第十二章 连续时间系统 辨识

第12章 连续时间系统H∞辨识 12.1 简介 前面各章研究的H∞辨识算法都只适用于稳定的离散时间系统。但是工程实际中遇到的大部分都是连续系统。因此，希望能直接对连续系统进行辨识。同离散系统一样，验前信息包括系统的相对稳定性的下界和稳态增益的上界。验前信息包含有限个含噪声的频域响应估计值。第十四章将介绍的实验方法说明这种数据是可以得到的。有了这些信息后，本章给出一类类似于离散时间系统的连续时间系统H∞辨识方法。该方法可以得到系统的标称模型和辨识误差的上界，并且不需要知道未知系统的阶次。本章讨论的算法适合于一类稳定的、严格正则的、线性时不变连续系统。 本章中用到的记号有: R+=x∈R|x≥0 C表示n维复向量 ∀ε∈R+,Bn(ε)={η∈C n{}nη∞≤ε}， ∀ρ∈R+,D={ω∈C|ω<1},∂D={w∈C|ω=1}0000∀σ∈R,Cσ+={ω∈CReω>σ},C+=C0,+,∂C+={ω∈CReω=0} 本章用到的函数集有: L1,−(0)=h:R+→R∃σ<0,s,t,h(.)e{−σ(.)∈L1(R+) } 其中L1R+ 表示Lesbsgue可测，在R+上绝对可积的函数 。类似地， L∞(D)=f:∂D→Cesssupω∈∂Df(ω)<∞, 对任一开集S⊂C， 设H(s)=f:S→Cf在S上解析，(){}{} H(s,M)=⎨f∈H(s)supf(ω)0给定：(i)σ<0,M<∞,φ∈Φ,h∈H(Cσ,M,φ), +∧ (ii)由试验算子 nEn,l:H+(C0+)×Bn(ε)→C En,l(h,η)=[h(jtan(∧∧π(k−1)l))+η]nkk=1 (12-2-2) 定义的一组带噪声的频域响应值，其中，0≤ε<∞为已知的噪声幅值， 且l>2n。 求: 一类算法 An,l:R+×R+×Φ×R+×C→H+(C0+) (12-2-3) 把给定的信息映射到An,l[σ,M,φ,ε;En,l(h,η)]∈H+(C+),使得最坏情况误差 en,l(An,l;σ,M,φ,ε)=supη∈Bn(ε)∧n∧0h−∧h∈H(Cσ+,M,φ)0An,l[σ,M,φ,ε;En,l(h,η) (12-2-4) ∞∧依下式收敛 ε→0limen,l(An,l;σ,M,φ,ε)=0 (12-2-5) n→∞另外还要得到误差en,l(An,l;σ,M,φ,ε)的精确的上界。 根据假设h∈L1,−(0)，因此σ,M,φ均存在。同离散系统类似，σ,M可看作是相对稳定性的下界和最差情况下稳态增益的上界。函数φ给出了未知系统一个特征频率，在此频率之上系统的频率响小于∧$,η)包含了实验信息，l和n表示辨识过程中的参数。l可用来调整频响的噪声而认为是零。向量En,l(h分布，n表示测量的频率点数。 使用上面给出的问题描述，算法的误差表示为 En,l(σ,M,φ,ε)=inf(An,l,l,M,φ,ε) (12-2-6) An,l若对任意σ,M,ε,l,n，en,l(An,l;σ,M,φ,ε)=en,l(σ,M,φ,ε),称算法An,l为最优的。 定理12.2.1：给定σ>0,φ∈Φ,ε≥0 min{ε,φ∞}≤en,l(σ,M,φ,ε) (12-2-7) 这个结果说明H∞系统辨识法的误差不可能小于任何频率点上的测量误差。 12.3 连续系统的H∞辨识算法[30，61] 本节研究连续系统的两步非线性辨识算法。第一步借助于截断样条级数得到未知系统的L∞近似。第二步利用AAK理论得到L∞近似的最优H∞逼近。 为了使用AAK逼近理论，我们首先使用双线性变换 s=ψ(z)=1−z1+zz=ψ−1(s)=1−s (12-3-1) 1+s把盘D映射到半平面C0+上，反之亦然。因此，本章中令 $(ψ(z))∈H(D) (12-3-2) hbl(z)=h∞ 198第12章 连续时间系统H∞辨识

在上述变换下z平面的单位圆上的每一点z=eiθ对应于s平面上虚轴上的点s=jω,ω=tan(θ/2)。因此，第2节中假设的h的频域响应相应于{ej2π(k−1)l}lk=1的前n个根。这正是En,l定义中选择频响位置的理由。由于双线性变换，通常hn,l具有一奇点z=−1,(Qψ(−1)=∞) $∈(C,M)则对于0<θ<π 定理12.3.1 设M<∞,σ<0。若hσ+0 supθd$Mh(ψ(ejθ)≤cos−2() (12-3-3) 2σ2θ∈[−θ,θ]dθ证明：从映射ψ的性质可得 d$$'(ψ(ejθ)ψ'(ejθ)=h$'(jtan(θ)ψ'(ejθ) h(ψ(ejθ))=hdθ2$在C={s∈CRes≥σ+ξ},∀ξ>0上解析。根据柯西积分公式，上式最右边等式中的第一项由于hσ+ξ是有界的。推导过程如下： 设Γ={w∈Cjtan()−w=σ+ξ}，则对所有ξ>0下式成立 θ2$(jtan()=1∫ h22πj'θ12πMσ+ξMdw≤ =Γθ22πσ+ξ2σ+ξ(ω−jtan())2$(ω)h因此，当ξ→0时，取极限可得 $'(jtan(θ))≤M h2σ第二项根据直接计算，可知在[−θ,θ]上有界 ψ(e)='jθ21+ejθ2≤21+ejθ2=1 2cos2(θ/2)因此结果成立。 □ 根据定理12.3.1，可以按以下步骤构造辨识数据。 $,η))∈C使其元素对应于h在单位圆上的l个根的频域响应。若l为奇数，步骤1：构造I(En,l(hblll−1l−1$$I(En,l(h,η))的前n个分量是En,l(h,η)。接着−n+1个分量为零，后个分量可借助Hermitian22对称关系hbl(z)=bbl(z)得到。n为偶数时类似。 步骤2：在单位圆上l个根zk=ej2π(k−1)l**$,η)的线性样条插值 ,k=1,L,l上构造I(En,l(h$,η))]。 S[I(En,l(h下面的定理给出了L∞(D)误差的一个界。 $,η))]定义同上。 定理12.3.2[20] 设M<∞,σ<0,φ∈Φ,ε≥0,S[I(En,l(h$∈H(C,M,φ),η∈B(ε)则 若hσ+n0 199第12章 连续时间系统H∞辨识

$,η))] hbl−S[I(En,l(h∞≤max{2Mπσcos(−2π(n−1)l)+ε,supφ(tan())} (12-3-4) 2nπ2θ∈[,π]lθ$表下面证明相应的样条级数也是hbl的L∞(D)近似。样条级数的系数Ck可用采样序列的DFI系数Ck示 $,η))]=τC$$ Ck(S[I(En,l(hkk(I(En,l(h,η))) (12-3-5) 其中τ0=1,τk=(l2πk)(sin)2,k≠0。 πklk=−NN$,η))](θ)=FN[I(En,l(h=其误差界为 ∑CkNk$,η))])ejkθ(S[I(En,l(h (12-3-6) k=−N∑τ$,η)))ejkθ$(I(E(hCkn,l$,η))]−F[I(E(h$,η))]S[I(En,l(hNn,l∞2(M+ε)l2 (12-3-7) ≤Nπ2 根据此误差界和定理12.3.2中给出的界，我们可以建立截断样条傅立页级数的逼近指数 $,η))]和F[I(E(h$,η))]。若定理12.3.3：设M<∞,σ<0,φ∈Φ,ε≥0,按上述定义S[I(En,l(hNn,l$∈H(C0,M,φ),η∈B(ε)，则有 hσ+n$,η))]hb;−FN[I(En,l(h∞2 (12-3-8) 2Mπ12π(n−)θ(M+ε)l−2≤max{cos()+ε,supφ(tan)}+22πn2lσlNπθ∈[,π]l$,η))]用AAK法逼近以得到H模型和误上面的结果产生hbl的一个L∞(D)逼近。下面对FN[I(En,l(h∞差界。 $,η))]的傅立页级数系数，定义函数 定理12.3.4 设{Ck}k=−∞表示FN[I(En,l(h∞N$,η))(z)=∑mbl(N,En,l(hCkzk−k=−Nσ∑uN−kZkz∑vk+1zk=0k=0N−1NN−1 (12-3-9) k式中σ,u=[u1u2LuN]T,v=[v1,v2,L,vN]T分别表示Hankel矩阵 ⎡C−1⎢C−2H=⎢⎢M⎢⎣C−NC−2LC−N⎤C−3L0⎥⎥ (12-3-10) MOM⎥⎥0L0⎦的最大奇异值和相应的左、右奇向量。令 $,η))(s)=m(N,E(h$,η))(ψ−1(s))∈H(C0) (12-3-11) $(N,En,l(hmbln,l++则有 200第12章 连续时间系统H∞辨识

η∈Bn(ε)suph−m(N,En,l(h,η))∧0h∈H(Cσ+,M,φ)2∧∧∧∞≤证明忽略。 4(M+ε)l2Mπθ−2π(n−1)2++εφmax{cos(),sup(tan)}22πn2lσlNπ,π]θ∈[l (12-3-12) $,η)上面的结果得到传递函数m$,η))。把N和E(h$,η)映射到$(N,En,l(h 给定试验数据En,l(hn,lNm(N,En,l(ε))的算法记为An,l，此算法的最坏情况误差为 ∧en,l(AnN,l;σ,M,φ,ε)4(M+ε)l22Mπθ (12-3-13) −2π(n−1)2≤++max{cos()ε,supφ(tan)}2πn2lσlNπ2,π]θ∈[l因此如果选L和N使得下式成立 4(M+ε)l22Mπθ−2π(n−1)lim≤+max{cos(+,sup(tan)} (12-3-14) 2εφ2ε→0lσl2Nπ2πn,π]θ∈[n→∞l则An,l是第二节陈述的问题的一个解。对l和N的每一组选择都定义一个新算法。若∀α>0，l选Nl≥2n(1+n−α)的最大整数，N=l3。在此条件下，上式第一项趋于零，当n→∞时于φ∈Φ，对于充分大的n，在θ∈[2nπ→π。由l2πnθ,π]上有φ(tan)≤ε。另外，当 n→∞时 2l2Mππ(n−1)1cos2(=0(β)β≤1−2α (12-3-15) lσln1因此，算法是收敛的。事实上通过选择α和β，它的收敛率可以任意接近 而且当n→∞时 n1N en,l(An,l;σ,M,φ,ε)=O(β)+2ε (12-3-16) n 以上的结果与引理1一起说明如果l和N按上述取，算法An,l是以因子2渐近最优的。 推论12.3.1：设σ>0,0<ε≤n→∞Nφ∞<∞，l为不小于2n(1+n−α)的最小整数 ，且N=l3，则 n→∞limen,l(σ,M,φ,ε)≤en,l(AnN,l;σ,M,φ,ε)≤2limen,l(σ,M,φ,ε) (12-3-17) N 最后，对于上面选定的N和L，由σ,M,φ,ε提供的验前信息与算法An,l 无关，但是对任一系统h∈L1,−(0)这些量是肯定存在的。因此，当算法应用于任何稳定严格正则系统算法都是收敛的。因此我们说算法An,l关于验前信息是鲁棒收敛的。这个性质非常有用，因为在验前信息是错误的情况下还能得到较好的辨识结果。 N12.4 水下自主航行器系统辨识仿真算例 某水下自主航行器动力学系统数学模型为 【70】 201第12章 连续时间系统H∞辨识

s2+3 h(s)=2s2+4s+4 对其进行试验设计，获取试验数据后，作系统辨识。对系统分析可知，系统是稳定的，而且h∈H+。系.。我们先对系统进行仿真辨识。具体步骤如下： 统的验前信息为：σ可取−0.9,M可取08.,N=40,分别取n=32,n=128,n=512进行辨识，这里N是FIR模型的阶 (1) 先固定ε=01数。相应的辨识误差如图12-4-1到图12-4-3所示。 (2) 固定N=40,n=256,ε分别取0,0.1,1进行仿真，辨识误差如图12-4-4到图12-4-6。 图12-4-1 辨识误差 图12-4-2 辨识误差 图12-4-3 辨识误差 图12-4-4 辨识误差 图12-4-5 辨识误差 图12-4-6 辨识误差 再考虑某水下自主航行器系统传递函数的例子，系统攻角和航行器纵向舵角的传递函数如下： Gα(s)=0.720.07s+10.3442s+4.918=2 (122.s+1)(012.s+1)s+9153.s+68306.对系统进行分析可得验前信息为：σ=−0.8,M=0.04。辨识过程如下： 202第12章 连续时间系统H∞辨识

(1) 先固定ε=01.,N=40,分别取n=256,n=128进行辨识，这里N是FIR模型的阶数。相应的辨识误差如图12-4-7和图12-4-8所示。 (2) 固定N=40,n=256，ε 分别取0,0.1进行仿真，辨识误差如图12-4-9和图12-4-10。 图12-4-7 辨识误差 图12-4-8 辨识误差 图12-4-9 辨识误差 图12-4-10 辨识误差 从以上两个例子可以看出，当其它参数不变而n增大时，辨识误差减小。当噪声趋向于零时，辨识误差趋向于零。所以可以断定算法是鲁棒收敛的。 203