2021年中考数学 一轮分类训练：正方形综合(含答案)

一、选择题

1. 下列条件不能判断▱ABCD

是正方形的是 ( )

A.∠ABC=90°且AB=AD B.AB=BC且AC⊥BD C.AC⊥BD且AC=BD D.AC=BD且AB=BC

2. 下列说法，正确的个数有 ( )

①正方形既是菱形又是矩形;②有两个角是直角的四边形是矩形;③菱形的对角线相等;④对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形. A.1个 C.3个

3. 小红用次数最少的对折方法验证了一条四边形丝巾的形状是正方形，她对折了

B.2个 D.4个

( )

B.2次

C.3次

D.4次

A.1次

4. 如图，正方形

ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH，若BE∶EC＝2∶1，则线段CH的长是( ) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6

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5. （2020·威海）如图，在▱ABCD中，对角线BD⊥AD，AB＝10，AD＝6，O为

BD的中点，E为边AB上一点，直线EO交CD于点F，连结DE，BF．下列结论不成立的是（ ）

A．四边形DEBF为平行四边形 B．若AE＝3.6，则四边形DEBF为矩形 C．若AE＝5，则四边形DEBF为菱形 D．若AE＝4.8，则四边形DEBF为正方形

6. 如图，在正方形

ABCD中，AB=1，点E，F分别在边BC和CD上，AE=AF，

∠EAF=60°，则CF的长是 ( )

A.

7. 如图，把正方形纸片

B. C.-1 D. ABCD沿对边中点所在的直线对折后展开，折痕为MN，再过点B折叠纸片，使点A落在MN上的点F处，折痕为BE.若AB的长为2，

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则FM的长为( ) A. 2 B. 3 C. 2 D. 1

8. 如图，在正方形

ABCD中，AC为对角线，E为AB上一点，过点E作EF∥AD，

与AC、DC分别交于点G、F，H为CG的中点，连接DE、EH、DH、FH.下列结论：

AE2

①EG＝DF；②∠AEH＋∠ADH＝180°；③△EHF≌△DHC；④若AB＝3，则3S

△EDH

＝13S△DHC，其中结论正确的有( )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

二、填空题

9. 将边长为

1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置

(如图)，使得点D落在对角线CF上，EF与AD相交于点H，则HD= .(结果保留根号)

10. 如图，E，F

是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC=8，AE=CF=2，则

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四边形BEDF的周长是 .

11. 如图，正方形

ABCO的顶点C，A分别在x轴，y轴上，BC是菱形BDCE

的对角线，若∠D＝60°，BC＝2，则点D的坐标是________．

12. 如图，在正方形

ABCD中，点E，N，P，G分别在边AB，BC，CD，DA上，

S正方形MNPQ

S正方形AEFG

点M，F，Q都在对角线BD上，且四边形MNPQ和AEFG均为正方形，则的值等于________．

13. 如图，正方形

ABCD的边长为22，对角线AC，BD相交于点O，E是OC

的中点，连接BE，过点A作AM⊥BE于点M，交BD于点F，则FM的长为________．

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14. 七巧板是一种古老的中国传统智力游戏，被誉为“东方魔板”.由边长为

4的正方形ABCD可以制作一副如图①所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图②所示的“拼搏兔”造型(其中点Q，R分别与图②中的点E，G重合，点P在边EH上)，则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是 .

三、解答题

15. 如图，AB

是☉O的直径，DO⊥AB于点O，连接DA交☉O于点C，过点C

作☉O的切线交DO于点E，连接BC交DO于点F. (1)求证:CE=EF.

(2)连接AF并延长，交☉O于点G.填空:

①当∠D的度数为 时，四边形ECFG为菱形; ②当∠D的度数为 时，四边形ECOG为正方形.

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16. 【问题解决】

一节数学课上，老师提出了这样一个问题:如图①，点P是正方形ABCD内一点，PA=1，PB=2，PC=3，你能求出∠APB的度数吗? 小明通过观察、分析、思考，形成了如下思路:

思路一:将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△BP'A，连接PP'，求出∠APB的度数;

思路二:将△APB绕点B顺时针旋转90°，得到△CP'B，连接PP'，求出∠APB的度数.

请参考小明的思路，任选一种写出完整的解答过程. 【类比探究】

如图②，若点P是正方形ABCD外一点，PA=3，PB=1，PC=度数.

，求∠APB的

17. 如图，正方形

ABCD，点E，F分别在AD，CD上，且DE=CF，AF与BE

相交于点G．

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(1)求证：BE=AF；

(2)若AB=4，DE=1，求AG的长．

18. 如图，在直角梯形ABCD

中，∠A＝∠D＝90°，AB＝8 cm，CD＝10 cm，AD

＝6 cm，点E从点A出发，沿A→D→C方向运动，运动速度为2 cm/s，点F同时从点A出发，沿A→B方向运动，运动速度为1 cm/s.设运动时间为t(s)，△CEF的面积为S(cm2)．

(1)当0≤t≤3时，t＝________，EF＝10.

(2)当0≤t≤3时(如图①)，求S与t的函数关系式，并化为S＝a(t－h)2＋k的形式，指出当t为何值时，S有最大值，最大值为多少？

(3)当3≤t≤8时(如图②)，求S与t的函数关系式，并求出当t为何值时，S有最大值，最大值为多少？

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2021中考数学 一轮分类训练：正方形综合-答案

一、选择题

1. 【答案】B [解析]A.▱ABCD中，若∠ABC=90°，则▱ABCD是矩形，再由AB=AD

可得是正方形，故此选项错误;

B.▱ABCD中，若AB=BC，则▱ABCD是菱形，再由AC⊥BD仍可得是菱形，不能判定为正方形，故此选项正确;

C.▱ABCD中，若AC⊥BD，则▱ABCD是菱形，再由AC=BD可得是正方形，故此选项错误;

D.▱ABCD中，若AC=BD，则▱ABCD是矩形，再由AB=BC可得是正方形，故此选项错误.故选B.

2. 【答案】B

3. 【答案】B

4. 【答案】B

【解析】设CH＝x，∵BE∶EC＝2∶1，BC＝9，∴EC＝3，由折叠可知，EH＝DH＝9－x，在Rt△ECH中，由勾股定理得：(9－x)2＝32＋x2，解得：x＝4.

5. 【答案】：∵O为

BD的中点，

∴OB＝OD，

∵四边形ABCD为平行四边形， ∴DC∥AB，

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∴∠CDO＝∠EBO，∠DFO＝∠OEB， ∴△FDO≌△EBO（AAS）， ∴OE＝OF，

∴四边形DEBF为平行四边形， 故A选顶结论正确， 若AE＝3.6，AD＝6， ∴， 又∵，

∴，

∵∠DAE＝∠BAD， ∴△DAE∽△BAD， ∴AED＝∠ADB＝90°． 故B选项结论正确， ∵AB＝10，AE＝5， ∴BE＝5， 又∵∠ADB＝90°， ∴DEAB＝5，

∴DE＝BE，

∴四边形DEBF为菱形． 故C选项结论正确，

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∵AE＝3.6时，四边形DEBF为矩形，AE＝5时，四边形DEBF为菱形，

∴AE＝4.8时，四边形DEBF故D不正确． 故选：D．

6. 【答案】C 不可能是正方形．

[解析]连接EF.∵AE=AF，∠EAF=60°，∴△AEF为等边三角形，

∴AE=EF.∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠D=∠C=90°，AB=AD，∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，∴BE=DF，∴EC=CF.设AE=EF=1+(1-x)2=(

7. 【答案】B

CF=x，则EC=x，

=

x)2，解得x=x，BE=1-x.在Rt△ABE中，AB2+BE2=AE2，∴-1(舍负).故选C.

1

【解析】∵AB＝2，∴BF＝2，又∵BM＝2BC＝1，由勾股定理得

FM＝FB2－BM2＝3.

8. 【答案】D

【解析】逐项分析如下表：

逐项分析 正误 序号 ① 在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝DA，∠DAB＝∠B＝∠BCD＝∠CDA＝90°，∠ACB＝∠ACD＝45°，∵EF∥AD，∴四边形EFDA、四边形EFCB是矩形，∴∠EFC＝∠ADC＝90°，EF＝DC，在Rt△CGF中，∠ACD＝45°，∴GF＝CF，∴EF－GF＝CD－CF，即EG＝DF ∵△GFC是等腰直角三角形，H是CG的中点，∴GH＝FH，∠HGF＝∠GFH＝45°，∴∠EGH＝∠DFH＝135°，又由①知EG＝DF，∴△EGH≌△DFH(SAS)，∴∠HEF＝∠FDH，∵∠AEH＝∠AEF＋∠HEF＝90°＋∠HEF，∠ADH＝∠ADC－∠FDH＝90°－∠FDH，∴∠AEH＋∠ADH＝180° 由②可知EH＝DH，FH＝CH，又∵EF＝DC，∴△EHF≌10 / 19

√ ② √ ③ √ △DHC(SSS) ∵△EGH≌△DFH，∴EH＝DH，∠EHG＝∠DHF，∴∠EHG＋∠AHD＝∠DHF＋∠AHD＝90°，即∠EHD＝∠AHF＝AE290°，∴△EHD为等腰直角三角形，∵AB＝3，∴设AE＝2x，AB＝3x，则DE＝（2x）2＋（3x）2＝13x，∴EH＝DH④ 226111313＝2×13x＝2x，∴S△EDH＝2EH2＝2×2x2＝4x2. 在1x△DHC中，设CD边上的高为h，则h＝2CF＝2，则S△DHC132x11x32S△EDH413＝2CD·h＝2×3x×＝x，＝＝243，即3S△EDH＝13SS△DHC324x△DHC√ 二、填空题

9. 【答案】-1 [解析]∵四边形ABCD为正方形，

∴CD=1，∠CDA=90°，

∵边长为1的正方形ABCD绕点C按顺时针方向旋转到正方形FECG的位置，使得点D落在对角线CF上， ∴CF=故答案为

10. 【答案】8，∠CFE=45°，∴△DFH为等腰直角三角形，∴DH=DF=CF-CD=-1.

-1.

[解析]如图，连接BD交AC于点O，

∵四边形ABCD为正方形，∴BD⊥AC，OD=OB=OA=OC，

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∵AE=CF=2，

∴OA-AE=OC-CF，即OE=OF，

∴四边形BEDF为平行四边形，且BD⊥EF， ∴四边形BEDF为菱形， ∴DE=DF=BE=BF， ∵AC=BD=8，OE=OF==2，∴由勾股定理得:DE==8，故答案为:8.

==2，

∴四边形BEDF的周长=4DE=4×2

11. 【答案】(

3＋2，1) 【解析】如解图，过点D作DG⊥BC于G，DF⊥x轴

于F，∵在菱形BDCE中，BD＝CD，∠BDC＝60°，∴△BCD是等边三角形，

1

∴DF＝CG＝2BC＝1，CF＝DG＝3，∴OF＝3＋2，∴D(3＋2，1)．

解图

8

，且四边形PQMN为

9 【解析】设BD＝3a，∠CDB＝∠CBD＝45°

正方形，∴DQ＝PQ＝QM＝NM＝MB，∴正方形MNPQ的边长为a，正方形AEFG

1313392

的对角线AF＝2BD＝2a，∵正方形对角线互相垂直，∴S正方形AEFG＝2×2a×2a＝8a，

S正方形MNPQa28∴＝＝. S正方形AEFG929

8a12. 【答案】

5

【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴AO＝BO，∠AOF＝∠BOE5

＝90°，∵AM⊥BE，∠AFO＝∠BFM，∴∠FAO＝∠EBO，在△AFO和△BEO

13. 【答案】12 / 19

∠AOF＝∠BOE中，AO＝BO，∴△AFO≌△BEO(ASA)，∴FO＝EO，∵正方形ABCD

∠FAO＝∠EBO

的边长为22，E是OC的中点，∴FO＝EO＝1＝BF，BO＝2，∴在Rt△BOE中，BE＝

12＋22＝5，由∠FBM＝∠EBO，∠FMB＝∠EOB，可得

FMBFFM15

△BFM∽△BEO，∴EO＝BE，即1＝，∴FM＝5.

5

14. 【答案】4 [解析]如图，连接EG，作GM⊥EN交EN的延长线于M.

在Rt△EMG中，∵GM=4，EM=2+2+4+4=12， ∴EG=∴EH=

三、解答题

15. 【答案】

==4.

=4，

解:(1)证明:连接OC.

∵CE是☉O的切线，∴OC⊥CE.

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∴∠FCO+∠ECF=90°.

∵DO⊥AB，∴∠B+∠BFO=90°. ∵∠CFE=∠BFO， ∴∠B+∠CFE=90°. ∵OC=OB，∴∠FCO=∠B. ∴∠ECF=∠CFE. ∴CE=EF.

(2)∵AB是☉O的直径，∴∠ACB=90°. ∴∠DCF=90°.

∴∠DCE+∠ECF=90°，∠D+∠EFC=90°. 由(1)得∠ECF=∠CFE， ∴∠D=∠DCE. ∴ED=EC. ∴ED=EC=EF.

即点E为线段DF的中点.

①四边形ECFG为菱形时，CF=CE. ∵CE=EF，∴CE=CF=EF. ∴△CEF为等边三角形. ∴∠CFE=60°. ∴∠D=30°. 故填30°.

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②四边形ECOG为正方形时，△ECO为等腰直角三角形. ∴∠CEF=45°.

∵∠CEF=∠D+∠DCE， ∴∠D=∠DCE=22.5°. 故填22.5°.

16. 【答案】

[解析]将△PBC绕点B逆时针旋转90°得到△P'BA，连接PP'，得到等腰直角三角形BP'P，从而得到PP'=2，∠BPP'=45°，又AP'=CP=3，AP=1，∴

AP2+P'P2=1+8=9=P'A2，∴根据勾股定理的逆定理得∠APP'=90°，从而求出∠APB=45°+90°=135°.

将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△P'BA，连接PP'，方法和上述类似，求出∠APB=45°.

解:【问题解决】如图①，将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△P'BA，连接PP'.

①

∵P'B=PB=2，∠P'BP=90°， ∴PP'=2，∠BPP'=45°.

又AP'=CP=3，AP=1，

∴AP2+P'P2=1+8=9=P'A2，∴∠APP'=90°，

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∴∠APB=45°+90°=135°.

【类比探究】如图②，将△PBC绕点B逆时针旋转90°，得到△P'BA，连接PP'.

②

∵P'B=PB=1，∠P'BP=90°， ∴PP'=，∠BPP'=45°.

，AP=3，

又AP'=CP=∴AP2+P'P2=9+2=11=P'A2， ∴∠APP'=90°， ∴∠APB=90°-45°=45°.

17. 【答案】

(1)∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BAE=∠ADF=90°，AB=AD=CD， ∵DE=CF，∴AE=DF，

ABAD在△BAE和△ADF中，BAEADF，

AEDF∴△BAE≌△ADF(SAS)， ∴BE=AF；

(2)解：由(1)得：△BAE≌△ADF，

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∴∠EBA=∠FAD， ∴∠GAE+∠AEG=90°， ∴∠AGE=90°， ∵AB=4，DE=1， ∴AE=3，

∴BE=AB2AE2=4232=5， 在Rt△ABE中，11AB×AE=BE×AG， 22∴AG=

4312=． 5518. 【答案】

(1)2； 【解法提示】根据题意知，AF＝t，AE＝2t，∵∠A＝90°，∴AF2＋AE2＝EF2，即t2＋(2t)2＝(10)2，解得：t＝2(负值舍去)．

(2)当0≤t≤3时，如解图①，过点C作CP⊥AB，交AB延长线于点P，

解图①

∵∠A＝∠D＝90°， ∴四边形APCD是矩形， 则CP＝AD＝6 cm， ∵AB＝8 cm，AD＝6 cm，

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∴BF＝(8－t)cm，DE＝(6－2t)cm， 则S＝S梯形ABCD－S△AEF－S△CBF－S△CDE

1111＝2×(8＋10)×6－2×t×2t－2×(8－t)×6－2×(6－2t)×10 ＝－t2＋13t 13169＝－(t－2)2＋4， 132169

即S＝－(t－2)＋4，

13

∵当t＜2时，S随t的增大而增大， ∴当t＝3时，S取得最大值，最大值为30；

(3)当3≤t≤8时，如解图②，过点F作FQ⊥CD于点Q，

解图②

由∠A＝∠D＝90°，知四边形ADQF是矩形， ∴FQ＝AD＝6 cm，

∵AD＋DE＝2t，AD＝6 cm，CD＝10 cm， ∴CE＝(16－2t)cm，

1则此时S＝2×(16－2t)×6＝48－6t， ∵－6＜0，

∴S随t的增大而减小，

∴当t＝3时，S取得最大值，最大值为30cm2．

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