高中数学教教事例
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☆教课基本信息
课题
新课标 A 版必修 1 第三章 3.1.1 方程的根与函数零点
作者及
工作单位
河北省威县第二中学
冯慧颖
☆指导思想与理论依照
由教师的教向学生的学转变是现代教课观现代教课观要求使用发展的看法对待学生，着眼于调换学生学习的踊跃性和主动性，教给学生学习的方法，培育学生学习能力，即着眼于培育学生不停学习、不停研究、不停创新的能力，以适应
不停变化的世界；由特别到一般的认知过程
☆教材剖析
函数零点是研究当函数 的值为零
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时，相应的自变量
的取值，反应在函数
图象上，也就是函数图象与
轴的交点横
坐标。
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因为函数
的值为零即
，若方程
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有解，则函数
存在零点，且方程的根就是相应函数的
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零点，也是函数图象与
轴的交点横坐
标．理所应当的，方程的求解问题，能够转变为求函数零点的问题。
零点存在性定理，是函数在某区间上存在零点的充足不用要条件。假如函数
在区间 [ a, b] 上的图象是一条连续不停
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的曲线，并且知足 f ( a) ·f ( b)<0 ，则函数
在区间 ( a, b) 内起码有一个零点，但零点的个数，需联合函数的单一性等性质
进行判断．定理的抗命题不可立。
方程的根与函数零点的研究方法， 切合从特别到一般的认识规律， 从特别的、详细的二次函数下手，成立二次函数的零点与相应二次方程的联系，而后将其推 广到一般的、抽象的函数与相应方程的情况；零点存在性的研究，也相同采纳
了近似的方法，同时还使用了“数形联合思想”及“转变与化归思想”。
方程的根与函数零点的关系研究，不单为“用二分法求方程的近似解”的学习做好准备，并且揭露了方程与函数之间的实质联系，这类联系正是中学数学重要思想方法——“函数与方程思想”的理论基础．可见，函数零点看法在中学数
学中拥有核心地位。
☆学情剖析
学生已有的认知基础是，初中学习过二次函数图象和二次方程，并且解过“当函数值为 0 时，求相应自变量的值”的问题，初步认识到二次方程与二次函数的联
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系，对二次函数图象与
轴能否订交，也
有一些直观的认识与领会。在高中阶段，已经学习了函数看法与性质，掌握了
部分基本初等函数的图象与性质。
以二次方程及相应的二次函数为例，引入函数零点的看法，说明方程的
根与函数零点的关系，学生其实不会感觉困难。学生学习的难点是正确理解零点存
在性定理，并针对详细函数（或方程），能求出存在零点（或根）的区间。
教课过程中，经过指引学生经过研究，发现方程的根与函数零点的关系；
而零点存在性定理的教课，则应指引学生察看函数图象与
轴的交点的状况，来研究函数零点的情
况，加深学生对零点存在性定理的理解。
☆教课目的
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经过本课教课，要修业生：理解并掌握方程的根与相应函数零点的关系，在此基础上，学会将求方程的根的问题转变为求相应函数零点的问题；理解零点存
在性定理，并能初步确立详细函数存在零点的区间。
1．能够联合详细方程（如二次方程），说明方程的根、相应函数图象与
轴的交点横坐标以及相应函数零点的关
系；
2．正确理解函数零点存在性定理：认识图象连续不停的意义及作用；知道定理不过函数存在零点的一个充足条件；认识函数零点只好不只一个；
3．能利用函数图象和性质判断某些函数的零点个数；
4．能顺利将一个方程求解问题转变为一个函数零点问题， 写出与方程对应的函
数；并会判断存在零点的区间（可使用计算器）。
☆教课要点和难点
教课要点：函数零点的看法及零点的求法
教课难点：方程的根与函数零点的关系、函数零点存在性定理。
☆教课过程
1．方程的根与相应函数图象的关系
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复习总结一元二次方程与相应函数与
轴
的交点及其坐标的关系： ____________________
一元二次方程根的状况判断 :______________________
图象与
轴交点个
数 :______________________
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图象与
轴交点坐
标 :______________________
企图：回首二次函数图象与
轴的交点和
相应方程的根的关系，为一般函数及相应方程关系作准备。
问题一、上述结论对其余函数成立吗？为何？
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画出函数的图象：
、
、
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，比较函数图象与
轴的交点和相应方程的根的关系。
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函数
的图象与
轴交点，即当
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，该方程有几个根，
的图象与
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轴就有几个交点，且方程的根就是交点
的横坐标。
企图：经过各样函数，将结论推行到一般函数。
2．函数零点看法
关于函数 ，把使
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的实数
叫做函数
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的零点。
说明：函数零点不是一个点，而是详细的自变量的取值。
3．方程的根与函数零点的关系
方程 有实数根
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函数
的图象与
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轴有交点
函数
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有零点
以上关系说明：函数与方程有着亲密的联系，进而有些方程问题能够转变为函数问题来求解，相同，函数问题有时也可转变为方程问题．这正是函数与方程
思想的基础。 4．零点存在性定理
问题二、察看图象（气温变化图）片段，依据该图象片段，将其增补成完好函数图象，并问：能否有某时辰的温度为 0℃？为何？（假定气温是连续变化
的）
企图：经过类比得出零点存在性定理。
给出零点存在性定理：假如函数 在
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区间
上的图象是连续不停一条曲线，并
且有 ，那么，函数
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在区间
内有零点 . 即存在
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，使得
，这个 c 也就是方程
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的根。
问题三、不是连续函数结论还成立吗？请举例说明。
联合函数 的图象说明。
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问题四、若
，函数
在区间在
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上必定没有零点吗？
问题五、若 ，函数
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在区间在
上只有一个零点吗？可能有几个？
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问题六、
时，增添什么条件可确立
函数 在区间在
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上只有一个零点？
企图：经过四个问题使学生正确理解零点存在性定理。
5．例题：求函数
的零点的个数。
问题七、可否确立一个区间，使函数在该区间内有零点。
问题八、该函数有几个零点？为何？
企图：经过例题剖析，学会用零点存在性定理确立零点存在区间，并且联合
函数性质，判断零点个数的方法。
六．目标检测设计
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1. 函数
在区间 [-5 ，6] 上能否存在零
点？若存在，有几个？
2. 利用函数图象判断以下方程有几个根
（1） ；
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（2）
。
3．指出以下函数零点所在的大概区间
（1） ；
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（2）
。
最后，师生共同小结（略）。
思虑题：函数 的零点在区间
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内有零点，怎样求出这个零点？设
计企图：为下一节“二分法”的学习做准备。
教
学环节
教师活动
预设学 生行为
设计企图
创建情
境
给出几个详细 的一元二次方程 的根及其相应的 二次函数的图像
学生独
立思虑达成
由详细的一元二次方程和二次
解答，察看、
函数到一般的一元二次方程和二次
思虑、总结、
函数，既有益于学生掌握知识， 又有
归纳得出结
助于学生抽象思想能力的形成
论，并进行
沟通 认真谛 解函数零点 让学生察看二次函数在区间端 的意义，并 点上的函数值之积的特色， 指引学生 依据函数零 发现连续函数在某个区间上存在零 点的意义探 点的判断方法
索其求法
剖析函
数，按提示
让学生认识到函数图像及基本
研究，达成
性质在确立函数零点中的重要作用，
解答，并认
提升学生综合运用数学知识解决问
真思虑；结
题的能力
合函数图 像，思虑、
指引学生认真 领会函数零点的
组织探
看法、函数零点的
究（ 1）
意义、函数零点的
求法
指引学生联合
函数图像，剖析函
数在区间端点上
组织探
的函数值的符号
究（ 2）
状况，与函数零点
能否存在之间的
关系
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议论、总结、 归纳得出函
数零点存在
的条件，并
进行沟通、
评析
☆板书设计
方程的根与函数的零
点
一．复习指引 二．新课讲解
1. 一元二次方程与二次函
数的关系
2. 零点的定义 3. 零点存在性定理
4. 应用 三．例题
例1
四．小结
五．作业
☆学生学习活动评论设计
评论表
自我评论
同学互评
父亲母亲评论
老师评论
由学生自评、同学评论、家长评论，综合以上评论老师才做出评定，这改变了以
往老师单一的 “一刀切 ”，同时调换了被评论者 —— 学生的踊跃性、主动性，使学生在主动参加，自我反省，自我教育的过程中不停进步，获取更好的发展。
☆教课反省
优异教课成效的达成，优异的教课方案是基础，有合理生成的教课过程是保
证。
纵观本节课的教课，自己个人以为，教课的预设目标特别是知识目标基本达成，学生较好的掌握了有关知识，对零点看法、零点存在性定理能较好理解，并
学会初步运用这些知识解决简单的零点判断问题。
不足之处是其余方面如研究发现的目标，未能很好的落实，有关数学思想与
方法的落实也有所短缺。
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出现上述各种问题，归根究竟是教师自己的不足，教材发掘不到位，没有把
握教材编写者的企图； 自己学习不够， 教课理念未能完好合适新课程的要求等等。
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