函数变换及非线性演化方程的精确解

第２１卷第２期　Ｖ０ｌ＿２１，Ｎｏ．２　文章编号　辽宁工程技术大学学报（自然科学版）　Ｊｏｕｒｎａｌ　ｏｆＬｉａｏｎｉｎｇ　Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ（Ｎａｔｕｒａｌ　Ｓｃｉｅｎｃｅ　２００２年４月　Ａｐｒ．，２００２　函数变换及非线性演化方程的精确解　粜　岩　辽宁工程技术大学基础科学部．辽宁阜新１２３０１３０）　摘　要：ｃｄｅ＿　ｆ变换在孤子求解中具有重要的作用．本文将ｃｄ。—ＨｏＰｆ变换推广并应用于Ｂｕｒｇｅｒｓ－ＫＰＰ方程ｕ，＋ＡｕａｘＢｕ＝＋Ｅｕ＋Ｄｕ２＋Ｆｕ３＝Ｏ　中．获得了Ｂｕ　卜—ＫＰＰ方程报多类型的孤子解，其中包括扭状孤子解和双孤子解　当Ａ　ｒ　Ｂ．Ｅ．Ｄ．Ｆ取不同的值时一该方程约化为不同　类型的方程，因此也可得到相应方程的解，另外论证了解的性质　关键词：Ｂｕ工ｇｅｒ｝一ＫＰＰ方程；广义Ｃｏｌｅ－Ｈｏｐｆ￣：孤子解　中图号：Ｏ　１７５．２９　文献标识码：Ａ　０　５Ｉ言　随着科学技术的飞速发展，物理学中的很多　ｆ＋Ａ　一Ｂｕｚｘ＋　Ｅ　＋Ｄ　＋ｊ　分支，如量子场论，等离子物理和分子物理等中　＝　的非线性现象可以用非线性孤子方程来描述。因　梵一　一２ａ；Ｏｒ￣－　＋　一　ｔ＋　凳　‘　此研究非线性孤子方程具有重要的理论和实际价　一值【　。许多著名的方程如Ｂｕｒｇｅｒｓ－Ｃｈａｆｆｅ—ｌｎｆａｎｔｅ　方程，Ｂｕｒｇｅｒｓ－Ｈｕｘｌｅｙ方程及　舭　４－锄砜＋　＋钎　）砉（５１　＋肌ｏ　—　１　＋（　都为Ｂｕｒｇｅｒｓ—　＋　ｔ　Ｂｕｒｇｅｒｓ—Ｆｉｔｚｈｕｇｈ－Ｎａｇｕｍｏ方程　ＫＰＰ方程　“　＋Ａｕｕ　一　＋２Ｄ２ｕｏ　＋３　）三　＋Ｅ　＋Ｄ　＋　＝０（１）　＋（Ｅｕｏ＋Ｄ　＋　）＝ｏ　令（５）式中ｆ～，ｆ～，ｆ一‘的系数及常数项为零，得　Ａ　一２曰　＝０　（６）　的特例，其中Ａ，Ｂ，Ｅ，Ｄ，Ｆ为常数。本文将著名的　一Ｃｏｌｅ－－Ｈｏｐｆ变换推广并应用于方程（１），结果获得　Ｂｕｒｇｅｒｓ－－－ＫＰＰ方程的孤子解和双孤子解。并研究　ｔ＋　ｕｏ一（Ｄ＋３Ｆｕ０）２］＇ｃ￣一（３８＋，　，，　＝Ｏ（７）　一了解的渐进行为。　曰ｆ　＋Ａ　ｆ　＋（Ｅ＋２Ｄｕｏ＋３Ｆｕ￣　＝ｏ（８）　Ｕ０　＋Ｄｕ０＋凡‘　）＝０　（９）　１广义ｃｏｌｅ—Ｈｏｐｆ变换和孤子解　对给定的方程（１），￣ＩＡＦ－义Ｃｏｌｅ－－－Ｈｏｐｆ变换　由（６）式，易解得　Ａ＋／．ｔＳ：——：，　　１，ｓ：　（１ｏ）　２　由（１０）式，则（７）式改写为　ｕ（ｘ，ｆ）＝　—　＋“０　（２）　［Ａｕｏ一　其中＾，ｕ　０为待定常数，ｆ＝ｆ０，ｆ）为待定函数。　由（２）知　＂ｆｘ＇ｆｔ　“．：　一　一（３Ｂ＋　，Ｆ　）　：ｏ　＾＾　下面分几种情形讨论方程（１）的孤子解．　情形１当ｕ　０＝Ｅ＝Ｏ时，设（８）和（１１）式有如下形式解　ｆ　ｆ　““　：　。等　等”　㈣　其中ｃ１，Ｃ２　，卢为待定常数。将（１２）式代入　孚＋　一　。　一　ｃ　ｒ（ｘ，ｆ）＝ｃＩ＋ｃ２ｅ￣ＶＣ￣　（８），（１１），得　８一Ｂｃ￣　＝０　（１２）　（１３）　将（２卜　４）代入（１）式，得　收藕日期：２０００－１１－２６　作者简舟：柴岩ｆ　１９７０－），女，辽宁黑山人，讲师　本文缩控：橱瑞华　维普资讯 http://www.cqvip.com

！三堡垫查　型艮（自然科学版）　卢一　。　Ａ＋ｐＳ　Ｂ＋　＝第２１卷　。（１４）　其中Ⅱ　，Ｂ　（ｉ＝３＇４）为待定常数，　６，ｃ　７，ｃ　８为任意　常数。将（２３）式代入（８），（１１），得　由万程组（１３），（１４）得　：一　笆！　，　４ＢＦ＋Ａ　＋ＩｔＡＳ　卢，一　３，－（３ｅ＋　（１５）　＋Ｅ＝０　一　（２４）　＝。（２５）　卢：—（４ＢＦ　＋Ａ　＋ＩｔＡＳ１　：　其中ｉ＝３，４，解方程组（２４），（２５）式，得　：因此由（２），　（１２），　（１５），可得Ｂｕ唱ｅｆｓ—　＝　！　Ⅲ＿　！　，（２６）　ＫＰＰ方程（１）的扫状孤子解　２（４ＢＦ＋Ａ　－Ｉ－ｍ　“　（　）＝一　Ｄ（Ａ　＋丽ＩｔＳ）２　Ｄ（Ａ＋ｌａＳ）＋　Ｄ　（Ａ＋１１Ｓ）　－８ＥＦ（４ＢＦ＋Ａ　＋　）　——～　（２７）　ｆｔａｎｈ　【＿一　０６）　２　４ＢＦ＋Ａ　＋＃ＡＳ一　卢　＝　一Ｅ，ｉ＝３，４　（２８）　Ｂ　Ｄ２（Ａ＋因此由（２），（２３）式可得Ｂｕｒｇｅｒｓ－ＫＰＰ方程的双　＋—（４ＢＦ　Ａ　而１１．７）　２ｆ＋ｌｎ　＋ｌＪ孤子解　＋　－＿＋　）　ｃ．　　其中ｃｌ　ｃ　２＞０为任意常数　州，＝　Ａ＋Ｉ／Ｓ，　情形２当ｕ。：一尝，Ｅ卸时，令（８），（１１）式　筹　其中　ｆ，卢　０＝３，４）满足（２６卜＿（２８）式　有如下形式解　ｒ（ｘ，ｆ）　ｃ３＋ｃ４ｅ　＋ｃ５ｅ。　（１７）　２讨论与总结　其中　．，　（Ｉ＝ｌ，２）为待定常数。将（１７）式代入　（ｉ）当Ｅ＝０时，Ｂｕｒｇｅｒｓ－ＫＰＰ方程（１）成　（８），（１１），得　为Ｂｕｒｇｅｒｓ－－Ｈｕｘｌｅｙ方程，由解（１６）式可知：　了ＡＤ　等＝。　（Ｉ８）　当Ｊ　＋廓＋ｌｎ詈Ｊ－－．４．。。时，　（　ｆ）－－－４＂０或者　～　竽　＿（３　＋　＝０　±　：　（常数）。　Ｆ（４ＢＦ＋Ａ　＋　）　其中ｉ＝１，２，从（１８），（１９）式中解得　这表明波在空间传播过程中能量是集中的，即波　形和波速不会改变，也不会弥散。　ｏｆｔ　：———————————————————————　———————————————　—————————Ｄ（Ａ＋ＩｔＳ）＋Ｄ￣／２Ａ（１－２Ｆ）（Ａ＋＃Ｓ）　（ｉｊ）对于双孤子解（２２），当　ｌ　＋　，）－争佃　４ＢＦ＋Ａ　＋　’ｒ２０）　且（　２＋卢２ｔ）－－＞一。。时，　卢】＝亡（日，　＋ＡＤｏ：【一Ｄ　）　）　—　Ｄ（常　当（　ｌＸ＋卢【ｆ）－÷～∞且（　２＋卢２ｆ）－÷佃时　：　！　坐　：　！　：　±　４ＢＦ＋Ａ　＋＃ＡＳ　２１）　“　（川）　口　一　Ｄ（常数）：　卢：＝ＢＦ　＋ＡＤ口。一Ｄ　）　当（ｏｒ　Ｊ　＋卢　ｆ）　一且＠２＋卢２　）．÷一时　因此，由（２），　（１７）式获得Ｂｕｒｇｅｒｓ－－－ＫＰＰ　“ｚ（　ｆ）．÷一　（常数）；当　ｉＸ＋卢ｔｆ）－÷佃　方程（￡＝０）的双孤子解。　Ｕ２（置ｒ）＝　Ａ＋　ｃ４：０￣ｅｑ　＋ｃ￣：ｏ２ｅａ＇　ｐ　Ｄ　且（　２＋卢２ｔ）　十　时，不妨令　一　２Ｆ　ｃ３＋ｃ４ｅ　川　＋　（　）　ｃ　ｓ　（　）　一　（　）。　情形３当“０＝０时，设（８），（Ｉ１）式有如下形式解　这也表明波在运动中能量是集中的。　Ｔ（‘ｆ）＝ｃ６＋ｃ７ｅ　＋ｃｓｅ　ｒ千ｐ　（２３Ｊ　（ｉｉｉ）同（ｉｉ）的道理，也可知解Ｃ２９）也有类似性质　维普资讯 http://www.cqvip.com

第２期　柴　岩等：函数变换及非线性演化方程的精确解　参考文献：　【ｌ】Ｍ　ＪＡｂｌｏｕｉｔｚ　ａ【ｌｄ　ＰＡ　Ｃｌａｒｋｓｏｎ　Ｓｏｌｉｔｏｎｓ，Ｎ０　ⅫＥｖｏｌｕｔｉｏｎ　２５ｌ　另外，从方程（９），可得“ｏ的另一解　一Ｄ　２Ｆ　Ｅｑｕａｔｌｏｎｓ　ａｎｄ　Ｉｎｖｅｒｓｅ　ＳｃａｔｔｅｔｉｎｇｌＭ］．Ｃａｍｂｄｄｇｅ：Ｃａｍｂｄｄｇｅ　Ｕａｉｖｅｒｓｉｔｙ　Ｐｒｅｓｓ，ｌ９９ｌ　１—２５　类似于情形３，我们又可以获得Ｂｕｒｇｅｒｓ－ＫＰＰ　方程的另一组双孤子解　这种途径也可以处理其　它的非线性孤子方程，如Ｍｋｄｖ方程、Ｂｕｒｇｅｒ　一　ｍｋｄｖ方程、Ｋｄｖ－－ｍｋｄｖ方程等【ｌ＿　，并且还可以推　广到变系数非线性方程，这将另文给出。　【２】Ｐ．Ｃｏｎｓｔａｎｔｉｎｉ￣ｔｅｇｒａｔＭａｔｈｆｏｌｄｓａｎｄ［ｎｅＰａｌＭａｎｉｆｏｌｄｓｆａｔＤｉｓｓｌｐａｆｉ￣ｅ　Ｐａｒｔｉａｌ　Ｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌ　Ｅｑｕａｆｉｏｎｓ［Ｍ】Ｎｅｗ　Ｙａｔｋ；Ｓｐｆｉｎｇｅｔ－ｖ￣ｔａｇ，１９８９　１０－１５　【３ｌ　Ｇ　Ｅｉｌｅｎｂｅｒｇｅｒ．　Ｍｅｔｈｏｄｓ　ｆｏｒ　ｈｙｓｔｉｃｌｓｔ　Ｎｅｗ　【Ｍ】Ｙｏｒｋ；Ｓ　ｎｇｅｔ－Ｖｅｒｌａｇ，１９８１【＿３０　¨４】各超豪孤立子理论与应用【Ｍ】杭州：浙江科学技术出版杜．１９９０，１－３４　【５】郭拍灵孤立于叫】北京：科学出版衽．１９８７．１－２２　＿６】郭拍灵非线性演化方程【Ｍｊ上海上海科拄教育出版社・１９９９　１４１　Ｆｕｎｃｔｉｏｎ　Ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ａｎｄ　Ｅｘａｃｔ　Ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｆｏｒ　Ｎｏｎｌｉｎｅａｒ　Ｅｖｏｌｕｔｉｏｎ　Ｅｑｕａｔｉｏｎ　ＣＨＡＩ　Ｙａｌｌ　’　ｆＤｅｐａｒｔｍｅｎｔ　ｏｆ　Ｂａｓｉｃ　Ｓｃｉｅｎｃｅ，Ｌｉａｏｎｉｎｇ　Ｔｅｃｈｎｉｃａｌ　Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｆｕｘｉｎ　ｌ２３０００，Ｃｈｉｎａ）　Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｃｏｌｅ．一Ｈｏｐｆ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｐｌａｙｓ　ａｎ　ｉｍｐｏｒｔａｎｔ　ｒｏｌｅ　ｉｎ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ．Ｉｎ　ｔｈｉｓ　ｐａｐｅｒ，ｔｈｅ　Ｃ　０１ｅ．—Ｈｏｐｆ　ｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ　ｉｓ　ｅｘｔｅｎｄｅｄ　ｔｏ　ａｐｐｌｙ　ｉｎ　ｔｈｅ　Ｂｕｒｇｅｒｓ－ＫＰＰ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ＡＵＵｘ－Ｂｕ　Ｅｕ＋Ｄ“ｉ＋Ｆ　＝０　ｗｈｉｃｈ　ｃｏｎｔａｉｎ　｜ｄｎｄ．１ｙｏｅｄ　ｓｏｌｈｏｎ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ａｎｄ　ｄｏｕｂｌｅ．ｓｏｌｉｏｎ　ｓｏｌｔｕｔｉｏｎｓ．Ｗｈｅｎ　Ａ，Ｂ，Ｅ，Ｄ，Ｆ　ｔａｋｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｖａｌｏｅｓ，ｔｈｉｓ　ｅｑｕａｔｉｏｎ　ｒｅｄｕｃｅｓ　ｔｏ　ｂｅ　ｄｉｆｆｅｒｅｎｔ　ｔｙｐｅｓ　ｏｆ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ，ｔｈｅ　ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ　ｓｏｌｕｔｉｏｎｓ　ｏｆ　ｔｈｅｓｅ　ｅｑｕａｔｉｏｎｓ　ａｒｅ　ｏｂｔａｉｎｅｄ．Ｓｏｍｅ　ｐｒｏｐｅｒｔｉｅｓ　ｏｆ　ｔｈｅｓｅ　ｑｕｅａｔｉｏｎｓ　ａｌｅ　ｄｉｓｃｕｓｓｅｄ．　Ｋｅｙ　ｗｏｒｄｓ：ｂｕｒｇｅｒｓ．ＫＰＰ　ｅｑｕａｔｉｏｍ　ｇｅｎｅｒ￣Ｃｏｌｅ－Ｈｏｐｆ　ｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎ￣ｓｏｌｉｔｔｏｎ　ｓｏｌｕｔｉｏｎ