一、选择题（本大题共 16 小题，共 42 分。 1 ～ 10 小题各 3 分， 11 ～ 16 小题各 2 分，小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 ．（ 3 分）下列运算结果为正数的是（ ）
A ．（﹣ 3 ） 2 B ．﹣ 3 ÷ 2 C ． 0 × （﹣ 2020 ） D ． 2 ﹣ 3 2 ．（ 3 分）把 0.0813 写成 a × 10 n （ 1 ≤ a ＜ 10 ， n 为整数）的形式，则 a 为（ ）
A ． 1 B ．﹣ 2 C ． 0.813 D ． 8.13
3 ．（ 3 分）用量角器测得 ∠ MON 的度数，下列操作正确的是（ ）
A ．
B ． C ．
D ．
4 ．（ 3 分） = （ ）
A ． B ． C ． D ．
5 ．（ 3 分）图 1 和图 2 中所有的小正方形都全等，将图 1 的正方形放在图 2 中 ①②③④ 的某一位置，使它与原来 7 个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是（ ）
A ． ① B ． ② C ． ③ D ． ④
6 ．（ 3 分）如图为张小亮的答卷，他的得分应是（ ）
A ． 100 分 B ． 80 分 C ． 60 分 D ． 40 分
7 ．（ 3 分）若 △ ABC 的每条边长增加各自的 10% 得 △ A′B′C′ ，则 ∠ B′ 的度数与其对应角 ∠ B 的度数相比（ ） A ．增加了 10% B ．减少了 10% C ．增加了（ 1 + 10% ） D ．没有改变
8 ．（ 3 分）如图是由相同的小正方体木块粘在一起的几何体，它的主视图是（ ）
A ． B ． C ．
D ．
9 ．（ 3 分）求证：菱形的两条对角线互相垂直．
已知：如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC ， BD 交于点 O ． 求证： AC ⊥ BD ． 以下是排乱的证明过程： ① 又 BO=DO ；
②∴ AO ⊥ BD ，即 AC ⊥ BD ； ③∵ 四边形 ABCD 是菱形； ④∴ AB=AD ．
证明步骤正确的顺序是（ ）
A ． ③ → ② → ① → ④ B ． ③ → ④ → ① → ② C ． ① → ② → ④ → ③ D ． ① → ④ → ③ → ②
10 ．（ 3 分）如图，码头 A 在码头 B 的正西方向，甲、乙两船分别从 A ， B 同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东 35° ，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向 不能 是（ ）
A ．北偏东 55° B ．北偏西 55° C ．北偏东 35° D ．北偏西 35° 11 ．（ 2 分）如图是边长为 10cm 的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位： cm ） 不正确 的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
12 ．（ 2 分）如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项 错误 的是（ ）
A ． 4 + 4 ﹣ =6 B ． 4 + 4 0 + 4 0 =6 C ． 4 + ﹣ 1 ÷ + 4=6 13 ．（ 2 分）若
= +
=6 D ． 4
，则 中的数是（ ）
A ．﹣ 1 B ．﹣ 2 C ．﹣ 3 D ．任意实数
14 ．（ 2 分）甲、乙两组各有 12 名学生，组长绘制了本组 5 月份家庭用水量的统计图表，如图， 甲组 12 户家庭用水量统计表 用水量（吨） 户数
4 4
5 5
6 2
9 1
比较 5 月份两组家庭用水量的中位数，下列说法正确的是（ ）
A ．甲组比乙组大 B ．甲、乙两组相同 C ．乙组比甲组大 D ．无法判断
15 ．（ 2 分）如图，若抛物线 y= ﹣ x 2 + 3 与 x 轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为 k ，则反比例函数 y= ＞ 0 ）的图象是（ ）
（ x
A ． B ． C ．
D ．
16 ．（ 2 分）已知正方形 MNOK 和正六边形 ABCDEF 边长均为 1 ，把正方形放在正六边形中，使 OK 边与 AB 边重合，如图所示，按下列步骤操作： 将正方形在正六边形中绕点 B 顺时针旋转，使 KM 边与 BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点 C 顺时针旋转，使 MN 边与 CD 边重合，完成第二次旋
转； … 在这样连续 6 次旋转的过程中，点 B ， M 间的距离可能是（ ）
A ． 1.4 B ． 1.1 C ． 0.8 D ． 0.5
二、填空题（本大题共 3 小题，共 10 分。 17 ～ 18 小题各 3 分； 19 小题有 2 个空，每空 2 分。把答案写在题中横线上）
17 ．（ 3 分）如图， A ， B 两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点 C ，连接 CA ， CB ，分别延长到点 M ， N ，使 AM=AC ， BN=BC ，测得 MN=200m ，则 A ， B 间的距离为 m ．
18 ．（ 3 分）如图，依据尺规作图的痕迹，计算 ∠ α= ° ．
19 ．（ 4 分）对于实数 p ， q ，我们用符号 min { p ， q } 表示 p ， q 两数中较小的数，如 min { 1 ， 2 } =1 ，因此， min { ﹣ ，﹣ } = ；若 min { （ x ﹣ 1 ） 2 ， x 2 } =1 ，则 x= ．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 68 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20 ．（ 8 分）在一条不完整的数轴上从左到右有点 A ， B ， C ，其中 AB=2 ， BC=1 ，如图所示，设点 A ， B ， C 所对应数的和是 p ． （ 1 ）若以 B 为原点，写出点 A ， C 所对应的数，并计算 p 的值；若以 C 为原点， p 又是多少？
（ 2 ）若原点 O 在图中数轴上点 C 的右边，且 CO=28 ，求 p ．
21 ．（ 9 分）编号为 1 ～ 5 号的 5 名学生进行定点投篮，规定每人投 5 次，每命中 1 次记 1 分，没有命中 记 0 分 ，如图是根据他们各自的累积得分绘制的条形统计图．之后来了第 6 号学生也按同样记分规定投了 5 次，其命中率为 40% ．
（ 1 ）求第 6 号学生的积分，并将图增补为这 6 名学生积分的条形统计图； （ 2 ）在这 6 名学生中，随机选一名学生，求选上命中率高于 50% 的学生的概率；
（ 3 ）最后，又来了第 7 号学生，也按同样记分规定投了 5 次，这时 7 名学生积分的众数仍是前 6 名学生积分的众数，求这个众数，以及第 7 号学生的积分．
22 ．（ 9 分） 发现 任意五个连续整数的平方和是 5 的倍数． 验证 （ 1 ）（﹣ 1 ） 2 + 0 2 + 1 2 + 2 2 + 3 2 的结果是 5 的几倍？ （ 2 ）设五个连续整数的中间一个为 n ，写出它们的平方和，并说明是 5 的倍数．
延伸 任意三个连续整数的平方和被 3 除的余数是几呢？请写出理由． 23 ．（ 9 分）如图， AB=16 ， O 为 AB 中点，点 C 在线段 OB 上（不与点 O ， B 重合），将 OC 绕点 O 逆时针旋转 270° 后得到扇形 COD ， AP ， BQ 分别切优弧 OP ．
于点 P ， Q ，且点 P ， Q 在 AB 异侧，连接
（ 1 ）求证： AP=BQ ； （ 2 ）当 BQ=4
时，求
的长（结果保留 π ）；
（ 3 ）若 △ APO 的外心在扇形 COD 的内部，求 OC 的取值范围．
24 ．（ 10 分）如图，直角坐标系 xOy 中， A （ 0 ， 5 ），直线 x= ﹣ 5 与 x 轴交于点 D ，直线 y= ﹣ x ﹣ 与 x 轴及直线 x= ﹣ 5 分别交于点 C ， E ，点 B ， E 关于 x 轴对称，连接 AB ． （ 1 ）求点 C ， E 的坐标及直线 AB 的解析式；
（ 2 ）设面积的和 S=S △ CDE + S 四边形 ABDO ，求 S 的值；
（ 3 ）在求（ 2 ）中 S 时，嘉琪有个想法： “ 将 △ CDE 沿 x 轴翻折到 △ CDB 的位置，而 △ CDB 与四边形 ABDO 拼接后可看成 △ AOC ，这样求 S 便转化为直接求 △ AOC 的面积不更快捷吗？ ” 但大家经反复演算，发现 S △ AOC ≠ S ，请通过计算解释他的想法错在哪里．
25 ．（ 11 分）平面内，如图，在 ▱ABCD 中， AB=10 ， AD=15 ， tanA= ，点 P 为 AD 边上任意点，连接 PB ，将 PB 绕点 P 逆时针旋转 90° 得到线段 PQ ．
（ 1 ）当 ∠ DPQ=10° 时，求 ∠ APB 的大小；
（ 2 ）当 tan ∠ ABP ： tanA=3 ： 2 时，求点 Q 与点 B 间的距离（结果保留根号）；
（ 3 ）若点 Q 恰好落在 ▱ABCD 的边所在的直线上，直接写出 PB 旋转到 PQ 所扫过的面积．（结果保留 π ）
26 ．（ 12 分）某厂按用户的月需求量 x （件）完成一种产品的生产，其中 x ＞ 0 ，每件的售价为 18 万元，每件的成本 y （万元）是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量 x （件）成反比，经市场调研发现，月需求量 x 与月份 n （ n 为整数， 1 ≤ n ≤ 12 ），符合关系式 x=2n 2 ﹣ 2kn + 9 （ k + 3 ）（ k 为常数），且得到了表中的数据． 月份 n （月） 成本 y （万元 / 件）
需求量 x （件 / 月）
1 11 120
2 12 100
（ 1 ）求 y 与 x 满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是 12 万元； （ 2 ）求 k ，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；
（ 3 ）在这一年 12 个月中，若第 m 个月和第（ m + 1 ）个月的利润相差最大，求 m ．
2020 年河北省中考数学试卷 参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共 16 小题，共 42 分。 1 ～ 10 小题各 3 分， 11 ～ 16 小题各 2 分，小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 ．（ 3 分）（ 2020• 河北）下列运算结果为正数的是（ ）
A ．（﹣ 3 ） 2 B ．﹣ 3 ÷ 2 C ． 0 × （﹣ 2020 ） D ． 2 ﹣ 3
【分析】 各项计算得到结果，即可做出判断． 【解答】 解： A 、原式 =9 ，符合题意； B 、原式 = ﹣ 1.5 ，不符合题意； C 、原式 =0 ，不符合题意， D 、原式 = ﹣ 1 ，不符合题意， 故选 A
【点评】 此题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
2 ．（ 3 分）（ 2020• 河北）把 0.0813 写成 a × 10 n （ 1 ≤ a ＜ 10 ， n 为整数）的形式，则 a 为（ ）
A ． 1 B ．﹣ 2 C ． 0.813 D ． 8.13
【分析】 绝对值小于 1 的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为 a × 10 ﹣ n ，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．
【解答】 解：把 0.0813 写成 a × 10 n （ 1 ≤ a ＜ 10 ， n 为整数）的形式，则 a 为 8.13 ， 故选： D ．
【点评】 本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为 a × 10 ﹣ n ，其中 1 ≤ | a | ＜ 10 ， n 为由原数左边起第一个不为零的数字前面的 0 的个数所决定．
3 ．（ 3 分）（ 2020• 河北）用量角器测得 ∠ MON 的度数，下列操作正确的是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
【分析】 根据量角器的使用方法进行选择即可． 【解答】 解：量角器的圆心一定要与 O 重合， 故选 C ．
【点评】 本题考查了角的概念，掌握量角器的使用方法是解题的关键．
4 ．（ 3 分）（ 2020• 河北） = （ ）
A ． B ． C ． D ．
【分析】 根据乘方和乘法的意义即可求解．
【解答】 解： 故选： B ．
= ．
【点评】 考查了有理数的混合运算，关键是熟练掌握乘方和乘法的意义．
5 ．（ 3 分）（ 2020• 河北）图 1 和图 2 中所有的小正方形都全等，将图 1 的正方形放在图 2 中 ①②③④ 的某一位置，使它与原来 7 个小正方形组成的图形是中心对称图形，这个位置是（ ）
A ． ① B ． ② C ． ③ D ． ④
【分析】 根据把一个图形绕某一点旋转 180° ，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心，进而得出答案．
【解答】 解：当正方形放在 ③ 的位置，即是中心对称图形． 故选： C ．
【点评】 此题主要考查了中心对称图形的定义，正确把握定义是解题关键．
6 ．（ 3 分）（ 2020• 河北）如图为张小亮的答卷，他的得分应是（ ）
A ． 100 分 B ． 80 分 C ． 60 分 D ． 40 分
【分析】 根据绝对值、倒数、相反数、立方根以及平均数进行计算即可． 【解答】 解：﹣ 1 的绝对值为 1 ， 2 的倒数为
，
﹣ 2 的相反数为 2 ， 1 的立方根为 1 ，
﹣ 1 和 7 的平均数为 3 ， 故小亮得了 80 分， 故选 B ．
【点评】 本题考查了实数，掌握绝对值、倒数、相反数、立方根以及平均数的定义是解题的关键．
7 ．（ 3 分）（ 2020• 河北）若 △ ABC 的每条边长增加各自的 10% 得 △ A′B′C′ ，则 ∠ B′ 的度数与其对应角 ∠ B 的度数相比（ ） A ．增加了 10% B ．减少了 10% C ．增加了（ 1 + 10% ） D ．没有改变
【分析】 根据两个三角形三边对应成比例，这两个三角形相似判断出两个三角形相似，再根据相似三角形对应角相等解答．
【解答】 解： ∵△ ABC 的每条边长增加各自的 10% 得 △ A′B′C′ ， ∴△ ABC 与 △ A′B′C′ 的三边对应成比例，
∴△ ABC ∽△ A′B′C′ ， ∴∠ B′= ∠ B ． 故选 D ．
【点评】 本题考查了相似图形，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键．
8 ．（ 3 分）（ 2020• 河北）如图是由相同的小正方体木块粘在一起的几何体，它的主视图是（ ）
A ． B ． C ．
D ．
【分析】 根据从正面看得到的图形是主视图，可得答案．
【解答】 解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层左边两个小正方形， 故选： A ．
【点评】 本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图．
9 ．（ 3 分）（ 2020• 河北）求证：菱形的两条对角线互相垂直． 已知：如图，四边形 ABCD 是菱形，对角线 AC ， BD 交于点 O ． 求证： AC ⊥ BD ． 以下是排乱的证明过程：
① 又 BO=DO ；
②∴ AO ⊥ BD ，即 AC ⊥ BD ； ③∵ 四边形 ABCD 是菱形； ④∴ AB=AD ．
证明步骤正确的顺序是（ ）
A ． ③ → ② → ① → ④ B ． ③ → ④ → ① → ② C ． ① → ② → ④ → ③ D ． ① → ④ → ③ → ②
【分析】 根据菱形是特殊的平行四边形以及等腰三角形的性质证明即可． 【解答】 证明：
∵ 四边形 ABCD 是菱形， ∴ AB=AD ，
∵ 对角线 AC ， BD 交于点 O ， ∴ BO=DO ， ∴ AO ⊥ BD ， 即 AC ⊥ BD ，
∴ 证明步骤正确的顺序是 ③ → ④ → ① → ② ， 故选 B ．
【点评】 本题考查了菱形对角线互相垂直平分的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
10 ．（ 3 分）（ 2020• 河北）如图，码头 A 在码头 B 的正西方向，甲、乙两船分别从 A ， B 同时出发，并以等速驶向某海域，甲的航向是北偏东 35° ，为避免行进中甲、乙相撞，则乙的航向 不能 是（ ）
A ．北偏东 55° B ．北偏西 55° C ．北偏东 35° D ．北偏西 35° 【分析】 根据已知条件即可得到结论．
【解答】 解： ∵ 甲的航向是北偏东 35° ，为避免行进中甲、乙相撞， ∴ 乙的航向不能是北偏西 35° ， 故选 D ．
【点评】 本题主要考查的是方向角问题，理解方向角的定义是解决本题的关键．
11 ．（ 2 分）（ 2020• 河北）如图是边长为 10cm 的正方形铁片，过两个顶点剪掉一个三角形，以下四种剪法中，裁剪线长度所标的数据（单位： cm ） 不正确 的是（ ）
A ． B ． C ． D ．
【分析】 利用勾股定理求出正方形的对角线为 10 不正确．
≈ 14 ，由此即可判定 A
【解答】 解：选项 A 不正确．理由正方形的边长为 10 ，所以对角线 =10 ≈ 14 ， 因为 15 ＞ 14 ，所以这个图形不可能存在． 故选 A ．
【点评】 本题考查正方形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用勾股定理求出正方形的对角线的长．
12 ．（ 2 分）（ 2020• 河北）如图是国际数学日当天淇淇和嘉嘉的微信对话，根据对话内容，下列选项 错误 的是（ ）
A ． 4 + 4 ﹣ =6 B ． 4 + 4 0 + 4 0 =6 C ． 4 + ﹣ 1 ÷ + 4=6
=6 D ． 4
【分析】 根据实数的运算方法，求出每个选项中左边算式的结果是多少，判断出哪个算式错误即可． 【解答】 解： ∵ 4 + 4 ﹣ ∴ 选项 A 不符合题意；
∵ 4 + 4 0 + 4 0 =6 ， ∴ 选项 B 不符合题意； ∵ 4 +
=6 ，
=6 ，
∴ 选项 C 不符合题意；
∵ 4 ﹣ 1 ÷
+ 4=4
，
∴ 选项 D 符合题意．
故选： D ．
【点评】 此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内仍然适用．
13 ．（ 2 分）（ 2020• 河北）若 （ ）
= +
，则 中的数是
A ．﹣ 1 B ．﹣ 2 C ．﹣ 3 D ．任意实数 【分析】 直接利用分式加减运算法则计算得出答案． 【解答】 解： ∵ ∴
﹣
=
= + =
= ，
= ﹣ 2 ，
故 ____ 中的数是﹣ 2 ． 故选： B ．
【点评】 此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握分式加减运算法则是解题关键．
14 ．（ 2 分）（ 2020• 河北）甲、乙两组各有 12 名学生，组长绘制了本组 5 月份家庭用水量的统计图表，如图， 甲组 12 户家庭用水量统计表 用水量（吨） 户数
4 4
5 5
6 2
9 1
比较 5 月份两组家庭用水量的中位数，下列说法正确的是（ ）
A ．甲组比乙组大 B ．甲、乙两组相同 C ．乙组比甲组大 D ．无法判断 【分析】 根据中位数定义分别求解可得． 【解答】 解：由统计表知甲组的中位数为 乙组的 4 吨和 6 吨的有 12 ×
=5 （吨），
=2 户，
=3 （户）， 7 吨的有 12 ×
则 5 吨的有 12 ﹣（ 3 + 3 + 2 ） =4 户， ∴ 乙组的中位数为
=5 （吨），
则甲组和乙组的中位数相等， 故选： B ．
【点评】 本题主要考查中位数和扇形统计图，根据扇形图中各项目的圆心角求得其数量是解题的关键．
15 ．（ 2 分）（ 2020• 河北）如图，若抛物线 y= ﹣ x 2 + 3 与 x 轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）的个数为 k ，则反比例函数 y=
（ x ＞ 0 ）的图象是（ ）
A ． B ． C ．
D ．
【分析】 找到函数图象与 x 轴、 y 轴的交点，得出 k=4 ，即可得出答案． 【解答】 解：抛物线 y= ﹣ x 2 + 3 ，当 y=0 时， x= ± 当 x=0 时， y=3 ，
则抛物线 y= ﹣ x 2 + 3 与 x 轴围成封闭区域（边界除外）内整点（点的横、纵坐标都是整数）为（﹣ 1 ， 1 ），（ 0 ， 1 ），（ 0 ， 2 ），（ 1 ， 1 ）；共有 4 个， ∴ k=4 ； 故选： D ．
【点评】 本题考查了二次函数图象和性质、反比例函数的图象，解决本题的关键是求出 k 的值．
16 ．（ 2 分）（ 2020• 河北）已知正方形 MNOK 和正六边形 ABCDEF 边长均为 1 ，把正方形放在正六边形中，使 OK 边与 AB 边重合，如图所示，按下列步骤操作：
将正方形在正六边形中绕点 B 顺时针旋转，使 KM 边与 BC 边重合，完成第一次旋转；再绕点 C 顺时针旋转，使 MN 边与 CD 边重合，完成第二次旋
转； … 在这样连续 6 次旋转的过程中，点 B ， M 间的距离可能是（ ）
；
A ． 1.4 B ． 1.1 C ． 0.8 D ． 0.5
【分析】 如图，在这样连续 6 次旋转的过程中，点 M 的运动轨迹是图中的红线，观察图象可知点 B ， M 间的距离大于等于 2 ﹣ 小于等于 1 ，由此即可判断．
【解答】 解：如图，在这样连续 6 次旋转的过程中，点 M 的运动轨迹是图中的红线，
观察图象可知点 B ， M 间的距离大于等于 2 ﹣ 故选 C ．
小于等于 1 ，
【点评】 本题考查正六边形、正方形的性质等知识，解题的关键作出点 M 的运动轨迹，利用图象解决问题，题目有一定的难度．
二、填空题（本大题共 3 小题，共 10 分。 17 ～ 18 小题各 3 分； 19 小题有 2 个空，每空 2 分。把答案写在题中横线上）
17 ．（ 3 分）（ 2020• 河北）如图， A ， B 两点被池塘隔开，不能直接测量其距离．于是，小明在岸边选一点 C ，连接 CA ， CB ，分别延长到点 M ， N ，使 AM=AC ， BN=BC ，测得 MN=200m ，则 A ， B 间的距离为 100 m ．
【分析】 根据三角形中位线定理计算即可． 【解答】 解： ∵ AM=AC ， BN=BC ， ∴ AB 是 △ ABC 的中位线， ∴ AB=
MN=100m ，
故答案为： 100 ．
【点评】 本题考查的是三角形的中位线定理的应用，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题的关键．
18 ．（ 3 分）（ 2020• 河北）如图，依据尺规作图的痕迹，计算 ∠ α= 56 ° ．
【分析】 先根据矩形的性质得出 AD ∥ BC ，故可得出 ∠ DAC 的度数，由角平分线的定义求出 ∠ EAF 的度数，再由 EF 是线段 AC 的垂直平分线得出 ∠ AEF 的度数，根据三角形内角和定理得出 ∠ AFE 的度数，进而可得出结论． 【解答】 解： ∵ 四边形 ABCD 是矩形， ∴ AD ∥ BC ，
∴∠ DAC= ∠ ACB=68° ．
∵ 由作法可知， AF 是 ∠ DAC 的平分线， ∴∠ EAF=
∠ DAC=34° ．
∵ 由作法可知， EF 是线段 AC 的垂直平分线，
∴∠ AEF=90° ，
∴∠ AFE=90° ﹣ 34°=56° ， ∴∠ α=56° ． 故答案为： 56 ．
【点评】 本题考查的是作图﹣基本作图，熟知角平分线及线段垂直平分线的作法是解答此题的关键．
19 ．（ 4 分）（ 2020• 河北）对于实数 p ， q ，我们用符号 min { p ， q } 表示 p ， q 两数中较小的数，如 min { 1 ， 2 } =1 ，因此， min { ﹣ ，﹣ } = ﹣ ；若 min { （ x ﹣ 1 ） 2 ， x 2 } =1 ，则 x= 2 或﹣ 1 ．
【分析】 首先理解题意，进而可得 min { ﹣ ，﹣ } = ﹣ ， min { （ x ﹣ 1 ） 2 ， x 2 } =1 时再分情况讨论，当 x=0.5 时， x ＞ 0.5 时和 x ＜ 0.5 时，进而可得答案． 【解答】 解： min { ﹣
，﹣
} = ﹣
，
∵ min { （ x ﹣ 1 ） 2 ， x 2 } =1 ，
当 x=0.5 时， x 2 = （ x ﹣ 1 ） 2 ，不可能得出，最小值为 1 ， ∴ 当 x ＞ 0.5 时，（ x ﹣ 1 ） 2 ＜ x 2 ， 则（ x ﹣ 1 ） 2 =1 ， x ﹣ 1= ± 1 ，
x ﹣ 1=1 ， x ﹣ 1= ﹣ 1 ，
解得： x 1 =2 ， x 2 =0 （不合题意，舍去）， 当 x ＜ 0.5 时，（ x ﹣ 1 ） 2 ＞ x 2 ， 则 x 2 =1 ，
解得： x 1 =1 （不合题意，舍去）， x 2 = ﹣ 1 ， 故答案为：
； 2 或﹣ 1 ．
【点评】 此题主要考查了实数的比较大小，以及二次函数的性质，关键是正确理解题意．
三、解答题（本大题共 7 小题，共 68 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
20 ．（ 8 分）（ 2020• 河北）在一条不完整的数轴上从左到右有点 A ， B ， C ，其中 AB=2 ， BC=1 ，如图所示，设点 A ， B ， C 所对应数的和是 p ．
（ 1 ）若以 B 为原点，写出点 A ， C 所对应的数，并计算 p 的值；若以 C 为原点， p 又是多少？
（ 2 ）若原点 O 在图中数轴上点 C 的右边，且 CO=28 ，求 p ．
【分析】 （ 1 ）根据以 B 为原点，则 C 表示 1 ， A 表示﹣ 2 ，进而得到 p 的值；根据以 C 为原点，则 A 表示﹣ 3 ， B 表示﹣ 1 ，进而得到 p 的值；
（ 2 ）根据原点 O 在图中数轴上点 C 的右边，且 CO=28 ，可得 C 表示﹣ 28 ， B 表示﹣ 29 ， A 表示﹣ 31 ，据此可得 p 的值．
【解答】 解：（ 1 ）若以 B 为原点，则 C 表示 1 ， A 表示﹣ 2 ， ∴ p=1 + 0 ﹣ 2= ﹣ 1 ；
若以 C 为原点，则 A 表示﹣ 3 ， B 表示﹣ 1 ， ∴ p= ﹣ 3 ﹣ 1 + 0= ﹣ 4 ；
（ 2 ）若原点 O 在图中数轴上点 C 的右边，且 CO=28 ，则 C 表示﹣ 28 ， B 表示﹣ 29 ， A 表示﹣ 31 ， ∴ p= ﹣ 31 ﹣ 29 ﹣ 28= ﹣ 88 ．
【点评】 本题主要考查了两点间的距离以及数轴的运用，解题时注意：连接两点间的线段的长度叫两点间的距离．
21 ．（ 9 分）（ 2020• 河北）编号为 1 ～ 5 号的 5 名学生进行定点投篮，规定每人投 5 次，每命中 1 次记 1 分，没有命中 记 0 分 ，如图是根据他们各自的累积得分绘制的条形统计图．之后来了第 6 号学生也按同样记分规定投了 5 次，其命中率为 40% ．
（ 1 ）求第 6 号学生的积分，并将图增补为这 6 名学生积分的条形统计图； （ 2 ）在这 6 名学生中，随机选一名学生，求选上命中率高于 50% 的学生的概率；
（ 3 ）最后，又来了第 7 号学生，也按同样记分规定投了 5 次，这时 7 名学生积分的众数仍是前 6 名学生积分的众数，求这个众数，以及第 7 号学生的积分．
【分析】 （ 1 ）由第 6 名学生命中的个数为 5 × 40%=2 可得答案，并补全条形图；
（ 2 ）由这 6 名学生中，命中次数多于 5 × 50%=2.5 次的有 2 、 3 、 4 、 5 号这 4 名学生，根据概率公式可得；
（ 3 ）根据众数的定义得出前 6 名学生积分的众数即可得． 【解答】 解：（ 1 ）第 6 名学生命中的个数为 5 × 40%=2 ， 则第 6 号学生的积分为 2 分， 补全条形统计图如下：
（ 2 ）这 6 名学生中，命中次数多于 5 × 50%=2.5 次的有 2 、 3 、 4 、 5 号这 4 名学生，
∴ 选上命中率高于 50% 的学生的概率为 = ；
（ 3 ）由于前 6 名学生积分的众数为 3 分， ∴ 第 7 号学生的积分为 3 分或 0 分．
【点评】 本题主要考查众数的定义和条形统计图及概率公式，熟练掌握概率公式的计算和众数的定义是解题的关键．
22 ．（ 9 分）（ 2020• 河北） 发现 任意五个连续整数的平方和是 5 的倍数．
验证 （ 1 ）（﹣ 1 ） 2 + 0 2 + 1 2 + 2 2 + 3 2 的结果是 5 的几倍？ （ 2 ）设五个连续整数的中间一个为 n ，写出它们的平方和，并说明是 5 的倍数．
延伸 任意三个连续整数的平方和被 3 除的余数是几呢？请写出理由． 【分析】 验证（ 1 ）计算（﹣ 1 ） 2 + 0 2 + 1 2 + 2 2 + 3 2 的结果，再将结果除以 5 即可；
（ 2 ）用含 n 的代数式分别表示出其余的 4 个整数，再将它们的平方相加，化简得出它们的平方和，再证明是 5 的倍数；
延伸：设三个连续整数的中间一个为 n ，用含 n 的代数式分别表示出其余的 2 个整数，再将它们相加，化简得出三个连续整数的平方和，再除以 3 得到余数． 【解答】 解：发现任意五个连续整数的平方和是 5 的倍数．
验证（ 1 ）（﹣ 1 ） 2 + 0 2 + 1 2 + 2 2 + 3 2 =1 + 0 + 1 + 4 + 9=15 ， 15 ÷ 5=3 ，
即（﹣ 1 ） 2 + 0 2 + 1 2 + 2 2 + 3 2 的结果是 5 的 3 倍；
（ 2 ）设五个连续整数的中间一个为 n ，则其余的 4 个整数分别是 n ﹣ 2 ， n ﹣ 1 ， n + 1 ， n + 2 ，
它们的平方和为：（ n ﹣ 2 ） 2 + （ n ﹣ 1 ） 2 + n 2 + （ n + 1 ） 2 + （ n + 2 ） 2
=n 2 ﹣ 4n + 4 + n 2 ﹣ 2n + 1 + n 2 + n 2 + 2n + 1 + n 2 + 4n + 4 =5n 2 + 10 ，
∵ 5n 2 + 10=5 （ n 2 + 2 ），
又 n 是整数， ∴ n 2 + 2 是整数，
∴ 五个连续整数的平方和是 5 的倍数；
延伸设三个连续整数的中间一个为 n ，则其余的 2 个整数是 n ﹣ 1 ， n + 1 ，
它们的平方和为：（ n ﹣ 1 ） 2 + n 2 + （ n + 1 ） 2 =n 2 ﹣ 2n + 1 + n 2 + n 2 + 2n + 1 =3n 2 + 2 ， ∵ n 是整数， ∴ n 2 是整数，
∴ 任意三个连续整数的平方和被 3 除的余数是 2 ．
【点评】 本题考查了因式分解的应用，完全平方公式，整式的加减运算，解题的关键是掌握合并同类项的法则并且能够正确运算．
23 ．（ 9 分）（ 2020• 河北）如图， AB=16 ， O 为 AB 中点，点 C 在线段 OB 上（不与点 O ， B 重合），将 OC 绕点 O 逆时针旋转 270° 后得到扇形 COD ， AP ， BQ 分别切优弧 AB 异侧，连接 OP ． （ 1 ）求证： AP=BQ ； （ 2 ）当 BQ=4
时，求
的长（结果保留 π ）；
于点 P ， Q ，且点 P ， Q 在
（ 3 ）若 △ APO 的外心在扇形 COD 的内部，求 OC 的取值范围．
【分析】 （ 1 ）连接 OQ ．只要证明 Rt △ APO ≌ Rt △ BQO 即可解决问题； （ 2 ）求出优弧 DQ 的圆心角以及半径即可解决问题；
（ 3 ）由 △ APO 的外心是 OA 的中点， OA=8 ，推出 △ APO 的外心在扇形 COD 的内部时， OC 的取值范围为 4 ＜ OC ＜ 8 ；
【解答】 （ 1 ）证明：连接 OQ ．
∵ AP 、 BQ 是 ⊙ O 的切线， ∴ OP ⊥ AP ， OQ ⊥ BQ ， ∴∠ APO= ∠ BQO=90° ，
在 Rt △ APO 和 Rt △ BQO 中，
，
∴ Rt △ APO ≌ Rt △ BQO ， ∴ AP=BQ ．
（ 2 ） ∵ Rt △ APO ≌ Rt △ BQO ， ∴∠ AOP= ∠ BOQ ，
∴ P 、 O 、 Q 三点共线， ∵ 在 Rt △ BOQ 中， cosB= ∴∠ B=30° ， ∠ BOQ=60° ， ∴ OQ=
OB=4 ，
=
=
，
∵∠ COD=90° ，
∴∠ QOD=90° + 60°=150° ， ∴ 优弧
的长 =
=
π ，
（ 3 ） ∵△ APO 的外心是 OA 的中点， OA=8 ，
∴△ APO 的外心在扇形 COD 的内部时， OC 的取值范围为 4 ＜ OC ＜ 8 ． 【点评】 本题考查切线的性质、弧长公式、全等三角形的判定和性质、三角形的外心等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
24 ．（ 10 分）（ 2020• 河北）如图，直角坐标系 xOy 中， A （ 0 ， 5 ），直线 x= ﹣ 5 与 x 轴交于点 D ，直线 y= ﹣ x ﹣ 与 x 轴及直线 x= ﹣ 5 分别交于点 C ， E ，点 B ， E 关于 x 轴对称，连接 AB ．
（ 1 ）求点 C ， E 的坐标及直线 AB 的解析式；
（ 2 ）设面积的和 S=S △ CDE + S 四边形 ABDO ，求 S 的值；
（ 3 ）在求（ 2 ）中 S 时，嘉琪有个想法： “ 将 △ CDE 沿 x 轴翻折到 △ CDB 的位置，而 △ CDB 与四边形 ABDO 拼接后可看成 △ AOC ，这样求 S 便转化为直接求 △ AOC 的面积不更快捷吗？ ” 但大家经反复演算，发现 S △ AOC ≠ S ，请通过计算解释他的想法错在哪里．
【分析】 （ 1 ）利用坐标轴上点的特点确定出点 C 的坐标，再利用直线的交点坐标的确定方法求出点 E 坐标，进而得到点 B 坐标，最后用待定系数法求出直线 AB 解析式；
（ 2 ）直接利用直角三角形的面积计算方法和直角梯形的面积的计算即可得出结论，
（ 3 ）先求出直线 AB 与 x 轴的交点坐标，判断出点 C 不在直线 AB 上，即可．
【解答】 解：（ 1 ）在直线 y= ﹣ 令 y=0 ，则有 0= ﹣ ∴ x= ﹣ 13 ，
∴ C （﹣ 13 ， 0 ）， 令 x= ﹣ 5 ，则有 y= ﹣
× （﹣ 5 ）﹣
= ﹣ 3 ，
x ﹣
，
x ﹣
中，
∴ E （﹣ 5 ，﹣ 3 ）， ∵ 点 B ， E 关于 x 轴对称， ∴ B （﹣ 5 ， 3 ）， ∵ A （ 0 ， 5 ），
∴ 设直线 AB 的解析式为 y=kx + 5 ， ∴ ﹣ 5k + 5=3 ， ∴ k=
，
x + 5 ；
∴ 直线 AB 的解析式为 y=
（ 2 ）由（ 1 ）知， E （﹣ 5 ，﹣ 3 ）， ∴ DE=3 ，
∵ C （﹣ 13 ， 0 ），
∴ CD= ﹣ 5 ﹣（﹣ 13 ） =8 ， ∴ S △ CDE =
CD × DE=12 ，
由题意知， OA=5 ， OD=5 ， BD=3 ， ∴ S 四边形 ABDO =
（ BD + OA ） × OD=20 ，
∴ S=S △ CDE + S 四边形 ABDO =12 + 20=32 ， （ 3 ）由（ 2 ）知， S=32 ， 在 △ AOC 中， OA=5 ， OC=13 ， ∴ S △ AOC =
OA × OC= =32.5 ，
∴ S ≠ S △ AOC ，
理由：由（ 1 ）知，直线 AB 的解析式为 y= 令 y=0 ，则 0=
x + 5 ，
x + 5 ，
∴ x= ﹣ ≠ ﹣ 13 ，
∴ 点 C 不在直线 AB 上，
即：点 A ， B ， C 不在同一条直线上， ∴ S △ AOC ≠ S ．
【点评】 此题是一次函数综合题，主要考查了坐标轴上点的特点，对称的性质，待定系数法，三角形，直角梯形的面积的计算，解（ 1 ）的关键是确定出点 C ， E 的坐标，解（ 2 ）的关键是特殊几何图形的面积的计算，解（ 3 ）的关键是确定出直线 AB 与 x 轴的交点坐标，是一道常规题．
25 ．（ 11 分）（ 2020• 河北）平面内，如图，在 ▱ABCD 中， AB=10 ， AD=15 ， tanA= ，点 P 为 AD 边上任意点，连接 PB ，将 PB 绕点 P 逆时针旋转 90° 得到线段 PQ ． （ 1 ）当 ∠ DPQ=10° 时，求 ∠ APB 的大小；
（ 2 ）当 tan ∠ ABP ： tanA=3 ： 2 时，求点 Q 与点 B 间的距离（结果保留根号）；
（ 3 ）若点 Q 恰好落在 ▱ABCD 的边所在的直线上，直接写出 PB 旋转到 PQ 所扫过的面积．（结果保留 π ）
【分析】 （ 1 ）分两种情形 ① 当点 Q 在平行四边形 ABCD 内时， ② 当点 Q 在平行四边形 ABCD 外时，分别求解即可；
（ 2 ）如图 2 中，连接 BQ ，作 PE ⊥ AB 于 E ．在 Rt △ APE 中， tanA=
=
，设 PE=4k ，则 AE=3k ，在 Rt △ PBE 中， tan ∠ ABP=
=2 ，推出 EB=2k ，推出 AB=5k=10 ，可得 k=2 ，由此即可解决问题； （ 3 ）分三种情形分别求解即可；
【解答】 解：（ 1 ）如图 1 中，
① 当点 Q 在平行四边形 ABCD 内时， ∠ AP′B=180° ﹣ ∠ Q′P′B Q′P′D=180° ﹣ 90° ﹣ 10°=80° ， ② 当点 Q 在平行四边形 ABCD 外时， ∠ APB=180° ﹣（ ∠ QPB QPD ） =180° ﹣（ 90° ﹣ 10° ） =100° ， 综上所述，当 ∠ DPQ=10° 时， ∠ APB 的值为 80° 或 100° ． （ 2 ）如图 2 中，连接 BQ ，作 PE ⊥ AB 于 E ．
∵ tan ∠ ABP ： tanA=3 ： 2 ， tanA= ，
∴ tan ∠ ABP=2 ， 在 Rt △ APE 中， tanA=
=
，设 PE=4k ，则 AE=3k ， 在 Rt △ PBE 中， tan ∠ ABP= =2 ，
∴ EB=2k ，
∠ ∠ ﹣﹣∴ AB=5k=10 ， ∴ k=2 ，
∴ PE=8 ， EB=4 ， ∴ PB=
=4
，
∵△ BPQ 是等腰直角三角形， ∴ BQ=
PB=4
．
（ 3 ） ① 如图 3 中，当点 Q 落在直线 BC 上时，作 BE ⊥ AD 于 E ， PF ⊥ BC 于 F ．则四边形 BEPF 是矩形．
在 Rt △ AEB 中， ∵ tanA= ∴ BE=8 ， AE=6 ， ∴ PF=BE=8 ，
∵△ BPQ 是等腰直角三角形， PF ⊥ BQ ， ∴ PF=BF=FQ=8 ， ∴ PB=PQ=8
，
=
， ∵ AB=10 ，
∴ PB 旋转到 PQ 所扫过的面积 = =32π ．
② 如图 4 中，当点 Q 落在 CD 上时，作 BE ⊥ AD 于 E ， QF ⊥ AD 交 AD 的延长线于 F ．设 PE=x ．
易证 △ PBE ≌△ QPF ， ∴ PE=QF=x ， EB=PF=8 ，
∴ DF=AE + PE + PF ﹣ AD=x ﹣ 1 ， ∵ CD ∥ AB ， ∴∠ FDQ= ∠ A ， ∴ tan ∠ FDQ=tanA= ∴
=
，
=
，
∴ x=4 ， ∴ PE=4 ，
=4
，
=4
，
在 Rt △ PEB 中， PB= ，
∴ PB 旋转到 PQ 所扫过的面积 = ③ 如图 5 中，
=20π
当点 Q 落在 AD 上时，易知 PB=PQ=8 ，
∴ PB 旋转到 PQ 所扫过的面积 = =16π ，
综上所述， PB 旋转到 PQ 所扫过的面积为 32π 或 20π 或 16π ．
【点评】 本题考查四边形综合题、平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、锐角三角函数、勾股定理、扇形的面积公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形，学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
26 ．（ 12 分）（ 2020• 河北）某厂按用户的月需求量 x （件）完成一种产品的生产，其中 x ＞ 0 ，每件的售价为 18 万元，每件的成本 y （万元）是基础价与浮动价的和，其中基础价保持不变，浮动价与月需求量 x （件）成反比，经市场调研发现，月需求量 x 与月份 n （ n 为整数， 1 ≤ n ≤ 12 ），符合关系式 x=2n 2 ﹣ 2kn + 9 （ k + 3 ）（ k 为常数），且得到了表中的数据．
月份 n （月） 成本 y （万元 / 件）
需求量 x （件 / 月）
1 11 120
2 12 100
（ 1 ）求 y 与 x 满足的关系式，请说明一件产品的利润能否是 12 万元； （ 2 ）求 k ，并推断是否存在某个月既无盈利也不亏损；
（ 3 ）在这一年 12 个月中，若第 m 个月和第（ m + 1 ）个月的利润相差最大，求 m ．
【分析】 （ 1 ）设 y=a + 12=18 ﹣（ 6 +
），则
，将表中相关数据代入可求得 a 、 b ，根据 =0 可作出判断；
（ 2 ）将 n=1 、 x=120 代入 x=2n 2 ﹣ 2kn + 9 （ k + 3 ）可求得 k 的值，先由 18=6 +
求得 x=50 ，根据 50=2n 2 ﹣ 26n + 144 可判断；
（ 3 ）第 m 个月的利润 W=x （ 18 ﹣ y ） =18x ﹣ x （ 6 + ） =24 （ m 2 ﹣ 13m + 47 ），第（ m + 1 ）个月的利润为 W′=24 [ （ m + 1 ） 2 ﹣ 13 （ m + 1 ） + 47 ] =24 （ m 2 ﹣ 11m + 35 ），分情况作差结合 m 的范围，由一次函数性质可得． 【解答】 解：（ 1 ）由题意，设 y=a +
，
由表中数据可得： 解得： ∴ y=6 +
， ，
，
由题意，若 12=18 ﹣（ 6 + ∵ x ＞ 0 ， ∴
＞ 0 ，
），则 =0 ，
∴ 不可能；
（ 2 ）将 n=1 、 x=120 代入 x=2n 2 ﹣ 2kn + 9 （ k + 3 ），得： 120=2 ﹣ 2k + 9k + 27 ， 解得： k=13 ，
∴ x=2n 2 ﹣ 26n + 144 ，
将 n=2 、 x=100 代入 x=2n 2 ﹣ 26n + 144 也符合， ∴ k=13 ；
由题意，得： 18=6 + 解得： x=50 ，
∴ 50=2n 2 ﹣ 26n + 144 ，即 n 2 ﹣ 13n + 47=0 ， ∵△ = （﹣ 13 ） 2 ﹣ 4 × 1 × 47 ＜ 0 ， ∴ 方程无实数根， ∴ 不存在；
（ 3 ）第 m 个月的利润为 W ， W=x （ 18 ﹣ y ） =18x ﹣ x （ 6 + =12 （ x ﹣ 50 ）
=24 （ m 2 ﹣ 13m + 47 ），
∴ 第（ m + 1 ）个月的利润为 W′=24 [ （ m + 1 ） 2 ﹣ 13 （ m + 1 ） + 47 ] =24 （ m 2 ﹣ 11m + 35 ），
若 W ≥ W′ ， W ﹣ W′=48 （ 6 ﹣ m ）， m 取最小 1 ， W ﹣ W′ 取得最大值 240 ；
若 W ＜ W′ ， W′ ﹣ W=48 （ m ﹣ 6 ），由 m + 1 ≤ 12 知 m 取最大 11 ， W′ ﹣ W 取得最大值 240 ； ∴ m=1 或 11 ．
【点评】 本题主要考查二次函数的应用，理解题意准确梳理所涉变量，并熟练掌握待定系数法求函数解析式、利润的相等关系列出解析式是解题的关键．
）
，
因篇幅问题不能全部显示，请点此查看更多更全内容