第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念：
1、集合的含义:某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性：
（1）元素的确定性； （2)元素的互异性； （3）元素的无序性 说明：（1)对于一个给定的集合，集合中的元素是确定的,任何一个对象或者是或者不是这个给定的集合的元素。
（2）任何一个给定的集合中，任何两个元素都是不同的对象，相同的对象归入一个集合时,仅算一个元素。 （3）集合中的元素是平等的,没有先后顺序，因此判定两个集合是否一样,仅需比较它们的元素是否一样，不需考查排列顺序是否一样.
（4）集合元素的三个特性使集合本身具有了确定性和整体性。 3、集合的表示:｛ … } 如｛我校的篮球队员｝，｛太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋｝ （1）用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员｝，B=｛1,2,3,4，5} （2）集合的表示方法：列举法与描述法。
(Ⅰ)列举法:把集合中的元素一一列举出来，然后用一个大括号括上.
（Ⅱ）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。用确定的条件表示某些对象是否属于这个集合的方法。 ①语言描述法：例：｛不是直角三角形的三角形｝
②数学式子描述法：例:不等式x—3〉2的解集是{x∈R｜ x-3>2｝或｛x｜ x—3〉2｝ (3）图示法(文氏图）： 4、常用数集及其记法：
非负整数集（即自然数集）记作：N
正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集Q 实数集 R 5、“属于”的概念
集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a是集合A的元素，就说a属于集合A 记作 a∈A ，相反，a不属于集合A 记作 aA 6、集合的分类：
1．有限集 含有有限个元素的集合2．无限集 含有无限个元素的集合3．空集 不含任何元素的集合 二、集合间的基本关系 1。“包含”关系--—子集
对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们就说两集合有包含关系，称集合A为集合B的子集，记作AB
注意： 有两种可能（1)A是B的一部分，;（2）A与B是同一集合。 反之: 集合A不包含于集合B，或集合B不包含集合A，记作A B或B A 集合A中有n个元素,则集合A子集个数为2n。 2．“相等”关系(5≥5，且5≤5，则5=5)
实例：设 A={x｜x2-1=0｝ B=｛-1,1｝ “元素相同”
结论：对于两个集合A与B，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时,集合B的任何一个元素都是集合A的元素，我们就说集合A等于集合B，即:A=B ① 任何一个集合是它本身的子集。AA
②真子集:如果AB，且AB那就说集合A是集合B的真子集,记作AB(或BA） ③如果 AB, BC ,那么 AC
④ 如果AB 同时 BA 那么A=B
3。 不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ
规定： 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算
1．交集的定义：一般地，由所有属于A且属于B的元素所组成的集合,叫做A，B的交集． 记作A∩B（读作”A交B”），即A∩B=｛x｜x∈A，且x∈B｝．
2、并集的定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，叫做A，B的并集。记作：A∪B(读作”A并B”)，即A∪B=｛x｜x∈A,或x∈B}．
3、交集与并集的性质：A∩A = A，A∩φ= φ， A∩B = B∩A,A∪A = A，A∪φ= A , A∪B = B∪A. 4、全集与补集
(1）全集:如果集合S含有我们所要研究的各个集合的全部元素，这个集合就可以看作一个全集.通常用U来表示。
（2）补集：设S是一个集合,A是S的一个子集(即AS），由S中 S 所有不属于A的元素组成的集合,叫做S中子集A的补集（或余集）. A 记作： CSA ,即 CSA =｛x | xS且 xA｝ （3）性质：⑴CU(C UA)=A ⑵(C UA)∩A=Φ ⑶（C UA)∪A=U CsA (4)(C UA)∩(C UB)=C U（A∪B） (5）(C UA)∪(C UB）=C U(A∩B） 二、函数的有关概念
1．函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个数x，在集合B中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数．记作： y=f(x），x∈A．其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A ｝叫做函数的值域． 注意：1、如果只给出解析式y=f(x），而没有指明它的定义域，则函数的定义域即是指能使这个式子有意义的实数的集合；2、函数的定义域、值域要写成集合或区间的形式． 定义域补充：
能使函数式有意义的实数x的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是:（1）分式的分母不等于零； (2）偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4）指数、对数式的底必须大于零且不等于1. （5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域是使各部分都有意义的x的值组成的集合.（6)指数为零底不可以等于零 （7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.
（注意:求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 2、构成函数的三要素:定义域、对应关系和值域
注意：(1）构成函数三个要素是定义域、对应关系和值域．由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致,即称这两个函数相等(或为同一函数）。
（2)两个函数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关。 相同函数的判断方法：①定义域一致;②表达式相同 （两点必须同时具备) 值域补充 (1）、函数的值域取决于定义域和对应法则,不论采取什么方法求函数的值域都应先考虑其定义域.
（2)、应熟悉掌握一次函数、二次函数、指数、对数函数及各三角函数的值域，它是求解复杂函数值域的基础.
3。 函数图象知识归纳
（1)定义:在平面直角坐标系中,以函数 y=f(x） , (x∈A)中的x为横坐标，函数值y为纵坐标的点P（x，y)的集合C，叫做函数 y=f（x)，(x ∈A）的图象．
C上每一点的坐标（x，y)均满足函数关系y=f(x)，反过来，以满足y=f(x）的每一组有序实数对x、y为坐标的点(x，y），均在C上 . 即记为C=｛ P（x,y) | y= f（x) ， x∈A ｝
图象C一般的是一条光滑的连续曲线(或直线），也可能是由与任意平行于Y轴的直线最多只有一个交点的若干条曲线或离散点组成。 (2） 画法：
A、描点法：根据函数解析式和定义域,求出x,y的一些对应值并列表，以（x，y）为坐标在坐标系内描出相应的点P（x， y），最后用平滑的曲线将这些点连接起来. B、图象变换法：
常用变换方法有三种，即平移变换、对称变换和伸缩变换 Ⅰ、对称变换:
(1）将y= f（x)在x轴下方的图象向上翻得到y=∣f（x）∣的图象如:书上P21例5 (2） y= f(x)和y= f（-x)的图象关于y轴对称。如 （3） y= f(x)和y= -f（x)的图象关于x轴对称。如
Ⅱ、平移变换： 由f(x)得到f（xa) 左加右减； 由f（x)得到f(x）a 上加下减
（3)作用：A、直观的看出函数的性质；B、利用数形结合的方法分析解题的思路;C、提高解题的速度;发现解题中的错误。 4．区间的概念
（1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间;(2)无穷区间；（3)区间的数轴表示． 5．映射
定义：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则f,使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应f：AB为从集合A到集合B的一个映射。记作“f：AB”
给定一个集合A到B的映射，如果a∈A，b∈B.且元素a和元素b对应，那么，我们把元素b叫做元素a的象，元素a叫做元素b的原象
说明:函数是一种特殊的映射，映射是一种特殊的对应，①集合A、B及对应法则f是确定的；②对应法则有“方向性”，即强调从集合A到集合B的对应，它与从B到A的对应关系一般是不同的；
③对于映射f：A→B来说，则应满足:（Ⅰ）集合A中的每一个元素,在集合B中都有象，并且象是唯一的；(Ⅱ）集合A中不同的元素，在集合B中对应的象可以是同一个；(Ⅲ)不要求集合B中的每一个元素在集合A中都有原象。 6、函数的表示法:
常用的函数表示法及各自的优点:
1 函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等等，注意判断一个图形是否是函数图象的依据：作垂直于x轴的直线与曲线最多有一个交点。 2 解析法：必须注明函数的定义域；
3 图象法：描点法作图要注意：确定函数的定义域；化简函数的解析式;观察函数的特征； 4 列表法：选取的自变量要有代表性,应能反映定义域的特征．
注意：解析法：便于算出函数值。列表法：便于查出函数值。图象法：便于量出函数值 补充一:分段函数
在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。在不同的范围里求函数值时必须把自变量代入相应的表达式.分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写成函数值几种不同的表达式并用一个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况．注意：（1）分段函数是一个函数，不要把它误认为是几个函数；（2）分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． 补充二：复合函数
如果y=f(u),(u∈M)，u=g(x)，（x∈A)，则 y=f[g(x）］=F(x）,（x∈A) 称为f是g的复合函数。 7．函数单调性 (1）．增函数
设函数y=f（x）的定义域为I，如果对于定义域I内的某个区间D内的任意两个自变量x1,x2,当x1 （2） 图象的特点 如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数y=f（x）在这一u=g(x） y=f(u） y=f［g（x）］ 区间上具有(严格的)单调性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升 增 增 增 的，减函数的图象从左到右是下降的. 增 减 减 (3)。函数单调区间与单调性的判定方法 减 增 减 (A) 定义法： 1 任取x1，x2∈D，且x1〈x2；2 作差f（x1）－f（x2）；3 变形（通常是减 减 增 因式分解和配方）；4 定号（即判断差f（x1）－f（x2)的正负)；5 下结论(指出函数f(x）在给定的区间D上的单调性）． （B)图象法（从图象上看升降) (C）复合函数的单调性：复合函数f［g（x)］的单调性与构成它的函数u=g(x），y=f（u）的单调性密切相关，其规律如下: 复合函数单调性:口诀：同增异减 注意：1、函数的单调区间只能是其定义域的子区间 ,不能把单调性相同的区间和在一起写成其并集. （4）判断函数的单调性常用的结论 ①函数与的单调性相反； ②当函数恒为正或恒有负时,与函数的单调性相反； ③函数与函数(C为常数）的单调性相同； ④当C 〉 0（C为常数）时,与的单调性相同; 当C 〈 0(C为常数）时，与的单调性相反； ⑤函数、都是增（减）函数，则仍是增(减)函数； ⑥若且与都是增(减）函数，则也是增(减）函数； 若且与都是增（减)函数，则也是减（增)函数； ⑦设，若在定义域上是增函数，则、、都是增函数，而是减函数。 8．函数的奇偶性 （1）偶函数 一般地,对于函数f(x）的定义域内的任意一个x，都有f(－x）=f(x），那么f（x)就叫做偶函数． （2）奇函数 一般地，对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x）=—f(x),那么f（x）就叫做奇函数． 注意：1、 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； 函数可能没有奇偶性，也可能既是奇函数又是偶函数。 2、 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x，则－x也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）． (3）具有奇偶性的函数的图象的特征 偶函数的图象关于y轴对称；奇函数的图象关于原点对称． 总结：利用定义判断函数奇偶性的格式步骤：1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称；2 确定f（－x）与f(x）的关系；3 作出相应结论：若f(－x) = f(x） 或 f（－x)－f（x） = 0，则f(x）是偶函数；若f（－x) =－f（x） 或 f(－x）＋f(x) = 0，则f（x）是奇函数． 注意：函数定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件．首先看函数的定义域是否关于原点对称,若不对称则函数是非奇非偶函数.若对称，（1)再根据定义判定； (2）有时判定f(-x）=±f（x）比较困难,可考虑根据是否有f（—x)±f（x)=0或f（x）/f（—x)=±1来判定; （3）利用定理，或借助函数的图象判定 。 函数奇偶性的性质 ① 奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性完全相同； 偶函数在关于原点对称的区间上若有单调性，则其单调性恰恰相反. ②奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于轴对称. ③若为偶函数，则. ④若奇函数定义域中含有0,则必有. ⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数,都可表示成“一个奇函数与一个偶函数的和（或差）”。如设是定义域为R的任一函数， 则，. ⑥复合函数的奇偶性特点是：“内偶则偶,内奇同外”. ⑦既奇又偶函数有无穷多个（，定义域是关于原点对称的任意一个数集）。 9、函数的解析表达式 （1)函数的解析式是函数的一种表示方法，要求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应法则，二是要求出函数的定义域。 （2）求函数的解析式的主要方法有：待定系数法、换元法、消参法等,A、如果已知函数解析式的构造时，可用待定系数法；B、已知复合函数f[g（x）］的表达式时，可用换元法，这时要注意元的取值范围；当已知表达式较简单时，也可用凑配法；C、若已知抽象函数表达式，则常用解方程组消参的方法求出f（x) 10．函数最大（小)值(定义见课本p30页） (1） 利用二次函数的性质（配方法）求函数的最大（小)值； （2） 利用图象求函数的最大(小）值； （3） 利用函数单调性的判断函数的最大(小)值：如果函数y=f(x)在区间[a，b］上单调递增，在区间［b，c］上单调递减则函数y=f(x)在x=b处有最大值f（b);如果函数y=f(x）在区间[a，b］上单调递减,在区间［b，c］上单调递增则函数y=f(x)在x=b处有最小值f(b）; 第二章 基本初等函数 一、指数函数 （一）指数与指数幂的运算 1．根式的概念： 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0,记作=0. 注意：（1） (2)当 n是奇数时， ，当 n是偶数时， 2．分数指数幂 正数的正分数指数幂的意义，规定： 正数的正分数指数幂的意义: 0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1) (2) （3） 注意：在化简过程中,偶数不能轻易约分;如 （二)指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数 叫做指数函数,其中x是自变量,函数的定义域为R． 注意：指数函数的底数的取值范围,底数不能是负数、零和1．即 a>0且a≠1 2、指数函数的图象和性质 图 像 0〈a〈1 a〉1 性质 定义域R ， 值域(0,+∞） （1）过定点(0，1），即x=0时，y=1 （2)在R上是减函数 （2)在R上是增函数 （3）当x>0时，0〈y<1; 当x〈0时,y>1 共性 图象特征 向x轴正负方向无限延伸 函数图象都在x轴上方 图象关于原点和y轴不对称 函数图象都过定点（0，1） 0〈a<1 自左向右看，图象逐渐下降 在第一象限内的图象纵坐标都小于1 在第二象限内的图象纵坐标都大于1 图象上升趋势是越来越缓 a〉1 自左向右看，图象逐渐上升 在第一象限内的图象纵坐标都大于1 在第二象限内的图象纵坐标都小于1 图象上升趋势是越来越陡 （3）当x〉0时，y〉1; 当x<0时,0〈y〈1 函数性质 函数的定义域为R 函数的值域为R+ 非奇非偶函数 过定点（0,1) 减函数 当x>0时,0〈y〈1; 当x〈0时,y>1 函数值开始减小极快, 到了某一值后减小速度较慢; 增函数 当x>0时，y〉1; 当x〈0时，0 （2）指数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论.掌握利用单调性比较幂的大小，同 底找对应的指数函数，底数不同指数也不同插进1（=a0）进行传递或者利用(1）的知识。 (3）求指数型函数的定义域可将底数去掉只看指数的式子，值域求法用单调性。 (4）分辨不同底的指数函数图象利用a1=a，用x=1去截图象得到对应的底数。 (5）指数型函数：y=N(1+p)x 简写：y=kax 二、对数函数 （一）对数 1．对数的概念：一般地,如果 ，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作: （ a— 底数, N— 真数，— 对数式) 说明：1. 注意底数的限制，a〉0且a≠1；2。 真数N>0 3. 注意对数的书写格式． 2、两个重要对数： （1）常用对数：以10为底的对数， ； （2)自然对数：以无理数e 为底的对数的对数 ， ． 3、对数式与指数式的互化 对数式 指数式 对数底数← a → 幂底数 对数← x → 指数 真数← N → 幂 结论:（1）负数和零没有对数 （2)logaa=1, loga1=0 特别地, lg10=1， lg1=0 ， lne=1, ln1=0 （3) 对数恒等式: （二）对数的运算性质 如果 a > 0，a 1，M 〉 0, N 〉 0 有： 1、 两个正数的积的对数等于这两个正数的对数和 2 、 两个正数的商的对数等于这两个正数的对数差 3 、 一个正数的n次方的对数等于这个正数的对数n倍 说明： 1) 简易语言表达:”积的对数=对数的和”…… 2) 有时可逆向运用公式 3) 真数的取值必须是（0，＋∞） 4) 特别注意： 注意：换底公式 利用换底公式推导下面的结论 ① ②③ （二）对数函数 1、对数函数的概念：函数 (a>0,且a≠1) 叫做对数函数，其中x是自变量，函数的定义域是(0，+∞）． 注意：（1） 对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,注意辨别。 如:， 都不是对数函数,而只能称其为对数型函数． （2） 对数函数对底数的限制：a〉0,且a≠1 2、对数函数的图像与性质：对数函数(a〉0，且a≠1） 0 ＜ a ＜ 1 a ＞ 1 图像 y y 0 (1,0) x 0 (1,0) x 性质 定义域:（0，＋∞） 值域:R 过点（1 ,0), 即当x ＝1时,y＝0 在（0,+∞）上是减函数 当x>1时，y<0 当x=1时，y=0 当0〈x<1时，y>0 在(0,+∞)上是增函数 当x〉1时，y>0 当x=1时，y=0 当0 a口诀:底真同大于0（底真不同小于0). （其中，底指底数,真指真数，大于0指logb的值) 3、 a如图,底数 a对函数 的影响. 规律: 底大枝头低， 头低尾巴翘。 4考点： Ⅰ、logab, 当a，b在1的同侧时, logab >0;当a，b在1的异侧时, logab 〈0 Ⅱ、对数函数的单调性由底数决定的，底数不明确的时候要进行讨论。掌握利用单调性比较对数的大 小，同底找对应的对数函数,底数不同真数也不同利用（1）的知识不能解决的插进1（=logaa)进行传递。 Ⅲ、求指数型函数的定义域要求真数>0，值域求法用单调性。 Ⅳ、分辨不同底的对数函数图象利用1=logaa ，用y=1去截图象得到对应的底数。 Ⅴ、y=ax(a〉0且a ≠1） 与y=logax(a〉0且a ≠1) 互为反函数，图象关于y=x对称。 5 比较两个幂的形式的数大小的方法: （1) 对于底数相同指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。 (2） 对于底数不同指数相同的两个幂的大小比较，可以利用比商法来判断. （3） 对于底数不同也指数不同的两个幂的大小比较，则应通过中间值来判断。常用1和0。 6 比较大小的方法 (1） 利用函数单调性（同底数）；（2) 利用中间值（如:0,1.）；(3） 变形后比较；(4) 作差比较 （三)幂函数 1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数． 2、幂函数性质归纳． （1）所有的幂函数在（0，+∞）都有定义,并且图象都过点（1,1）； （2)α>0 时，幂函数的图象通过原点，并且在［0，+ ∞)上是增函数．特别地，当α〉1时，幂函数的图象下凸；当0<α〈1时，幂函数的图象上凸； （3）α<0 时，幂函数的图象在（0，+∞）上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时,图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴，当x趋于+∞时，图象在x轴上方无限地逼近x轴正半轴． 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数y=f（x）,使f(x)=0 的实数x叫做函数的零点.(实质上是函数y=f（x)与x轴交点的横坐标） 2、函数零点的意义：方程f（x）=0 有实数根⇔函数y=f（x)的图象与x轴有交点⇔函数y=f(x)有零点 3、零点定理：函数y=f(x)在区间[a,b］上的图象是连续不断的，并且有f（a)f(b）〈0,那么函数y=f（x）在区间(a,b）至少有一个零点c，使得f（ c)=0,此时c也是方程 f(x)=0 的根。 4、函数零点的求法：求函数y=f(x)的零点： （1) (代数法）求方程f（x)=0 的实数根； （2） （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y=f(x）的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 5、二次函数的零点：二次函数f（x）=ax2+bx+c(a≠0）． 1）△＞0，方程f(x）=0有两不等实根,二次函数的图象与x轴有两个交点，二次函数有两个零点． 2)△＝0，方程f(x）=0有两相等实根（二重根)，二次函数的图象与x轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． 3）△＜0,方程f(x）=0无实根，二次函数的图象与x轴无交点，二次函数无零点． 二、二分法 1、概念：对于在区间［a，b］上连续不断且f（a)f（b）〈0的函数y=f（x）,通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法。 2、用二分法求方程近似解的步骤： ⑴确定区间[a,b］,验证f（a)f（b)〈0,给定精确度ε; ⑵求区间（a,b)的中点c;⑶计算f（c）， ①若f(c)=0，则c就是函数的零点； ②若f(a）f（c)<0，则令b=c（此时零点x0∈(a,c)） ③若f（c）f(b）<0，则令a=c（此时零点x0∈(c，b)) (4)判断是否达到精确度ε：即若|a—b｜<ε，则得到零点近似值为a（或b）；否则重复⑵~⑷ 三、函数的应用： （1）评价模型: 给定模型利用学过的知识解模型验证是否符合实际情况。 （2）几个增长函数模型：一次函数：y=ax+b(a〉0) 指数函数：y=ax（a>1） 指数型函数: y=kax(k>0,a〉1） 幂函数: y=xn（ n∊N*) 对数函数：y=logax（a〉1） 二次函数：y=ax2+bx+c(a>0） 增长快慢：V（ax)〉V（xn）>V（logax） 解不等式 (1） log2x〈 2x 〈 x2 （2) log2x〈 x2 〈 2x （3）分段函数的应用：注意端点不能重复取，求函数值先判断自变量所在的区间。 （4)二次函数模型： y=ax2+bx+c（a≠0） 先求函数的定义域，在求函数的对称轴,看它在不在定义域内，在的话代进求出最值，不在的话，将定义域内离对称轴最近的点代进求最值。 （5）数学建模： (6）一元二次方程ax2+bx+c=0 （a>0)的 根的分布 两个根都在（m,n )内 y 两个有且仅有一个在（m,n)内 x1∈（m，n) x2∈（p，q） m m n n x f（m）f(n）〈0 m n p q 两个根都小于K 两个根都大于K 一个根小于K，一个根大于K y k k x k f(k）<0 因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容