一、 基础概念
学习目标：掌握角平分线的性质定理及其逆定理的证明和简单应用，掌握尺规作图做角平分线，规范证明步骤。
（1）角平分线的性质定理证明：
角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。
证明角平分线的性质定理时，将用到三角形全等的判定公理的推论： 推论：两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等。（AAS）
推导过程：
已知：OC平分∠MON，P是OC上任意一点，PA⊥OM，PB⊥ON， 垂足分别为点A、点B． 求证：PA＝PB．
证明：∵PA⊥OM，PB⊥ON ∴∠PAO＝∠PBO＝90° ∵OC平分∠MON ∴∠1＝∠2
在△PAO和△PBO中， ∴△PAO≌△PBO ∴PA＝PB
②几何表达：（角的平分线上的点到角的两边的距离相等）
如图所示，∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON， ∴PA＝PB．
（2）角平分线性质定理的逆定理：
到一个角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。
推导过程
已知：点P是∠MON内一点，PA⊥OM于A，PB⊥ON于B，且PA＝PB．
求证：点P在∠MON的平分线上．
证明：连结OP
在Rt△PAO和Rt△PBO中， ∴Rt△PAO≌Rt△PBO（HL） ∴∠1＝∠2
∴OP平分∠MON
即点P在∠MON的平分线上． ②几何表达：（到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．）
如图所示，∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB ∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）
（3） 角平分线性质及判定的应用
①为推导线段相等、角相等提供依据和思路； ②实际生活中的应用．
例：一个工厂，在公路西侧，到公路的距离与到河岸的距离相等，并且到河上公路桥头的距离为300米．在下图中标出工厂的位置，并说明理由．
（4）角平分线的尺规作图
活动三：观察与思考： 尺规作角的平分线
观察下面用尺规作角的平分线的步骤(如图)，思考这种作法的依据。 步骤一：以点O为圆心，以适当长为半径画弧，弧与角的两边分别交于A，B两点。
由作图可知： OA = OB
步骤二：分别以点A，B为圆心，以固定长(大于AB长的一半)为半径画弧，两弧交于点C。
由作图可知： AC = BC
步骤三：作射线OC，则OC就是∠AOB的平分线。 由作图可知： 定理，可得 ≌
同学们，讨论交流一下，你能说出作图的每一步骤的依据是什么吗？试用证明的方法说出作图的正确性。
二、【典型例题】
例1. 已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′． 求证：（1）∠ABC＝∠ABC′；
（2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）．
例2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
例3. 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？
例4. 如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系． （1）学校距铁路的距离是多少？ （2）请写出学校所在位置的坐标．
例5. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，问能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E，并给出证明；若不能，请说明理由．
练习一
一、填空题：
1.如图1-31，△ABC中，AD是BC的垂直平分线，BE平分∠ABC交AD于E, EF⊥AB , 则AB = ，BF = ；
2.已知：如图1-32，在Rt△ABC中，∠C = 90°, AC = BC, BD平分∠ABC交AC于D, DE⊥AB于E，若BC = 5, 则△DEC的周长为 . AC
FD
E ABCBDE
图1-31图1-32
二、选择题：
1.如图1-33，△ABC中，∠B = 42°, AD⊥BC于D，E是BD上一点，EF⊥AB于F，若ED = EF, 则∠AEC的度数为（ ）； A. 60° B. 62° C. 64° D. 66° A2.给出下列命题：
F① 垂直于同一条直线的两直线平行；
B② 角平分线上的点到角两边的距离相等； CED③ 三角形的三条角平分线相交于一点； 图1-33④ 全等三角形的面积相等；
其中原命题和逆命题都是真命题的共有（ ）.
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 三、解答题：
如图1-34，已知：△ABC中，∠BAC = 90°, AD⊥BC于D，AE平分∠DAC，EF⊥BC交AC于F，连接BF. 求证：BF是∠ABC的平分线. A F【综合练习】
CBAC，且AD = 已知：如图1-35，△ABC中，AB = 2AC, AD平分∠BBD. DEA图1-34求证：DC⊥AC.
例题答案
例1. 已知：如图所示，∠C＝∠C′＝90°，AC＝AC′． 求证：（1）∠ABC＝∠ABC′；
（2）BC＝BC′（要求：不用三角形全等判定）．
BCD图1-35
证明：（1）∵∠C＝∠C′＝90°（已知）， ∴AC⊥BC，AC′⊥BC′（垂直的定义）． 又∵AC＝AC′（已知），
∴点A在∠CBC′的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）． ∴∠ABC＝∠ABC′．
（2）∵∠C＝∠C′，∠ABC＝∠ABC′，
∴180°－（∠C＋∠ABC）＝180°－（∠C′＋∠ABC′）（三角形内角和定理）． 即∠BAC＝∠BAC′， ∵AC⊥BC，AC′⊥BC′，
∴BC＝BC′（角平分线上的点到这个角两边的距离相等）．
例2. 如图所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于E，PF∥AC交BC于F，P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分∠BAC，并说明理由．
解：AD平分∠BAC．
∵D到PE的距离与到PF的距离相等， ∴点D在∠EPF的平分线上． ∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD平分∠BAC． 例3. 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？
解：AP平分∠BAC．
结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等． 理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E、F、D． ∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上，
∴PD＝PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）． 同理PF＝PE，∴PD＝PF．
∴AP平分∠BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）．
例4. 如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系． （1）学校距铁路的距离是多少？ （2）请写出学校所在位置的坐标．
解：（1）∵点P在公路与铁路所夹角的平分线上， ∴点P到公路的距离与它到铁路的距离相等， 又∵点P到公路的距离是400m，
∴点P（学校）到铁路的距离是400m． （2）学校所在位置的坐标是（400，－400）．
评析：角平分线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等．
例5. 如图所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，DA平分∠CAB交BC于D，问能否在AB上确定一点E，使△BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E，并给出证明；若不能，请说明理由．
解：能．过点D作DE⊥AB于E，则△BDE的周长等于AB的长．理由如下： ∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB， ∴DC＝DE．
在Rt△ACD和Rt△AED中，， ∴Rt△ACD≌Rt△AED（HL）． ∴AC＝AE．
又∵AC＝BC，∴AE＝BC．
∴△BDE的周长＝BD＋DE＋BE＝BD＋DC＋BE＝BC＋BE＝AE＋BE＝AB．
1.4 角平分线
练习一
【基础练习】 一、1. AC, BD； 2. 52. 二、1. D； 2. A. 三、提示：证AF = EF. 【综合练习】提示：作DE⊥AB, 证△ADC ≌△ADE.
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