在数学教学中充分揭示思维过程

发表时间：2016-04-28T13:16:03.287Z 来源：《教育学文摘》2016年3月总第186期 作者： 李静依

[导读] 华南师范大学数学科学学院 新课标要求广大教师在教学中激发学生独立思考和创新的意识，培养学生的科学精神和创造思维习惯。

华南师范大学数学科学学院 广东 广州 510631

创造性思维是人脑对感知记忆的信息进行加工改造，并得出创造性结果的过程。数学创造有两个含义:结果是否丰富或扩大了现有的数学科学体系；或对于个人而言，结果是否具有新意。新课标要求广大教师在教学中激发学生独立思考和创新的意识，培养学生的科学精神和创造思维习惯。笔者在一次师范技能比赛“说题”中，也深刻地感受到，要培养学生的创造思维，教师要在数学教学中充分揭示思维过程。 一、充分揭示概念的形成过程

概念的获得要求学生掌握一类事物的本质属性，并能辨别事物的本质属性和非本质属性，主要的获得方式有概念的形成、概念的同化、概念的顺应。数学中许多抽象的概念常常以精练的定义形式出现，并略去了其形成过程，导致大部分学生对抽象概念不理解。

如在学习三角函数的图形变换时，学生总会弄错平移和伸缩变换顺序不同的区别，部分老师就会让学生记住两条关于平移伸缩的公式，学生在做作业时按照公式的步骤求解，但一旦考试就犯糊涂。教师在传授图形变换的概念时，可以让学生自己动手尝试这种形成过程，自行比较和概括，最后教师再加以总结，这样学生的理解和记忆会更深刻。

例：作以下图形变换，画出变换后的图形并列出解析式。1.将y=sinx先向右平移 个单位，横坐标变为原来的 ；2.将y=sinx横坐标变为原来的 ，再向右平移 个单位；3.采取先平移再伸缩和先伸缩再平移两种途径，将y=sinx通过图形变换为y=sin（3x+ ）。

通过以上三道习题练习，学生自己经历比较、概括、假设和验证等一系列概念的形成过程，真正理解了不同图形变换的本质，从中学会了研究问题和提出概念的思想方法。二、充分揭示结论的发现过程

在本次说题比赛中，笔者抽到的题目是证明相交弦定理，并对题目进行变式推广。显然大家都想到了推广割线定理、切割线定理以及切线定理的证明，但大部分学生都只停留在会用定理的阶段，并不清楚这几个定理是如何证明的以及它们之间的联系。教师在教学中应该注意揭示结论的发现过程并有一定的条理，学生才能了解结论的由来，强化对定理的理解与记忆，从中培养发现问题和解决问题的能力。 如高中数学人教版选修4-1课本中与圆有关的比例线段这一章，从相交弦定理到切线定理的证明就很有条理。书中是从特殊到一般，由AB、CD是两条互相垂直的直径，变成两条互相垂直的弦，再考虑任意两条相交的弦，一步一步得出相交弦定理证明。

例：证明相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段的长的积相等，即P是圆内一点，若弦AB、CD交于点P，则PA·PB=PC·PD。证明：连结AD、BC，由圆周角定理的推论，得∠A＝∠C、∠B＝∠D，故△PAD∽△PCB，得PA∶PC＝PD∶PB，进一步得PA·PB＝PC·PD。

根据P点位置的变换，可得以下几种情形：当P在圆上时，弦AB、CD交于点P；当P点在圆外时，根据线段与圆相割或相切的情形，可先引圆O的两条割线，再将一条割线移动至与圆相切，最后两条割线移动至与圆相切，同样采用圆周角定理和相似三角形进行证明。类比验证便于学生理解，根据P点的移动及先端移动，也让学生了解了这几个定理证明过程之间的联系，培养了创造性思维。 三、充分揭示问题解决的思路探索过程

教材上的一些定理、性质、例题等问题的证明与求解，往往以最简约的形式给出，省去了复杂的思路探索过程。很多教师也只是按照书本上或者参考答案的解答展示给学生，这样学生只是掌握了这一道题或这一类题的解法，在下一次遇到相同问题时，很有可能只是简单的模仿甚至完全不会用，对他个人而言并没有创新性成果。 如：求函数f（x）= 1-x+ x+3的最大值。

解：由题意得，x∈[-3,1]，要求f（x）的最大值。

解法1：f（x）2=4+2 -（x+1）2+4≤8,故f（x）的最大值为2 2。

解法2：常规求导法：令f（x）`= + =0，解得f（x）在[-3,-1]单调递增，在[-1,1]单调递减，故f（x）的最大值为f（-1）=2 2。

解法3：三角变换，令 1-x=2cosθ， x+3=2sinθ(0≤θ≤ )，则 1-x+ x+3=2（cosθ+sinθ）=2 2sin（θ+ ）≤2 2，即θ= ，x=-1时成立。

解法4：基本不等式 ≤ 得， ≤ = 2，故 1-x+ x+3≤2 2。

解法5：运用化归思想，转化为线性规划问题；记u= 1-x≥0,v= x+3≥0,则u2+v2=4,求z=u+v的最大值。作图可得，f（x）的最大值为2 2。

由于这道题是之前练习的原题，笔者的同学便将之前探讨的解法全部罗列如上，但很多时候学生只是知道这种解法但不理解这些巧妙的解法是怎么来的、为什么可以这样求解。故教师在解决问题时不仅仅需要展示答案，更应有条理地解释问题解决的思路探索过程，说明问题的关键。

如上题，要求函数的最大值，解法2是通过求导判断函数单调性，这是求最值的常用做法；而本题还有一个关键条件，因为1-x+x+3=4是定值，解法1是通过平方转化为二次函数求最值，而解法4则采用基本不等式求解，解法3和5则是根据定值条件进行三角变换和线性规划求解。通过讲解问题解决的思路，将不同的解法进行归类，让学生理解问题的来龙去脉，即使基础不好的同学也能掌握问题的关键。