基于Biharmonic样条插值的GPS高程拟合

长江大学学报（自科版）　２０１６年９月第１３卷第２５期（理工）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆ　Ｙａｎｇｔｚｅ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　Ｅｄｉｔｉｏｎ）　Ｓｅｐ．２０１６．Ｖｏ１．１３　Ｎｏ．２５　・１・　［引著格式］陈向阳，俞世炜，赵国梁．基于Ｂｉｈａｒｍｏｎｉｃ样条插值的ＧＰＳ高程拟合［Ｊ］．长江大学学报（自科版），２０１６，１３（２５）　１～７．　基于Ｂｉｈａｒｍｏｎｉｃ样条插值的ＧＰＳ高程拟合　陈向阳　（南通职业大学建筑工程学院，江苏南通２２８００７）　俞世炜　（中国矿业大学（北京）地球科学与测绘工程学院，北京１　０００８３）　赵国梁　（西安科技大学测绘科学与技术学院，陕西西安７１　ｏｏｏｏ）　［摘要］介绍了ＧＰＳ高程拟合原理和传统ＧＰＳ高程拟合模型，提出了基于Ｂｉｈａｒｍｏｎｉｃ样条插值原理的ＧＰＳ　高程拟合模型。以实测ＧＰＳ水准网为算例，使用Ｂｉｈａｒｍｏｎｉｃ样条插值拟合模型、多项武曲面拟合模型和加　权平均插值拟合进行拟合分析，分别从内外精度上验证Ｂｉｈａｒｍｏｎｉｃ模型在ＧＰＳ高程拟合方面的可靠性和可　行性，并将其分析结果与常用的拟合模型进行比较，得出Ｂｉｈａｒｍｏｎｉｃ模型在ＧＰＳ高程拟合中的可靠性。　［关键词］ＧＰＳ高程拟合；多项式曲面拟合；加权平均插值拟合；Ｂｉｈａｒｍｏｎｉｃ样条插值；拟合模型　［中图分类号］Ｐ２２８．４　［文献标志码］Ａ　［文章编号］１６７３—１４０９（２０１６）２５—０００１—０７　水准测量是大地测量以及工程测量范围内不可缺少的一项任务，我国目前使用水准仪器测得的高程　都是正常高系统，与ＧＰＳ观测技术获得的大地高系统不一致，所以大地高转换为正常高系统是一个非　常重要的任务　］。目前，大地高转换为正常高有很多方法，其中理论性、逻辑性最好的方法是在地球重　力场模型中利用观测到的高精度ＧＰＳ数据、重力观测数据和ＤＴＭ数据精化区域似大地水准面。但在　小范围内，不具备重力资料情况下，ＧＰＳ高程拟合模型仍然是一般单位进行ＧＰＳ高程转换首选方案。　下面，笔者在传统ＧＰＳ高程拟合思想基础上，应用新的拟合模型来解决ＧＰＳ高程与正常高的转　换，并提出基于Ｂｉｈａｒｍｏｎｉｃ样条插值拟合模型。　高程数据拟合原理　在不同高程系统中，其水准基准面　不同，导致在不同高程系统下的高程数　据不能直接引用，所以需进行高程数据　的转换。不同高程系统之间转换关系［２３　如图１所示。　面　准　图１中的高程关系可用式（１）表达：　Ｈ　一Ｈ一　（１）　式中，Ｈ表示大地；Ｈ　表示正常高；　表示高程异常，代表似大地水准面到椭　球面距离。　图１　不同高程系统之间的关系　通过式（１）可以得出，如果已知高程异常值导，就可实现ＧＰＳ高程转化为正常高。　目前，确定高程异常有多种方法，但生产实际中广泛采用ＧＰＳ高程拟合法求解高程异常。其基本思　想是在生产实践中通过对ＧＰＳ控制点进行水准联测，对联测数据和观测数据进行相关性分析求取出高程　异常值，根据这些联测点来解算整个测区的似大地水准面，从而将ＧＰＳ点的大地高转换为正常高嘲。　［收稿日期］２０１６—０５—２７　［基金项目］国家自然科学基金项目（４０５７２１５５）；江苏高校品牌专业建设工程资助项目（ＰＰｚＹ２ｏ１５Ｂ１８３）；江苏省现代教育技术研　究２０１５年度立项课题（２０１５一Ｒ一４４７４０）；２０１６年江苏省大学生实践创新训练计划项目。　［作者简介］陈向阳（１９７５一），男，硕士，讲师，现主要从事测绘工程及数据处理方面的研究工作：Ｅ—ｍａｉｌ：ｎｔｖｃｃｘｙ＠１２６．ｃｏｉｎ。　数值方法研究　２０１６年９月　２基于Ｂｉｈａｒｍｏｎｉｃ样条曲面插值原理　高程拟合根据原理不同主要分为２大类，即函数模型逼近和统计模型逼近。目前，常用函数模型有　多项式拟合法、曲面内插逼近法、多面函数法等；关于函数逼近模型有很多文献做过论述　］。统计模　型常用方法有加权平均法、Ｋｒｉｇｉｎｇ（克里格）逼近法以及拟合推估法（配置法）。笔者在后面数据处理　部分会用常用传统拟合模型和基于Ｂｉｈａｒｍｏｎｉｃ样条插值ＧＰＳ高程拟合作比较。　常见曲面插值技术主要有双三次样条插值和Ｂ样条插值等，这些插值技术多有一定局限性，对数　据要求较高，控制点要均匀分布于网格，模型分析计算量较大。而笔者提出的基于Ｂｉｈａｒｍｏｎｉｃ样条曲面　插值的方法，不仅整体平滑度好，而且局部性能也有较大的提升。还有一个原因就是基于Ｂｉｈａｒｍｏｎｉｃ样条　插值方法对控制点数量和分布要求不是很高　］。用于ＧＰＳ高程插值拟合时，可以方便地通过已知高程异　常值来平滑插值出整个区域内高程异常值。　Ｂｉｈａｒｍｏｎｉｃ样条插值函数可以对散乱分布的２维数据进行曲面插值。插值所产生的曲面是以各点对应　数据为中心的Ｇｒｅｅｎ函数线性组合。该方法即可利用各点数值产生插值曲面，也可以斜率产生插值曲面。　只要插值曲面满足Ｂｉｈａｒｍｏｎｉｃ方程，所插值产生的曲面就具有最小曲率的特点。对于Ｂｉｈａｒｍｏｎｉｃ方程在不　同维空间中的解即不同维的Ｇｒｅｅｎ函数。　设　维度空间中有散乱分布的』ｖ个控制点　（　一１～Ｎ），对Ｂｉｈａｒｍｏｎｉｃ样条的ｍ维度插值问题　可简化为对方程组（２）的求解：　Ｎ　ｖｏ（Ｐ）一∑ａｊ８（Ｐ—Ｐ　）　ｗ（Ｐ　）一训　ｉ一１　（２）　式中，　为Ｂｉｈａｒｍｏｎｉｃ样条插值算子；　（Ｐ）是单位冲击函数；Ｐ是ｍ维度空间中的某一个位置；　（Ｐ）表示Ｐ处的数值。　满足式（２）的通解为：　Ｎ、。—一　７．Ｕ（Ｐ）一２＿５口　（Ｐ—Ｐ　）　系数ａ，满足线性方程组（４）：　Ｎ　（３）　训　一　＿、　Ⅱ　（Ｐ　一Ｐ，）　（４）　Ｊ一１　式中，　（Ｐ）为　维Ｇｒｅｅｎ函数。　维Ｇｒｅｅｎ函数表达式如表１所示。　３基于Ｂｉｈａｒｍｏｎｉｃ样条插值原理的ＧＰＳ高程拟合与算法实现　根据Ｂｉｌｈａｒｍｏｎｉｃ样条插值原理的ＧＰＳ高程插值拟合算法　可以对散乱分布数据点进行插值拟合，这些数据点为控制点或　表１　ｍ维度的Ｇｒｅｅｎ函数　维度　１　Ｇｒｅｅｎ函数　（Ｐ）　称之为样本点（已知点），而网格上的其他点称为待插值点或　者非控制点。这样曲面插值原理理解为，在控制点已知的前提　条件下，插值产生大量其他点处的值，用插值方法对曲面进行　拟合处理ｌ７］。基于Ｂｉｌｈａｒｍｏｎｉｃ曲面插值算法描述如下：　２　３　４　５　１　Ｐ　控制点之间距离的复矩阵Ｄ为：　Ｄ—Ｘ—　～ｉＹ　ｍ≥６　（５）　式中，Ｘ、ｙ分别为已知点坐标列向量。　根据式（６）重新计算Ｄ：　Ｄ—Ｄ—Ｄ　（６）　并将Ｄ矩阵对角线元素赋值为１。　插值权重向量ｗ为：　第１３卷第２５期　陈向阳等：基于Ｂｉｈａｒｍｏｎｉｃ样条插值的ＧＰＳ高程拟合　Ｗ—Ｇ　×Ｚ　（Ｚ为高程向量）　（７）　式（７）中Ｇ可按下式计算获得：　Ｇ—Ｄ　×（１ｏｇ（／））一１）　（８）　并将Ｇ矩阵对角线元素赋值为０。　再根据ｍ维Ｇｒｅｅｎ函数求得ＧＲＥＥＮ矩阵：　ＧＲＥＥＮ—ＤＥ　Ｘ（１ｏｇ（ＤＥ）一１）　（９）　式中，ＤＥ一￣／（　—Ｘ）　＋（　—ｙ）。；ｚ、　为非控制点坐标。　初次求解出的ＤＥ矩阵可能存在零元　素，所以将其中零元素赋值为１。　最后根据式（１０）插值出非控制点高程异常值：　—ＧＲＥＥＮ×Ｗ　（１０）　４数据分析　ＧＰＳ高程拟合精度主要由拟合点密度、点位分布情况以及拟合模型选取决定［８］。笔者所使用数据是某　地７２个点Ｅ级ＧＰＳ静态观测数据，并联测了四等水准测量，与真实的水准高程数据进行对比分析。　为了体现Ｂｉｈａｒｍｏｎｉｃ样条模型的高精度性、高可靠性和普适性，试验采用多组数据进行对比分析，　既可证明Ｂｉｈａｒｍｏｎｉｃ样条模型本身具有较高的拟合效果，也可体现不同控制点数量情况下Ｂｉｈａｒｍｏｎｉｃ　样条模型依然具有很好的实用效果。笔者以以下２组试验为例进行分析。　４．１　多控制点拟合分析　试验１中３种模型均选用相同的２６个控制点进行拟合计算，其余４６个点作为检核点；试验点位分　布如图２所示。　图２点位分布　．，．　数值方法研芄　年　日　３～　５分　是利川多』ｆ；ｉ式ＩＩｌ１　拟合、加仪、ｒ均捅值拟合ｆＩ１　Ｉ｛　１ｌ、ａｒｍ　、ｉ　ｃ、样条俩　拟合这３种１　ｄ拟　膜　僻到的　果，　｛ｊ　２．－Ｂｉｌｈａｒｍｏ　ｚ　ｉ佯条捅仉拟合产　的　正陶　●　、　・　●　．　—　娜　哪　＼　，　铷。　懈　图３　多项式曲面拟合结果　０　０２　ＤＯ１　０　．０　０１　∽　０２　．０∞　－０　ｏ４　图４　加权平均插值拟合结果　２为部分愉　点残蓐统汁ｔ．　３为　２的统汁分析。从　：｛Ｊ　ｆ以得ｆ１｛．Ｂｉｌｌ　ｒｎ¨　ｉ样条捕帆拟　能够ｉ艮好遄近　值；多项　断拟合址　－丁日ｉ：豆１小．乘啄　的ｉＩｌ　ｊ拟合．刈‘ｊ　给定的拟　Ｉ－Ｎ～￣“ｚ　ｃ　｛．定的拟合　．　以拟合ＩＩＩ的｝ｌｌＩ而不能干Ｉ！　的逼近　值：ＪＪＩ】十《　均插　拟合　控制点处的拟合点　ｊ良　俩有较小偏蓐．总体拟合　果可行　Ｈ－　ｉ呵靠　ｔｒｉｃｋ２／ｑ＂。Ｂｉｌｌ　ｍ…ｔ　ｉｆ样条捅　拟合不仪・『ｆ以实现　控　制　处的拟合点ｔｊ　实值保持一致．　¨总怍拟八ＩＡ　：－Ｉｌ　能够达刘　＆　卡占度。　ｉ　　第１　３卷第２５期　陈向阳等：基于Ｂｉｈａｒｍｏｎｉｃ样条插值的ＧＰＳ高程拟合　。　。　０∞　００２　００＇　０　Ｃｏ　旬Ｏ＇　∞　∞　０．　０５　１５∞　圃　图５　Ｂｉｌｈａｒｍｏｎｉｃ样条插值拟合结果　一已知点　—　一　一　拟合点　　ｔ２　，　●　　●０　０１６　０　０＇　萋　二．　．　一　ｌｌ＝＿　：　’　．．．　＿霉　≥　０００５　二；一　Ｏ　一一　∞６　－ｏ０１　－　－：－薹　：　’　、　＿　＝＝＝　∞　Ⅻ　．０们５　一　０２　ｙ　’’咖＿　≤　图６　Ｂｉｌｈａｒｍｏｎｉｃ样条插值拟合残差　表２部分检核点残差统计　数值方法研究　表３　３种拟合模型的残差统计　２０１６年９月　图７是各拟合模型在检核点处的残差分布情况，从图７中可以看出多项式曲面拟合（六参数）在检　核点处出现了残差的最大与最小，总体上也很不稳定；而加权平均插值拟合（线性）较多项式曲面拟合　（六参数）而言稳定性有所提高，但是在某些检核点处依然残差较大；Ｂｉｌｈａｒｍｏｎｉｃ样条插值拟合在各个　检核点处具有更高的稳定性，没有出现残差的突变，较其他２种拟合方法更加有效。　０．０３　０．０２　０．０ｌ　Ｏ　—Ｏ．Ｏｌ　—Ｏ．Ｏ２　—０．０３　－０．０４　３．２８１５　３．２８２　３．３８２５　３．２８３　３．２８３５　３．２８４　３．２８４５　３．２８５　３．２８５５　３．２８６　３．２８６５　×１００　图７各拟合模型在检核点处的残差　４．２低密度控制点拟合分析　为了避免引入变量，更好的说明Ｂｉｌｈａｒｍｏｎｉｃ样条模型的优越性，试验２总体依然使用该地区的７２　个Ｅ级点进行分析。３种模型均选用相同的１３个控制点进行拟合计算，其余的５９个点的真实高程作为　检核。　３种模型在选用相同的１３个控制点进行拟合计算之后，将５９个检核点与实测值进行对比，残差统　计如表４所示。从表４可以得出，Ｂｉｌｈａｒｍｏｎｉｃ样条插值拟合较另外２种模型具有较高的拟合精度。　表４　３种拟合模型的残差统计　第１３卷第２５期　陈向阳等：基于Ｂｉｈａｒｍｏｎｉｃ样条插值的ＧＰＳ高程拟合　・　７　・　５结语　ＧＰＳ水准模型在很大程度上决定拟合精度高低，采用不同模型，对于ＧＰＳ水准拟合情况产生不同　影响，模型选取对ＧＰＳ水准拟合来说是关键问题Ｅ。　］。笔者通过对比３种模型在ＧＰＳ高程拟合中的精　度，从结果可看出Ｂｉｌｈａｒｍｏｎｉｃ插值拟合模型具有较好的适应性和较高的精确度，在ＧＰＳ高程拟合中用　于工程实践具有较高的可行性与可靠性。　［参考文献］　［１］徐绍铨，张华海，杨志强，等．ＧＰＳ测量原理及应用［Ｍ］．武汉：武汉大学出版社，２００５．　［２］高伟，徐绍铨．ＧＰＳ高程分区拟合转换正常高的研究［Ｊ］．武汉大学学报（自然科学版），２００４，２９（１Ｏ）：９０８￣９１１．　［３］张小红，程世来，许晓东．基于Ｋｒｉｇｉｎｇ统计的ＧＰＳ高程拟合方法研究［Ｊ］．大地测量与地球动力学，２００７，２７（２）：４７￣５１．　Ｅ４］何美琳，文鸿雁，潘元进，等．ＧＰＳ高程拟合的方法比较［Ｊ］．测绘科学，２０１３，３８（３）：６３￣６５．　Ｅ５１王殊伟，陈正阳．基于移动曲面模型的ＧＰＳ高程拟合ＥＪ］．海洋测绘，２００５，２５（５）：１３～１４．　［６］吴吉贤，杜海燕．基于遗传算法改进的ＢＰ神经网络模型在ＧＰＳ高程拟合中的应用研究［盯．工程勘察。２０１４，４２（３）：７３￣７８．　Ｅ７］李景卫，高建．ＧＰＳ高程拟合中多面函数及二次曲面函数的比较与分析［Ｊ］．山东冶金，２００６，２８（３）：４２￣４３．　Ｅ８］王亚涛，董兰芳，倪奎．基于Ｂｉｌｈａｒｍｏｎｉｃ样条插值的图像渐变算法及实现［Ｊ］．中国图像图形学报，２００７，１２（１２）：２１８９～　２１９４．　［９］刘俊领，刘海生，王衍灵，等．ＧＰＳ高程拟合方法研究［Ｊ］．测绘与空间地理信息，２００９，３２（１）：１４３～１４７．　［编辑］　张涛　我校再次获批２项湖北省科技创新群体项目　目前，湖北省科学技术厅发布了《省科技厅关于２０１６年湖北省科技计划拟立项项目的公示》。　经学校推荐、省科技厅组织专家评审，地球科学学院李少华教授领衔团队主持的“储层精细表征与　建模”项目及城市建设学院杜国锋教授领衔团队主持的“山地长输管道地震致灾机理与抗震设计方　法研究”项目获批２０１６年度湖北省科技创新群体。这是继２０１５年后，我校第二次同年获批２项湖　北省科技创新群体项目。据悉，此次全省共立项２７项科技创新群体项目。　湖北省科技创新群体项目旨在培养造就具有创新能力的人才团队，持续支持以优秀中青年科学　家为学术带头人和骨干的研究群体，围绕某一重要研究方向开展前瞻性、交叉性的应用基础研究。　该群体项目每年申报一次，面向包含武汉大学、华中科技大学、中科院各研究所在内的湖北省内所　有高校及科研单位。　近年来，我校紧抓科研团队建设工作，对内打造青年科技创新团队，着力培育８０后创新群体，　对外积极争取省级以上科研团队项目立项。自２０１５年起，每年均有１项湖北省高等学校优秀中青　年科技创新团队（湖北省教育厅下达）和２项湖北省科技创新群体项目（湖北省科技厅下达）获批　立项，为学校科技事业的持续快速发展奠定了坚实基础。