抛物线焦点弦的弦长公式

在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介绍了开口向右时的焦点弦的长度计算问题：

(1)已知：抛物线的方程为y2px(p0)，过焦点F的弦AB交抛物线于A B两点，且弦AB的倾斜角为，求弦AB的长。

p解：由题意可设直线AB的方程为yk(x)()将其代入抛物线方程整理得：

224k22x2(4pk8p)x2pk220 ，且ktan

pk2p2设A,B两点的坐标为(x1,y1),(x2,y2) 则：xx12当2k2，x1x2p

42时，斜率不存在，sin1，|AB|=2p.即为通径

而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。 现在我们来探讨这个问题。

(2)已知：抛物线的方程为x2py(p0)，过焦点的弦AB交抛物线于A,B两点，直线AB倾斜角为，求弦AB的长。

解：设A,B的坐标为(x1,y),(x2,y)，斜率为k(ktan)，而焦点坐标为(0,)，故

122p2AB的方程为ypkx，将其代入抛物线的方程整理得： 22x22pkxp0,从而x1x22pk,x1x22p2，

2p2弦长为：|AB|1k(x1x2)4x1x22(cos)

0,cos1,|AB|2p，即为通径。

而y2px与（1）的结果一样，x2py与（2）的结果一样，但是（1）与（2）

22的两种表达式不一样，为了统一这两种不同的表达式，只须作很小的改动即可。现将改动陈述于下：

（3）已知：抛物线的方程为y2px(p0)，过焦点F的弦AB交抛物线于A ，

2B两点，且弦AB与抛物线的对称轴的夹角为，求弦AB的长。

p解：由题意可设直线AB的方程为yk(x)()将其代入抛物线方程整理

22得：

4k2x2(4pk8p)x2pk220 ，

若倾斜角若倾斜角2，则,ktantan；

,则,ktantan()。

2设A,B两点的坐标为(x1,y1),(x2,y2) 则：xx12pk2p2k2，x1x2p

42而sinsin,sin()sin，故|AB|当22p(sin)2；

2时，sin1，|AB|=2p.即为通径。

而y2px与（3）的结果一样

同理：（4）已知：抛物线的方程为x2py(p0)，过焦点的弦AB交抛物线于A,B两点，直线AB与抛物线的对称轴的夹角为，求弦AB的长。

解：设A,B的坐标为(x1,y),(x2,y)，若倾斜角为，斜率为k，

122则ktan，而焦点坐标为(0,)， 故AB的方程为ypkx，将其代入抛物线的方程整理得： 2p2x22pkxp20,从而x1x22pk,x1x22p2，

2p2弦长为：|AB|1k当倾斜角当倾斜角所以|AB|当2(x1x2)24x1x2(cos)

2，则,则2,coscos()sin； 2222p,coscos()sin 22(sin)恒成立。

2时，sin1，|AB|=2p.即为通径。

而x2py与（4）的结果一样。

故只要直线AB与抛物线的对称轴的夹角为，那么不论抛物线的开口向上，向下，向左还是向右，过焦点的弦的弦长都可以用一个公式表示，即|AB|2p(sin)2。这个

公式包含了抛物线的四种开口形式，没有了因为开口不同而导致的公式不同，便于记忆，便于应用，是一个很好的弦长公式，这里推荐给大家使用。