高三文科数学(解析几何)练习

x2y23451.已知椭圆C：221(ab0)的离心率e，原点到过点A(a,0)，B(0,b)的直线的距离是.

25ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）若直线ykx1(k0)交椭圆C于不同的两点E，F，且E，F都在以B为圆心的圆上,求k的值.

解(Ⅰ) 因为

c3222，abc， a2所以a2b. ………………………………………………2分 因为原点到直线AB：

ab45xy， 1的距离d225abab解得a4，b2. ………………………………………………5分

x2y1. ………………………………………………6分 故所求椭圆C的方程为

164(Ⅱ) 由题意

2ykx1,2消去y，整理得 xy21164(14k2)x28kx120. ………………………………………………7分

可知0. ………………………………………………8分 设E(x1,y1)，F(x2,y2)，EF的中点是M(xM,yM)， 则xMx1x24k1，.……………………………10分 ykx1MM214k214k2yM21. ………………………………………………11分 xMk所以kBM所以xMkyM2k0.

4kk2k0. 2214k14k又因为k0，

即所以k

221.所以k. ………………………………13分

48x2y22.已知椭圆C:221(ab0)的四个顶点恰好是边长为2，一内角为60的菱形的四个顶点.

ab（I）求椭圆C的方程；

（II）若直线ykx交椭圆C于A,B两点，且在直线l:xy30上存在点P，使得PAB为等边三角形，求k的值.

x2y2解：(I)因为椭圆C:221(ab0)的四个顶点恰好是一边长为2，

ab一内角为60的菱形的四个顶点,

x2所以a3,b1,椭圆C的方程为y21………………4分

3(II)设A(x1,y1),则B(x1,y1),

当直线AB的斜率为0时，AB的垂直平分线就是y轴，

y轴与直线l:xy30的交点为P(0,3),

又因为|AB|3,|PO|3，所以PAO60，

所以PAB是等边三角形,所以直线AB的方程为y0………………6分 当直线AB的斜率存在且不为0时，设AB的方程为ykx

x22y122所以3，化简得(3k1)x3

ykx333k232所以 |x1|，则|AO|1k………………8分 3k213k213k211x，它与直线l:xy30的交点记为P(x0,y0) k3kyx3x0k1所以, 1，解得yx3yk0k1设AB的垂直平分线为y9k29则|PO|………………10分 2(k1)因为PAB为等边三角形， 所以应有|PO|3|AO|

9k293k23代入得到|，解得k0（舍），k1……………13分 3(k1)23k21综上，k0或k1………………14分

x2y2ab0A,A(1,0)3.已知椭圆C:221的右焦点F，长轴的左、右端点分别为12,且FA1FA21.

ab（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）过焦点F斜率为k(k0)的直线l交椭圆C于A,B两点，弦AB的垂直平分线与x轴相交于点D.试问椭圆

C上是否存在点E使得四边形ADBE为菱形？若存在，试求点E到y轴的距离；若不存在，请说明理由.

解：（Ⅰ）依题设A1(a,0)，A2(a,0)，则FA1(a1,0)，FA2(a1,0).

22由FA1FA21，解得a2，所以b1.

x2所以椭圆C的方程为y21.…………………………………………4分

2（Ⅱ）依题直线l的方程为yk(x1).

由yk(x1),2222得2k1x4kx2k20. 22x2y2设A(x1,y1),B(x2,y2),弦AB的中点为M(x0,y0)，

4k22(k21)2k2k则x1x2，，，， xxxy12002k212k212k212k212k2k所以M(2,2).

2k12k112k2直线MD的方程为y(x2)， 22k1k2k1kk2k2,0). 令y0，得xD，则D(22k212k1若四边形ADBE为菱形，则xExD2x0，yEyD2y0.

3k22k所以E(2,2).

2k12k13k222k)2(2)22. 若点E在椭圆C上，则(22k12k1整理得k2，解得k此时点E到y的距离为

422.所以椭圆C上存在点E使得四边形ADBE为菱形.

1232.………………………………………………14分 7x2y22)在椭圆C上. 4.已知椭圆C:221(ab0)的右焦点为F(1,0)，且点(1,2ab（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；

5（Ⅱ）已知点Q(,0)，动直线l过点F，且直线l与椭圆C交于A，B两点，证明：QAQB为定值.

4

（Ⅰ）解：由题意知：c=1. 根据椭圆的定义得：2a=(-1-1)2+(222)+，即a=222. ……………………………………3分 所以b=2-1=1.

2x2所以椭圆C的标准方程为y21. ……………………………………4分

2（Ⅱ）证明：当直线l的斜率为0时，A(2,0),B(2,0).

557 则 QAQB(2,0)(2,0).

4416 ……………………………………6分

当直线l的斜率不为0时，设直线l的方程为：x=ty+1，A(x1,y1),B(x2,y2).

2ìïxï+y2=1,22ï 由í2可得：(t+2)y+2ty-1=0.

ïïïîx=ty+1 显然>0.

ì2tïïy+y=-,12ï2ït+2ï ……………………………………9分 íï1ïy1y2=-2.ïït+2ïî 因为 x1=ty1+1，x2=ty2+1， 所以 (x1-5,y1)?(x24511,y2)=(ty1-)(ty2-)+y1y2 444=(t2+1)y1y2-11 t(y1+y2)+416=-(t2+1)112t1+t+ t2+24t2+216-2t2-2+t217=+=-. 22(t+2)16167即QAQB.……………………………………13分

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