调和点列(一)解析

调和点列(一)

一、线段调和分割的基本概念

如果线段AB被两点C,D内分与外分成同一比例，则称线段AB被点C和D调和分割.亦称点列A,B;C,D为调和点列.

显然，当C,D调和分割AB时，也可称A、B两点调和分割CD.有时也称点C和D是线段AB的调和共轭点.

若从共点直线外任一点P作射线PA,PC,PB,PD，则可称射线束为调和线束，且PA与PB共轭，PC与PD共轭.

二、调和点列的性质

调和点列联系了众多的图形，因而它有一系列有趣的性质.

性质1 设A,C,B,D是共线四点，点M为AB中点，则C,D调和分割线段AB的充要条件是满足下述六个条件之一.

(1)点AB调和分割CD.

112(2) ACADAB.

(3) AB•CD2AD•BC2AC•DB. (4)

CA•CBCM•CD.

(5) DA•DBDM•DC.

22MAMBMC•MD. (6)

AMCBD

性质2 设A,C,B,D是共线四点，过共点直线外一点P引射线PA,PC,PB,PD，则C,D调和分割线段AB的充要条件是满足下述两个条件之一.

(1)线束PA,PC,PB,PD，其中一射线的任意平行线被其他三条射线截出相等的两线段. (2)另一直线l分别交射线PA,PC,PB,PD于点A’,C’,B’,D’时，点C’,D’调和分割线段A’B’.

PC'A'ACBB'D'lD

性质3 对线段AB的内分点C和外分点D，以及直线AB外一点P，给出如下四个论断：

①PC是∠APB的平分线.②PD是∠APB的外角平分线.③C,D调和分割线段AB.④PC⊥PD.

以上四个论断中，任选两个作题设，另两个作结论组成的六个命题均为真命题.

PACBD 性质4 三角形的一边被其边上的内(旁)切圆的切点和另一点调和分割的充要条件是，另一点与其余两边上的两个切点三点共线.

性质5 从圆O外一点A引圆的割线交圆O于C,D，若割线ACD与点A的切点弦交

于点B，则弦CD被A,B调和分割.

三、几个推论 1、性质2的推论：

推论1 梯形的两腰延长线的交点和两对角线的交点调和分割两底中点的连线.

ABDMFCNE

推论2 完全四边形的一条对角线被其他两条对角线调和分割.

ABMFDCNEG

推论3 过完全四边形对角线所在直线的交点作另一条对角线的平行线，所作直线与平行的对角线的同一端点所在的边或其延长线相交，所得线段被此对角线所在直线上的交点平分.

ABTMJIDFSC2、性质3的推论：

NE

推论4 三角形的角平分线被其内心和相应的旁心调和分割.

推论5 两外离不等圆圆心连线被两圆的外公切线交点和内公切线交点调和分割. 推论6 若C,D两点调和分割圆的直径AB，则圆周上任一点到C,D两点的距离之比是不等于1的常数.

反之，若一动点到两定点的距离之比为不等于1的常数，则该动点的轨迹是一个圆.(Apollonius圆)

推论7 从圆周上一点作两割线，它们与圆相交的非公共的两点连线，垂直于这条连线的直径所在的直线与两割线相交，则这条直径被这两割线调和分割.

推论8 一已知圆的直径被另一圆周调和分割的充要条件是，已知直径的圆周与过两分割点的圆周正交(即交点处切线相互垂直).

FO1ACBOD

推论9 设点C是△AEF的内心，角平分线AC交边EF于点B，射线AB交△AEF的外

ACDO接圆圆O2于点O，则射线AB上的点D为△AEF的旁心的充要条件是CBOB.

推论10 设△AEF的角平分线AB交EF于点B，交△AEF的外接圆于点O，则

OE2OF2OA•OB.

3、性质4的推论：

推论11 若凸四边形有内切圆，则相对边上的两切点所在直线与凸四边形一边延长线的交点和这一边上的内切圆切点调和分割这一边.

4、性质5的推论：

推论12 从圆O外一点A引圆的两条割线交圆于四点，以这四点为顶点的四边形的对角线相交于点B，设直线AB交圆O于C,D，则A,B调和分割CD弦.

AGCFBOEHD

四、调和点列的性质应用

例1 如图，过圆外一点P作圆的两条切线PA,PB，A,B为切点，再过点P作圆的一条割线分别交圆于C,D两点，过切点B作PA的平行线分别交直线AC,AD于E,F，求证：BE = BF. (2005年第5届中国西部数学奥林匹克题)

PACEBFD

例2 如图，在△ABC中，AD⊥BC，H为AD上任意一点，CH,BH分别与AB,AC交于点E,F，求证：∠EDA =∠FDA. (第18届普特南B.1)

(1987年友谊杯国际竞赛) (第14届爱尔兰奥林匹克)

(第26届加拿大奥林匹克)

AFHEBDC

例3 如图，在△PBC中，∠PBC =60°，过点P作△PBC的外接圆圆O的切线，与CB的延长线交于点A.点D,E分别在线段PA和圆O上，使得∠DBE =90°，PD=PE，连接BE与PC相交于点F.已知AF,BP,CD三线共点.

(1)求证：BF是∠PBC的平分线.

(2)求tan∠PCB的值. (2006年西部数学奥林匹克题)

PDFOABCE

例4 如图，已知A为圆O外一点，过A引圆O的割线交圆O于点B,C，且点B在

线段AC内部.过点A引圆O的两条切线，切点分别为S,T.设AC与ST交于点P，证明：

APAB2•PCBC. (第21届北欧数学竞赛题)

ABSOCTP

例5 如图，已知△ABC的外心为O，P为OA延长线上一点，直线l与PB关于BA对称，直线h与PC关于AC对称，l与h交于点Q.若P在OA的延长线上运动，求Q的轨迹. (第38届奥地利奥林匹克题)

PhAlQOBC

例6 如图，过锐角△ABC的顶点A,B,C的三条高分别交对边于点D,E,F，过点D平行于EF的直线分别交AC,AB于点Q,R，EF交BC于点P.证明：△PQR的外接圆过BC的中点. (第38届IMO预选题)

AFERPQBMDC

例7 如图，设O和I分别为△ABC的外心和内心，△ABC的内切圆与边BC,CA,AB分别相切于点D,E,F，直线FD与CA相交于点P，直线DE与AB相交于点Q，点M,N分别为线段PE,QF的中点，求证：OI⊥MN. (2007年CMO试题)

QPMAFIENBDCO

例8 如图，已知AB是圆O的弦，M是AB的中点，C是圆O外任一点，过点C作圆O的切线CS,CT，连接MS,MT分别交AB于点E,F.过点E,F作AB的垂线，分别交OS,OT于点X,Y，再过点C任作圆O的割线，交圆O于点P,Q，连接MP交AB于点R，设Z是△PQR的外心，求证：X,Y,Z三点共线.

(2007年国家队选拔赛题)

MAFREBQZOXYSTPC