小学奥数：方程组解法综合.专项练习及答案解析

方程组解法综合

教学目标

1.学会用带入消元和加减消元法解方程组 2.熟练掌握解方程组的方法并用到以后做题

知识精讲

知识点说明：

一、 方程的历史

同学们，你们知道古代的方程到底是什么样子的吗？公元 263 年，数学家刘徽所著《九章算术》一书里有一个例子：“今有上禾三秉，中禾二秉，下禾一秉，实三十九斗；上禾二秉，中禾三秉，下禾一秉，实三十四斗；上禾一秉，中禾二秉，下禾三秉，实二十六斗。问上、中、下禾实一秉各几何？”刘徽列出的“方程”如图所示。

方程的英语是 equation，就是“等式”的意思。清朝初年，中国的数学家把 equation 译成“相等式”，到清朝咸丰九年才译成“方程”。从这时候起，“方程”这个词就表示“含有未知数的等式”，而刘徽所说的“方程”就叫做“方程组”了。

二、 学习方程的目的

使用方程有助于解决数学难题，作为代数学最基本内容，方程的学习和使用不但能为未来初中阶段数学学习打好基础，同时能够将抽象数学直观表达出来，能够帮助学生更好的理解抽象的数学知识。

三、 解二元一次方程组的一般方法

解二元一次方程的关键的步骤：是消元，即将二元一次方程或多元一次方程化为一元一次方程。

消元方法：代入消元法和加减消元法 代入消元法：

⒈ 取一个方程，将它写成用一个未知数表示另一个未知数，记作方程①； ⒉ 将①代入另一个方程，得一元一次方程； ⒊ 解这个一元一次方程，求出一个未知数的值；

⒋ 将这个未知数的值代入①，求出另一个未知数的值，从而得到方程组的解． 加减消元法：

⒈ 变形、调整两条方程，使某个未知数的系数绝对值相等（类似于通分）； 教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。

⒉ 将两条方程相加或相减消元； ⒊ 解一元一次方程； ⒋ 代入法求另一未知数．

加减消元实际上就是将带系数的方程整体代入．

例题精讲

模块一、二元一次方程组

xy5【例 1】 解方程（x,y为正整数）

xy1【考点】二元一次方程组 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 (xy)(xy)51

2x6 x3 x3 y2方法二：解 代入消元法，由xy5得到x5y，代入方程xy1中，得到5yy1，x3整理得y2，所以x3，所以方程的解为

y2x3【答案】

y2

9u2v20【例 2】 解方程（u,v为正整数）

3u4v10【考点】二元一次方程组 【难度】2星 【题型】解答

【解析】 方法一：加减消元法

化v的系数相同，加减消元法计算得 2(9u2v)(3u4v)22010 去括号和并同类项得 18u3u20

15u30 u2

u2 

v1方法二：代入消元法由9u2v20得到v104.5u，代入方程3u4v10中得到u23u4104.5u10，整理得u2，v1，所以方程解为

v1u2【答案】

v1

x5y0 3【例】 解方程组（x,y为正整数）

3x2y17【考点】二元一次方程组 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 加减消元，若想消掉y，应将y的系数统一，因为2,510，所以第一个方程应

教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。

该扩大2倍，第二个式子应该扩大5倍，又因为y的系数符号不同，所以应该用加消元，计算结果如下：2(x5y)5(3x2y)20517，17x85得x5，所以55y0，解得y1。 x5【答案】

y1

3xy7【例 4】 解方程组（x,y为正整数）

5x2y8【考点】二元一次方程组 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 将第一个式子扩大2倍和二式相减得2(3xy)(5x2y)2512，去括号整理

x211x22解得x2，所以方程的解为

y12(x150)5(3y50)【例 5】 解方程组（x,y为正整数）

0.1x0.06y0.085800【考点】二元一次方程组 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 对第一个方程去括号整理，根据等式的性质将第二个式子扩倍变成正式进行整理

2x15y550得：，若想消掉y，将方程二扩大3倍，又因为y的系数符号

5x3y8.5400不同，所以应该用加消元，计算结果如下：(2x15y)5(5x3y)55058.5400，去括号整理得27x17550，解得

x650x650，所以方程的解为

y504x3y20x650【例 6】 【答案】解下面关于x、y的二元一次方程组： 4y50y1x3【考点】二元一次方程组 【难度】3星 【题型】解答

4x3y20【解析】 整理这个方程组里的两个方程，可以得到：可以看出，两个方程

4x3y30，

是不可能同时成立的，所以这是题目本身的问题，无解

【答案】无解

43x4y13【例 7】 解方程组（x,y为正整数）

922x4y1【考点】二元一次方程组 【难度】3星 【题型】解答

【解析】 本题需要同学能够利用整体思想进行解题，将x4与y1看出相应的未知数，因

为每一项的分母不同，所以先将分母系数化成同样的，所以第二个式子等号两边同

3492)2()322，去括号整理后得到时乘以2整理得：(x4y1x4y1x7217，根据分数的性质计算得x7，所以方程的解为： x4y3模块二、多元一次方程

教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。

3x4z7【例 8】 解方程组2x3yz9（x,y,z为正整数）

5x9y7z8【考点】二元一次方程组 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 观察x,y,z的系数发现，第二个式子与第三个式子中y的系数是3倍关系，所以将

第二个式子扩大3倍与第三个式子相减得到：3(2x3yz)(5x9y7z)398，去括号整理得11x10z35，与第一个式

3x4z7子整理得，若想消掉z，，因为4,1020，所以第一个方程应该扩

11x10z35大5倍，第二个式子应该扩大2倍，又因为z的系数符号相同，所以应该用减消元，计算结果如下：2(11x10z)5(3x4z)23557，去括号整理得7x35，

x5x5，所以方程解为y7

z2

2xyz7【巩固】 解方程组x2yz8（x,y,z为正整数）

xy2z9【考点】二元一次方程组 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 将一式与二式相减得(x2yz)(2xyz)87去括号整理后得yx1；将

二式扩大2倍与三式相减得2(x2yz)(xy2z)289，去括号整理后得3yx7；(yx)(3yx)17，最后将两式相加计算结果如下：整理得4y8，

x1y4所以方程的解为：y2

z3xyz1yzu2【例 9】 解方程组zuv5（x,y,z,u,v为正整数）

uvx2vxy7【考点】二元一次方程组 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 将5个式子相加得xyzuv17，将1式与2式相加得xu3，将2式与

xu3x0yv7y63式相加得yv7，同理连续相加得到zx7，整理后解为z7

uy9u3vz8v1x0y6【答案】z7

u3v1

教师寄语：拼一个春夏秋冬，换一生无怨无悔。