｐ３Ｐ．）＝簪　＝　教学中的应用加以分析、阐述。　Ｐｌ　Ｐ３ｓｉｎ（ｐｌＰ３）・Ｐ２　Ｐ４ｓｉｎ（ｐ２Ｐ４）　１预备知识　Ｐ２　Ｐ３ｓｉｎ（ｐ２Ｐ３）・Ｐｌ　Ｐ４ｓｉｎ（ｐｌＰ４）　定义１…设欧氏平面上共线四点Ｐ　（ｉ＝ｌ，２，３，４），　ｓｉｎ（ｐｌＰ３）・ｓｉｎ（ｐ２Ｐ４）　称　为四点依此次序的交比。记为（尸。Ｐ２，Ｐ３Ｐ４）　ｓｉｎ（ｐ２Ｐ３）・ｓｉｎ（ｐｌＰ４）　＝（ＰｌＰ２，Ｐ３Ｐ４）。　＝　－＿　，式中的右边均为有向线段。　定义３　若（Ｐ　Ｐ２，Ｐ３Ｐ４）＝一１，则称点偶Ｐ３，　调　和分离点偶Ｐ。，Ｐ　，或称尸４为Ｐ。，Ｐ２，Ｐ，的第四调和点，交　定义２　设欧氏平面上共点四线Ｐ　（ｉ＝１，２，３，４），　比一１为调和比。　称　为四线依此次序的交比。记为（ｐ　ｐ　，　ｓｉｎＬＰ２Ｐ３　ｓｉｎＬｐ１ｐ４　……　对偶地，　Ｐ３Ｐ４）　＝　—ｓｉｎ（　ｐｚ—Ｐ３）ｓ堕坐　定义４若（Ｐ，Ｐ　，Ｐ３Ｐ　）＝一１，则称线偶Ｐ　，Ｐ　调和分　ｉ—ｎ（ｐ￣—ｐ４）’具甲（Ｐ￣，其中（　Ｐ．ｉ）表示自Ｐｉ）表不目Ｐ到　的　到　的离线偶Ｐ。，Ｐ　，或称Ｐ　为Ｐ。，Ｐ　，Ｐ３的第四调和直线，交比　角。　一１为调和比。　收稿日期：２０１１—０１—２６　基金项目：国家自然科学基金（１０７７１１８２）资助项目。　作者简介：周明旺（１９６９一），男，江苏赣榆人，副教授，硕士，主要从事量子群研究与几何类课程的教育教学。　・３・　第４期　宜春学院学报　合定理３与定理２即得。　例２求作过圆外一点Ｐ的圆０的切线。　第３３卷　定理２一线段中点就该线段两端点所定的第四调和点　为无穷远点；反之，成调和共轭的四点，如果有一点为无　穷远点，则该点就其余两点所定的第四调和点是其余两点　为端点的线段的中点。　证明：设线段Ｐ。Ｐ２及其中点Ｐ，　若（Ｐ　，ＰＰｄ）＝一１，　即　ＰＩＰ・作法：（如图２）　（１）过点Ｐ任作两直线与圆０分别交于Ａ．Ｂ，Ｃ，Ｄ；　Ｒ　学．－１，　而Ｐ。Ｐ＝一Ｐ２Ｐ，则Ｐ２Ｐ４＝Ｐ，Ｐ４。所以Ｐ４为无穷远　点。　反之，　若（ＰｌＰ２，ＰＰ　）＝一１，　即　ＰｔＰ・簪－－１，而　－Ｐｌ　则ＰｌＰ：一Ｐ２Ｐ。　故Ｐ为线段Ｐ。Ｐ２的中点。　引理１　完全四点形的一对对边被过此二边交点的对边　三点形的两边调和分离。　证明：参见［３］１＇５５，略。　定理３在完全四点形的对边三点形的每条边上有一个　调和点组，其中一对为对边点，另一对为该边与过第三个　对边点的一组对边的交点。　证明：由引理１结合定理１易证。　定理４在完全四点形的每条边上有一个调和点组，其　中一对为对顶点，另一对中一个为对边点，一个是该边与　对边三点形的边的交点。　证明：由引理１结合定理１易证。　２应用举例　２．１直尺作图　尺规作图，一直是初等几何教学的重要内容之一，但　是在学习了高等几何之后，可以利用调和比的有关知识就　能仅以直尺完成几何作图，彰显高等几何对初等几何教学　在尺规作图方面高屋建瓴的指导意义。　例１已知线段ＡＢ及其中点Ｃ，求作过已知直线外一　点Ｐ且平行于该线段的直线。　作法：（如图１）　Ｓ　Ａ　Ｃ　Ｂ　图１　（１）连接ＡＰ，在其上任取一点Ｓ；　（２）分别连接．ｓＢ，ＳＣ；　（３）连接ＰＢ交ＳＣ于点０；　（４）连接ＡＯ交船于点Ｑ；　（５）连接ＰＱ。则ＰＱ所在直线即为所求作直线。　证明：考察完全四点形ｓＰＯＱ对边三点形边Ａ曰上，结　・４・　／／　Ｃ　ｔ　、　＼、　　．图２　（２）连接ＢＣ，ＤＡ交于点Ｒ；连接ＢＤ，ＡＣ交于点Ｑ；　（３）连接ＱＲ交圆０于点　，Ｎ；　（４）连接ＰＭ，ＰＮ。　则ＰＭ，ＰＮ即为所求作过点Ｐ的圆０的切线。　证明：考察圆的内接完全四点形ＡＢＣＤ结合极点、极　线的知识易证。　２．２几何命题的证明　高等几何的学习不仅是几何体系完整性的要求，而且　对于在群观点下几何观念的树立具有独特作用，尤其是高　等几何所提供的丰富的数学思想对指导初等几何教学研究　意义深远。以下例证交比特别是调和比在论证初等几何命　题所体现出来的独特性、巧妙性和灵活性。　２．２．１证明线段中点　例１　（如图３）设　，　为圆０的两条切线，ＰＲ为　圆０的直径，ＱＮ上　Ｐ。　求证：ＱＮ被豫平分。　证明：（如同３）　Ｔ　∥　Ｐ　图３　设Ｘ＝ＴＲ×ＱＮ，只需证明Ｘ为ＱⅣ的中点。由初等几　何知识，易知ＱＲ，ＱＰ为ＱＮ与Ｑ　所成角的内外平分线。　因此，　设Ｓ＝　×ＰＲ，　则Ｑ（ＳＮ，ＲＰ）＝一１。　所以（ＳＮ，ＲＰ）＝一１，Ｔ（ＳＮ，　）＝一１　ｏ　以直线ＱＮ截Ｔ（Ｓ，Ｎ，Ｒ，Ｐ），　设ＱＮ×ＴＰ＝Ｐ　。　则（ＱＮ，　）＝Ｔ（ＳＮ，Ｒｅ）＝一１　ｏ　所以　为ＱＮ的中点。　例２　（蝴蝶定理）（如图４）　第４期　周明旺，李立斌：调和比在指导初等几何教学中的应用　第３３卷　设０是△Ａ曰Ｃ的边ＢＣ上高ＡＤ上一点，Ｅ＝ＢＯ×　ＡＣ，Ｆ＝ＣＯ×ＡＢ，　则ＡＤ是／＿ＥＤＦ的平分线。　证明：（如图５）设Ｐ＝ＥＦ×ＢＣ，Ｕ＝ＡＤ　ｘＥＦ则依　四调和点的作法，知　（ＢＣ，ＤＰ）＝（ＦＥ，ＵＰ）＝一１　过Ａ作ＢＣ的平行线分别交ＤＦ，ＤＥ于Ｇ，Ｈ。　记ＧＩｔ上无穷远点为Ｐ　，则ＤＦ，ＤＥ，ＤＡ，ＤＰ是调和线　图４　束。　过一圆的弦ＡＢ的ｌＩｌ点０任作其他二弦ｃＥ，ＤＦ，连　因此Ｇ，Ｈ，Ａ，Ｐ　是调和点列，且Ａ是Ｇｆｔ的中点。　ＥＦ，ＣＤ交ＡＢ于Ｇ，Ｈ，则ＧＯ＝ＯＨ。　证明：（如图４）因为　，Ｆ，Ｃ，曰为圆上四定点，所以　Ｅ（ＡＦ，ＣＢ）＝Ｄ（ＡＦ，ＣＢ）。　以直线ＡＢ截这两个线束，得　（ＡＧ，ＯＢ）＝（ＡＯ，ＨＢ）　ＡＯ　ＧＢ　ＡＨ　ＯＢ　ＧＯ　ＡＢ—ＯＨ　ＡＢ’　又Ｄ为Ａ日中点，所以　ＧＢ＝　ＩＪＵ　…　即　ＧＯ＋ＯＢ——一　±Ｑ丝　ＧＯ　—　ＯＨ　’　所以　ＯＢ一　一ＧＯ—ＯＨ。　故　ＧＯ＝ＯＨ。　２．２．２证明线线垂直　例３平面内任何两直线垂直的充要条件是这两条直线　与无穷远直线的交点调和分离虚圆点（１，　，０），（１，一ｉ，０）。　证明：充分性：设Ｚ。，ｚ　是平面内任意两条直线，它们　与无穷远直线分别交于Ｐ，Ｑ两点，则有Ｄ＝（ＰＱ，ＩＪ）＝　一１。设Ｏｔ是Ｚｌ，Ｚ２的夹角，则由Ｌａｇｕｅｒｒｅ定理，得　＝寺ｌｎＤ＝寺ｌｎ（一１）＝寺ｌｎｅ－　＝寺（丌一　）＝号　即Ｚｌ上ｆ２。　必要性：若Ｚ。上ｆ。，设０＝Ｚ。×Ｚ　。则以０为心的任　意圆必通过两虚圆点，，，，且ＯＩ，ｏＪ为此圆的渐近线。由Ｚ。　上Ｚ　知Ｚ。，　是圆０的共轭直径。由于二次曲线的两条渐近　线调和分割任意一对共轭直径是真，所以Ｚ。，Ｚ　和无穷远直　线的交点Ｐ，Ｑ调和分割，，＿，两点。　２．２．３证明角平分线　例４　（如网５）　Ｇ　Ａ　Ｈ　Ｂ　Ｄ　Ｃ　Ｐ　图５　又由于ＡＤ上ＧＨ，从而ＡＧＡＤ与ＡＨＡＤ是全等三角形。　故ＡＤ是ＡＥＤＦ的平分线。　２．２．４证明线共点、点共线　例５一直线顺次交三点形Ｐ。Ｐ２Ｐ３的三边Ｐ２Ｐ３，Ｐ３Ｐ　，　Ｐ　Ｐ２于Ｑ。，Ｑ　，Ｑ，。在此三边上再顺次取点　，Ｑ；，Ｑ；，使　（　Ｐ３，Ｑ　Ｑ　）＝ｋ－，　（Ｐ３Ｐｌ，Ｑ；Ｑ２）＝　２，　（Ｐ。Ｐ２，Ｑ；　）＝ｋ３。　求证：　（１）Ｑ　，Ｑ；，Ｑ；共线铮．ｊ｝　ｋ　ｋ，＝１。　（２）Ｐ。　，Ｐ２Ｑ　，Ｐ３　共点骨　。ｋ２ｋ３＝一１。　证明：先陈述以下事实：设Ｐ　，Ｐ２，　的坐标分别为ａ　６，ｃ。因Ｑ，，Ｑ　，Ｑ。为在三点形Ｐ　尸３各边上且共线三点，　故其坐标可以写成：　Ｑｌ：ｑｂ—ｒｅ；Ｑ２：ｒｅ—ｐａ；　Ｑ３：ｐａ—ｑｂ　（ｐ，ｇ，ｒ为常数）。因为Ｐ　，　各不相同，故应有ｐｑｒ≠０　因为　（Ｐ：Ｐ，，Ｑ　Ｑ　）＝ｋ　，若设Ｑ　的坐标为　ｂ＋Ａ。ｃ，则Ｑｌ的坐标为　ｂ＋　２ｃ。　显然有　。＝　，而　Ａ，＝一　，所以　ｑ　Ａ－＝一　－寺。从而，Ｑ　的坐标可以写成　Ｑ　：ｑｂ—ｋ。ｒｅ（｜ｉ｝。≠０，否则Ｑ　Ｐ２）。　同理　Ｑ；：ｒｅ一　２ｐａ；　Ｑ；：ｐａ一也　，　而且　２≠０，　≠０，　即　ｌｋ２ｋ３≠０。　以下分别证明两命题：　（１）（如图６）Ｑ　，　，Ｑ：共线甘存在不全为零的数ｚ，　ｍ，ｎ使得　Ｚ（ｇ　６ｌ—ｋｌｒｅ　）＋ｍ（ｒｅ　—ｋ２ｐａ　）＋ｎ（ｐａ　一｜ｊ｝３ｇ６ｆ）＝０　（ｉ＝１，２，３）　即　（ｎ—ｋ２ｍ）ｐａｌ＋（Ｚ—ｋ３　）ｑｂ　十（ＨＩ，一ｋｌ　Ｚ）ｒｅ　：０　・５・　第４期　宜春学院学报　代数余子式，则上述坐标可以简写成　第３３卷　ＰＩＱ　：［口ｃ１＋Ｊ｝ｌ培ｌ，口ｃ　＋　１ｒＢ２，ｑＣ３＋　ｌｒＢ３］。　即Ｐ１ｑ　的线坐标为ｑＣｉ＋ｋｔ　，ｉ＝１，２，３。　因此有｛ｌ—ｋ３ｎ＝０，　【　一居ｚ＋ｍ：０．　—同理可得　Ｐ２　：　＋ｋ２ｐＣ‘，ｉ＝１，２，３；　Ｐ３Ｑ；：ｐＢｉ＋｜ｌ｝３　ｉ，ｉ＝１，２，３。　因此Ｐ　口　，　ｌ　，　共点甘存在ｆ，ｍ，ｎ（１ｍｎ≠０）使　Ｉ　从而Ｉ　１００　—　ｌ＝，一　ｋ３　得　ｌ＿。ｋ　　１　０　１　Ｐ　图６　田，　Ｑ　（ｑｂｌ—ｋｌｒｃｌ，ｑｂ２一ｋｌ　ｒｃ２，ｑｂ３一ｋｌｒｃ３）　所以，Ｐ。Ｑ　的坐标为　ｃ　ｌ　ｇ　：二　ｒｃ　ｇ　，二　ｌ，　Ｉｌ口６３　一Ｊ｝。　ｒｃ３口６。一　ｒｃ。　Ｉ，’　ｌ｝　ｑｂ。ｌ　一　ｌｋｌ　　ｑｂ　ｋ一　：ｌ　ｒＣ：｛　ｌ　ｂ３　Ｃ２：ｌ，　Ｉ，　ｂ２　耄ｌ　若令Ａ　，Ｂ　，Ｃ　表示　，ｂ　，ｃ　在行列式ｌａｂｃＩ中的　２（口Ｃ　＋　ｌ　ｉ）＋ｍ（　＋ｋ２ｐＣ　）　＋ｎ（ｐＢ　＋　ｇＡｉ）＝０，ｉ＝１，２，３　骨（ｋ３ｑｎ＋ｍｒ）Ａ　＋（ｋｌ　＋，　）Ｂ　＋（ｋ２ｒａｐ＋ｆｐ）ｃｉ＝０，ｉ＝１，２，３　由于　ｒＰ　尸　：［Ａ１，Ａ２，Ａ３］　｛Ｐ３Ｐ　：［Ｂ，，Ｂ２，Ｂ３］　ＬＰ１尸２：［Ｃｌ，Ｃｚ，Ｃ３］　而Ｐ２Ｐ３，Ｐ３Ｐｌ，Ｐ１Ｐ２不共点甘ｌＡＢＣｌ≠０苗（Ａ　，Ｂ　，Ｃｊ）ｉ　：１，２，３　线性无关，所以上述方程组成立　ｒ肌＋｜ｌ｝３ｑｎ＝０　铮｛ｋ１ｒｌ＋ｐｎ＝０　Ｌｑｌ＋ｋ２ｐｍ＝０　但是ｌｍｎ≠０，故上述方程组成立　｛０　ｒ　ｋ３ｑ　Ｉ　甘Ｉ　ｋｌｒ　０　Ｐ　ｌ　　Ｉｑ　ｋ２ｐ　０　ｌ　＝Ｏ￣ｐｑｒ（ｋｌｋ２ｋ３＋１）　＝Ｏ车　七１ｋ２ｋ３＝一１　证毕。　事实上，如果令Ｑ。．Ｑ：，ｑ　所在直线为无穷远直线，分　别利用结论（１）、（２）即可得出为初等几何中的如下结　论：　Ｍｅｎｅｌａｎｓ定理　在三角形Ｐ１　Ｐ２　Ｐ３的三边Ｐ２Ｐ３，Ｐ３Ｐｌ，　Ｐ。Ｐ２上依次取三点Ｑ：，Ｑ：，Ｑ　，　则Ｑ　，Ｑ；，Ｑ；共线　尸２Ｑ　Ｐ｜　Ｐ。Ｑ；　．　铮丽‘　。　。　Ｃｅｖａ定理在三角形ＰＩ　Ｐ２Ｐ３的三边Ｐ２　，Ｐ３Ｐｌ，ＰｌＰ２　上依次取三点Ｑ　，　，Ｑ；，　贝０　Ｐ。Ｑ　，Ｐ２Ｑ；，ｐ，Ｑ　共点甘　哭点甘丽。・　・。　一　。　由此可见，初等几何中的ｌＶｌｅｎｅｌ￣ｓ定理、Ｃｅｖａ定理仅　仅是本例的特殊情形。　参考文献：　［１］梅向明，刘增贤，林向岩．高等几何［Ｍ］．北京：高等教　育出版社，１９８３　［２］周建伟．高等几何［Ｍ］．苏州：苏州大学出版社，２０００　［３］周兴和．高等几何［Ｍ］．北京：科学出版社，２００３　［４］钟集．高等几何［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９８３