圆与方程(习题)

圆与方程

一、选择题

1．圆C1 : x2＋y2＋2x＋8y－8＝0与圆C2 : x2＋y2－4x＋4y－2＝0的位置关系是( )． A．相交

B．外切

C．内切

D．相离

2．两圆x2＋y2－4x＋2y＋1＝0与x2＋y2＋4x－4y－1＝0的公共切线有( )． A．1条

B．2条

C．3条

D．4条

3．若圆C与圆(x＋2)2＋(y－1)2＝1关于原点对称，则圆C的方程是( )． A．(x－2)2＋(y＋1)2＝1 C．(x－1)2＋(y＋2)2＝1

B．(x－2)2＋(y－1)2＝1 D．(x＋1)2＋(y－2)2＝1

4．与直线l : y＝2x＋3平行，且与圆x2＋y2－2x－4y＋4＝0相切的直线方程是( )． A．x－y±5＝0 C．2x－y－5＝0

B．2x－y＋5＝0 D．2x－y±5＝0

5．直线x－y＋4＝0被圆x2＋y2＋4x－4y＋6＝0截得的弦长等于( )． A．2

B．2

C．22

D．42

6．一圆过圆x2＋y2－2x＝0与直线x＋2y－3＝0的交点，且圆心在y轴上，则这个圆的方程是( )．

A．x2＋y2＋4y－6＝0 C．x2＋y2－2y＝0

B．x2＋y2＋4x－6＝0 D．x2＋y2＋4y＋6＝0

7．圆x2＋y2－4x－4y－10＝0上的点到直线x＋y－14＝0的最大距离与最小距离的差是( )．

A．30

B．18

C．62

D．52

8．两圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2和(x－b)2＋(y－a)2＝r2相切，则( )． A．(a－b)2＝r2 C．(a＋b)2＝r2

B．(a－b)2＝2r2 D．(a＋b)2＝2r2

9．若直线3x－y＋c＝0，向右平移1个单位长度再向下平移1个单位，平移后与圆 x2＋y2＝10相切，则c的值为( )．

A．14或－6

B．12或－8

C．8或－12

D．6或－14

10．设A(3，3，1)，B(1，0，5)，C(0，1，0)，则AB的中点M到点C的距离|CM| ＝( )．

A．

53 4 B．

53 2 C．

5313 D．

221

二、填空题

11．若直线3x－4y＋12＝0与两坐标轴的交点为A，B，则以线段AB为直径的圆的一般方程为____________________．

12．已知直线x＝a与圆(x－1)2＋y2＝1相切，则a的值是_________． 13．直线x＝0被圆x2＋y2―6x―2y―15＝0所截得的弦长为_________． 14．若A(4，－7，1)，B(6，2，z)，|AB|＝11，则z＝_______________．

15．已知P是直线3x＋4y＋8＝0上的动点，PA，PB是圆(x－1)2＋(y－1)2＝1的两条切线，A，B是切点，C是圆心，则四边形PACB面积的最小值为 ．

三、解答题

16．求下列各圆的标准方程：

(1)圆心在直线y＝0上，且圆过两点A(1，4)，B(3，2)；

(2)圆心在直线2x＋y＝0上，且圆与直线x＋y－1＝0切于点M(2，－1)．

17．棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E是AB的中点，F是BB1的中点，G是AB1的中点，试建立适当的坐标系，并确定E，F，G三点的坐标．

18．圆心在直线5x―3y―8＝0上的圆与两坐标轴相切，求此圆的方程

2

19．已知圆C :(x－1)2＋(y－2)2＝2，点P坐标为(2，－1)，过点P作圆C的切线，切

点为A，B．

(1)求直线PA，PB的方程； (2)求过P点的圆的切线长； (3)求直线AB的方程．

20．求与x轴相切，圆心C在直线3x－y＝0上，且截直线x－y＝0得的弦长为27的圆的方程．

3

参考答案

一、选择题 1．A

解析：C1的标准方程为(x＋1)2＋(y＋4)2＝52，半径r1＝5；C2的标准方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝(10)2，半径r2＝10．圆心距d＝(2 ＋ 1)2 ＋ (2 － 4)2＝13．

因为C2的圆心在C1内部，且r1＝5＜r2＋d，所以两圆相交． 2．C

解析：因为两圆的标准方程分别为(x－2)2＋(y＋1)2＝4，(x＋2)2＋(y－2)2＝9， 所以两圆的圆心距d＝(2 ＋ 2)2 ＋ (－ 1 － 2)2＝5． 因为r1＝2，r2＝3，

所以d＝r1＋r2＝5，即两圆外切，故公切线有3条． 3．A

解析：已知圆的圆心是(－2，1)，半径是1，所求圆的方程是(x－2)2＋(y＋1)2＝1． 4．D

解析：设所求直线方程为y＝2x＋b，即2x－y＋b＝0．圆x2＋y2―2x―4y＋4＝0的标准方程为(x－1)2＋(y－2)2＝1．由

2 － 2 ＋ b 2 ＋ 122＝1解得b＝±5．

故所求直线的方程为2x－y±5＝0．

5．C解析：因为圆的标准方程为(x＋2)2＋(y－2)2＝2，显然直线x－y＋4＝0经过圆心． 所以截得的弦长等于圆的直径长．即弦长等于22． 6．A

解析：如图，设直线与已知圆交于A，B两点，所求圆的圆心为C．

依条件可知过已知圆的圆心与点C的直线与已知直线垂直． 因为已知圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝1，圆心为(1，0)， 所以过点(1，0)且与已知直线x＋2y－3＝0垂直的直线方程为y＝2x－2．令x＝0，得C(0，－2)．

联立方程x2＋y2－2x＝0与x＋2y－3＝0可求出交点A(1，1)．故所求圆的半径r＝|AC|＝12 ＋ 32＝10．

所以所求圆的方程为x2＋(y＋2)2＝10，即x2＋y2＋4y－6＝0．

4

(第6题)

7．C

解析：因为圆的标准方程为(x－2)2＋(y－2)2＝(32)2，所以圆心为(2，2)，r＝32． 设圆心到直线的距离为d，d＝

102＞r，

所以最大距离与最小距离的差等于(d＋r)－(d－r)＝2r＝62． 8．B

解析：由于两圆半径均为|r|，故两圆的位置关系只能是外切，于是有 (b－a)2＋(a－b)2＝(2r)2． 化简即(a－b)2＝2r2． 9．A

解析：直线y＝3x＋c向右平移1个单位长度再向下平移1个单位． 平移后的直线方程为y＝3(x－1)＋c－1，即3x－y＋c－4＝0． 由直线平移后与圆x2＋y2＝10相切，得

0 － 0 ＋ c － 4 3 ＋ 122＝10，即|c－4|＝10，

所以c＝14或－6．

10．C

3 ， 3， 解析：因为C(0，1，0)，容易求出AB的中点M2，2533所以|CM|＝(2 － 0) ＋ － 1 ＋ ． (3 － 0)2＝

2222二、填空题

11．x2＋y2＋4x－3y＝0．

解析：令y＝0，得x＝－4，所以直线与x轴的交点A(－4，0)． 令x＝0，得y＝3，所以直线与y轴的交点B(0，3)． 3 ． 所以AB的中点，即圆心为－ 2，2325因为|AB|＝4 ＋ 3＝5，所以所求圆的方程为(x＋2)＋y － ＝．

24222

2即x2＋y2＋4x－3y＝0． 12．0或2．

解析：画图可知，当垂直于x轴的直线x＝a经过点(0，0)和(2，0)时与圆相切， 所以a的值是0或2．

5

13．8．

解析：令圆方程中x＝0，所以y2―2y―15＝0．解得y＝5，或y＝－3． 所以圆与直线x＝0的交点为(0，5)或(0，－3)．

所以直线x＝0被圆x2＋y2―6x―2y―15＝0所截得的弦长等于5－(－3)＝8． 14．7或－5．

2

解析：由(6 － 4)2 ＋ (2 ＋ 7)2 ＋ (z － 1)2＝11得(z－1)＝36．所以z＝7，或－5．

15．22． 解析：如图，S

四边形

PACB＝2S△PAC＝

1|PA|·|CA|·22＝|PA|，又|PA|＝|PC|2－1，故求|PA|最小值，只需求|PC|最小值，另|PC|最小值即C到直线3x＋4y＋8＝0的距离，为

|3＋4＋8|3＋422＝3．

(第15题)

于是S四边形PACB最小值为32－1＝22． 三、解答题

16．解：(1)由已知设所求圆的方程为(x－a)2＋y2＝r2，于是依题意，得

22a ＝ － 1，(1 － a)＋16 ＝r， 解得 222．(3 － a)＋4 ＝r．r ＝ 20故所求圆的方程为(x＋1)2＋y2＝20．

(2)因为圆与直线x＋y－1＝0切于点M(2，－1)，

所以圆心必在过点M(2，－1)且垂直于x＋y－1＝0的直线l上． 则l的方程为y＋1＝x－2，即y＝x－3． y ＝x－ 3，x ＝ 1，由 解得 2x＋y＝0．y ＝ － 2．即圆心为O1(1，－2)，半径r＝(2 － 1)2 ＋ (－ 1 ＋ 2)2＝2． 故所求圆的方程为(x－1)2＋(y＋2)2＝2．

6

17．解：以D为坐标原点，分别以射线DA，DC，DD1的方向为正方向，以线段DA，

DC，DD1的长为单位长，建立空间直角坐标系Dxyz，E点在平面xDy中，且EA＝

1 ， 0， 所以点E的坐标为1，21． 2又B和B1点的坐标分别为(1，1，0)，(1，1，1)，

111 1， ，同理可得G点的坐标为1所以点F的坐标为1，， ， ．

22218．解：设所求圆的方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2， 因为圆与两坐标轴相切，

所以圆心满足|a|＝|b|，即a－b＝0，或a＋b＝0． 又圆心在直线5x―3y―8＝0上，

5a－3b－8＝0，5a－3b－8＝0，所以5a―3b―8＝0．由方程组 或

a－b＝0，a＋b＝0，a＝4，a＝1，解得或所以圆心坐标为(4，4)，(1，－1)．

b＝4，b＝－1．故所求圆的方程为(x－4)2＋(y－4)2＝16，或(x－1)2＋(y＋1)2＝1．

19．解：(1)设过P点圆的切线方程为y＋1＝k(x－2)，即kx―y―2k―1＝0． 因为圆心(1，2)到直线的距离为2，

－ k － 3 k ＋ 12＝2， 解得k＝7，或k＝－1．

故所求的切线方程为7x―y―15＝0，或x＋y－1＝0．

(2)在Rt△PCA中，因为|PC|＝(2 － 1)2 ＋ (－ 1 － 2)2＝10，|CA|＝2， 所以|PA|2＝|PC|2－|CA|2＝8．所以过点P的圆的切线长为22．

1(3)容易求出kPC＝－3，所以kAB＝．

3CA22如图，由CA＝CD·PC，可求出CD＝＝．

PC102

1设直线AB的方程为y＝x＋b，即x－3y＋3b＝0．

3由

1 － 6 ＋ 3b 27＝解得b＝1或b＝(舍)．

3101 ＋ 32(第19题)

所以直线AB的方程为x－3y＋3＝0．

(3)也可以用联立圆方程与直线方程的方法求解．

7

20．解：因为圆心C在直线3x－y＝0上，设圆心坐标为(a，3a)， 圆心(a，3a)到直线x－y＝0的距离为d＝又圆与x轴相切，所以半径r＝3|a|， 设圆的方程为(x－a)2＋(y－3a)2＝9a2， 设弦AB的中点为M，则|AM|＝7． 在Rt△AMC中，由勾股定理，得

－ 2a 2．

 － 2a 2＋(7)2＝(3|a|)2． 2(第20题)

解得a＝±1，r2＝9．

故所求的圆的方程是(x－1)2＋(y－3)2＝9，或(x＋1)2＋(y＋3)2＝9．

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