专升本高等数学公式全集

常数项级数：

1qn等比数列：1qqq1q(n1)n等差数列：123n2111调和级数：1是发散的23n2n1专升本高等数学公式（全）

级数审敛法：

1、正项级数的审敛法——根植审敛法（柯西判别法）：1时，级数收敛设：limnun，则1时，级数发散n1时，不确定2、比值审敛法：1时，级数收敛U设：limn1，则1时，级数发散nUn1时，不确定3、定义法：snu1u2un;limsn存在，则收敛；否则发散。n

交错级数u1u2u3u4(或u1u2u3,un0)的审敛法——莱布尼兹定理： unun1如果交错级数满足su1,其余项rn的绝对值rnun1。limu0，那么级数收敛且其和nn

绝对收敛与条件收敛：

(1)u1u2un，其中un为任意实数；(2)u1u2u3un如果(2)收敛，则(1)肯定收敛，且称为绝对收敛级数；如果(2)发散，而(1)收敛，则称(1)为条件收敛级数。1(1)n调和级数：n发散，而n收敛；1　　级数：n2收敛；ｐ１时发散1　　p级数：　　npp1时收敛 1

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幂级数：

1x1时，收敛于1x1xx2x3xn　　x1时，发散对于级数(3)a0a1x　a2x2anxn，如果它不是仅在原点收敛，也不是在全xR时收敛数轴上都收敛，则必存在R，使xR时发散，其中R称为收敛半径。xR时不定1

0时，R求收敛半径的方法：设limnan1，其中an，an1是(3)的系数，则0时，Ran时，R0

函数展开成幂级数：

f(x0)f(n)(x0)2函数展开成泰勒级数：f(x)f(x0)(xx0)(xx0)(xx0)n2!n!f(n1)() 余项：Rn(xx0)n1,f(x)可以展开成泰勒级数的充要条件是：limRn0n(n1)!f(0)2f(n)(0)nx00时即为麦克劳林公式：f(x)f(0)f(0)xxx2!n!

一些函数展开成幂级数：

m(m1)2m(m1)(mn1)nxx　　　(1x1)2!n!

352n1xxxsinxx(1)n1　　　(x)3!5!(2n1)!(1x)m1mx

可降阶的高阶微分方程

类型一：y(n)f(x)

解法（多次积分法）：令uy(n1)类型二：y''f(x,y') 解法：令py'dpf(x,p)一阶微分方程 dxduf(x)多次积分求f(x) dx类型三：y''f(y,y')

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解法：令py'dpdpdydppf(y,p)类型二 dxdydxdy类型四：y'p(x)yQ(x)

p(x)dx若Q(X)等于0，则通解为yCe（一阶齐次线性）。若不等于0，通解p(x)dxp(x)dxdxc（一阶齐次非线性）。 yeQ(x)e一阶齐次非线性方程的通解是对应齐次方程的通解与它的一个特解之和。 三、线性微分方程

类型一：y''P(x)y'Q(x)y0（二阶线性齐次微分方程） 解法：找出方程的两个任意线性不相关特解：y1(x),y2(x) 则：y(x)c1y1(x)c2y2(x)

类型二：y''P(x)y'Q(x)yf(x)（二阶线性非齐次微分方程） 解法：先找出对应的齐次微分方程的通解：y3(x)c1y1(x)c2y2(x) 再找出非齐次方程的任意特解yp(x)，则：y(x)yp(x)c1y1(x)c2y2(x) 类型三：y''py'q0（二阶线性常系数齐次微分方程）

pp24q解法（特征方程法）：pq01,2

22（一）p24q012yc1exc2ex

12（二）012y(c1c2x)ex

（三）01i,2iyex(c1cosxc2sinx)

3

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导数公式：

(tgx)sec2x(ctgx)csc2x(secx)secxtgx(cscx)cscxctgx(ax)axlna(logax)1xlna(arcsinx)11x21(arccosx)1x21(arctgx)1x21(arcctgx)1x2基本积分表：

三角函数的有理式积分：

tgxdxlncosxCctgxdxlnsinxCsecxdxlnsecxtgxCcscxdxlncscxctgxCdx1xarctgCa2x2aadx1xalnx2a22axaCdx1axlna2x22aaxCdxxarcsinCa2x2a2ndx2sec2cosxxdxtgxCdx2sin2xcscxdxctgxCsecxtgxdxsecxCcscxctgxdxcscxCaxadxlnaCxshxdxchxCchxdxshxCdxx2a2ln(xx2a2)C2Insinxdxcosnxdx00n1In2n

x2a22xadxxaln(xx2a2)C22x2a2222xadxxalnxx2a2C22xa2x2222axdxaxarcsinC22a22一些初等函数： 两个重要极限： 4

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shxexex双曲正弦:2双曲余弦:chxexex2:thxshxexex双曲正切chxexexarshxln(xx21）archxln(xx21)arthx11x2ln1x

·和差角公式： sin()sincoscossincos()coscossinsintg()tgtg1tgtgctg()ctgctg1ctgctg

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limsinxx0x1 limx(11x)xe2.718281828459045...

·和差化积公式：

sinsin2sin2cos2sinsin2cos2sin2coscos2cos2cos2coscos2sin2sin2 -

·倍角公式：

sin22sincoscos22cos2112sin2cos2sin2ctg21ctg22ctg2tgtg21tg2

·半角公式：

sin33sin4sin3cos34cos33cos3tgtg3tg313tg2sintg21cos1cos　　　　　　　　　　　　cos2221cos1cossin1cos1cossin　　ctg1cossin1cos21cossin1cosabc2R ·余弦定理：c2a2b22abcosC sinAsinBsinC2

·正弦定理：

·反三角函数性质：arcsinx

中值定理与导数应用：

2arccosx　　　arctgx2arcctgx

拉格朗日中值定理：f(b)f(a)f()(ba)f(b)f(a)f()柯西中值定理：F(b)F(a)F() ：

空间解析几何和向量代数 6

当F(x)x时，柯西中值定理就是拉格朗日中值定理。 -

空间2点的距离：dM1M2(x2x1)2(y2y1)2(z2z1)2向量在轴上的投影：PrjuABABcos,是AB与u轴的夹角。Prju(a1a2)Prja1Prja2ababcosaxbxaybyazbz,是一个数量,两向量之间的夹角：cosicabaxbxjaybykaxbxaybyazbzaxayazbxbybz222222az,cabsin.例：线速度：vwr.bzaybycyazczbzabccos,为锐角时，

ax向量的混合积：[abc](ab)cbxcx代表平行六面体的体积。1、点法式：A(xx0)B(yy0)C(zz0)0，其中n{A,B,C},M0(x0,y0,z0)2、一般方程：AxByCzD0xyz3、截距世方程：1abc平面外任意一点到该平面的距离：dAx0By0Cz0DA2B2C2平面的方程：xx0mtxxyy0zz0空间直线的方程：0t,其中s{m,n,p};参数方程：yy0ntmnpzzpt0二次曲面：x2y2z21、椭球面：2221abcx2y22、抛物面：z（,p,q同号）2p2q3、双曲面：x2y2z2单叶双曲面：2221abcx2y2z2双叶双曲面：222（马鞍面）1abc

多元函数微分法及应用 7

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全微分：dzzzuuudxdy　　　dudxdydzxyxyz全微分的近似计算：zdzfx(x,y)xfy(x,y)y多元复合函数的求导法：dzzuzvzf[u(t),v(t)]　　　　dtutvtzzuzvzf[u(x,y),v(x,y)]　　　　xuxvx当uu(x,y)，vv(x,y)时，uuvvdudxdy　　　dvdxdy　xyxy隐函数的求导公式：FxFFdydyd2y隐函数F(x,y)0，　　，　　2(x)＋(x)dxFyxFyyFydxdxFyFxzz隐函数F(x,y,z)0，　，　　xFzyFz

微分法在几何上的应用：

x(t)xxyy0zz0空间曲线y(t)在点M(x0,y0,z0)处的切线方程：0(t)(t)(t0)00z(t)在点M处的法平面方程：(t0)(xx0)(t0)(yy0)(t0)(zz0)0FyFzFzFxFxF(x,y,z)0若空间曲线方程为：,则切向量T{,,GGGxGxyzGzG(x,y,z)0曲面F(x,y,z)0上一点M(x0,y0,z0)，则：1、过此点的法向量：n{Fx(x0,y0,z0),Fy(x0,y0,z0),Fz(x0,y0,z0)}xx0yy0zz03、过此点的法线方程：Fx(x0,y0,z0)Fy(x0,y0,z0)Fz(x0,y0,z0)方向导数与梯度：

FyGy}2、过此点的切平面方程：Fx(x0,y0,z0)(xx0)Fy(x0,y0,z0)(yy0)Fz(x0,y0,z0)(zz0)08

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fff函数zf(x,y)在一点p(x,y)沿任一方向l的方向导数为：cossinlxy其中为x轴到方向l的转角。ff函数zf(x,y)在一点p(x,y)的梯度：gradf(x,y)ijxy

f它与方向导数的关系是：gradf(x,y)e，其中ecosisinj，为l方向上的l单位向量。f是gradf(x,y)在l上的投影。l多元函数的极值及其求法：

设fx(x0,y0)fy(x0,y0)0，令：fxx(x0,y0)A,　fxy(x0,y0)B,　fyy(x0,y0)C2A0,(x0,y0)为极大值BAC0时，A0,(x0,y0)为极小值2则：值BAC0时，　　　　　　无极B2AC0时,　　　　　　　不确定

柱面坐标和球面坐标：

曲线积分：

第一类曲线积分（对弧长的曲线积分）：x(t)设f(x,y)在L上连续，L的参数方程为：,　　(t),则：y(t)Lxtf(x,y)dsf[(t),(t)]2(t)2(t)dt　　()　　特殊情况：y(t)9

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第二类曲线积分（对坐标的曲线积分）：x(t)设L的参数方程为，则：y(t)P(x,y)dxQ(x,y)dy{P[(t),(t)](t)Q[(t),(t)](t)}dtL两类曲线积分之间的关系：PdxQdyL(PcosQcos)ds，其中和分别为LL上积分起止点处切向量的方向角。格林公式：(DQP)dxdyxyPdxQdy格林公式：(xLDQP)dxdyy1PdxQdyLQP当Py,Qx，即：2时，得到D的面积：Axy·平面上曲线积分与路径无关的条件：1、G是一个单连通区域；2、P(x,y)，Q(x,y)在G内具有一阶连续偏导数，且减去对此奇点的积分，注意方向相反！·二元函数的全微分求积：在dxdy2xdyydxDLQP＝。注意奇点，如(0,0)，应xy

QP＝时，PdxQdy才是二元函数u(x,y)的全微分，其中：xy(x,y)u(x,y)(x0,y0)P(x,y)dxQ(x,y)dy，通常设x0y00。

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