2018-2019学年广东省东莞市高二第二学期期末数学(理)试题 解析版

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广东省东莞市2018-2019学年高二第二学期期末数学（理)试

题

评卷人 得分 一、单选题

1．已知i是虚数单位，若复数z满足1zzi，则复数z对应的点在（ ） A．第一象限 【答案】C 【解析】 【分析】

把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案． 【详解】

B．第二象限

C．第三象限

D．第四象限

1zzi，

z11i11i， 1i(1i)(1i)2211复数z对应的点的坐标为(，)，在第三象限．

22故选：C． 【点睛】

本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，属于基础题． 2．在一项调查中有两个变量x和y，下图是由这两个变量近8年来的取值数据得到的散点图，那么适宜作为y关于x的回归方程的函数类型是( )

A．yabx C．ymnx2 【答案】B 【解析】 【分析】

根据散点图的趋势，选定正确的选项.

B．ycdx

D．ypqcx（q0）

1

【详解】

散点图呈曲线，排除A选项，且增长速度变慢，排除选项C、D，故选B． 【点睛】

本小题主要考查散点图，考查回归直线方程等知识，属于基础题.

111x,y,zx,y,z3．对于问题：“已知是互不相同的正数，求证：三个数至

zxy少有一个数大于2”，用反证法证明上述问题时，要做到的假设是（ ） A．x2 C．x111111,y,z至少有一个不小于2 B．x,y,z至少有一个不大于zxyzxy111,y,z都小于等于2 zxyD．x111,y,z都大于等于2 zxy【答案】C 【解析】 【分析】

找到要证命题的否定即得解. 【详解】

“已知x，y，z是互不相同的正数，求证：三个数x数大于2”，用反证法证明时，应假设它的反面成立． 而它的反面为：三个数x故选：C． 【点睛】

本题主要考查用反证法证明数学命题，命题的否定，属于基础题． 4．根据历年气象统计资料，某地四月份吹东风的概率为

111，y，z都小于或等于2，

yxz111，y，z至少有一个

yxz911，下雨的概率为，既吹3030东风又下雨的概率为

8，则在吹东风的条件下下雨的概率为（ ） 30B．

A．

8 92 5C．

9 11D．

8 11【答案】A 【解析】 【分析】

利用条件概率的计算公式即可得出．

2

【详解】

设事件A表示某地四月份吹东风，事件B表示四月份下雨．

8308根据条件概率计算公式可得在吹东风的条件下下雨的概率P(B|A)．

9930故选：A 【点睛】

本题主要考查条件概率的计算，正确理解条件概率的意义及其计算公式是解题的关键，属于 基础题.

5．若身高xcm和体重ykg的回归模型为y=0.849x85.712，则下列叙述正确的是（ ）

A．身高与体重是负相关

B．回归直线必定经过一个样本点

C．身高170cm的人体重一定时58.618kg D．身高与体重是正相关 【答案】D 【解析】 【分析】

由线性回归直线方程可得回归系数大于0，所以正相关，且经过样本中心，且y为估计值，即可得到结论． 【详解】

y0.849x85.712可得0.8490，

可得身高与体重是正相关，A错误，D正确；

回归直可以不经过每一个样本点，一定过样本中心点(x，y)，故B错误；

ˆ0.84917085.71258.618kg，若x170cm，可得y即体重可能是58.618kg，故C错

误． 故选：D． 【点睛】

本题考查线性回归中心方程和运用，考查方程思想和估计思想，属于基础题． 6．已知fx12xcosx,fx为fx的导函数，则fx的图象是（ ） 2 3

A． B．

C． D．

【答案】A 【解析】 【分析】

先求得函数fx的导函数f由此得出正确选项. 【详解】 依题意f''再对导函数求导，然后利用特殊点对选项进行排除，x，

xxsinx，令hxxsinx，则h'x1cosx.由于f'00，

''故排除C选项.由于h01120，故f选项.故本小题选A. 【点睛】

x在x0处导数大于零，故排除B,D

本小题主要考查导数的运算，考查函数图像的识别，属于基础题. 7．已知随机变量X满足E(2X3)7,（ ） A．E(X)D(2X3)16，则下列选项正确的是

713,D(X) 22B．E(X)=2, D(X)=4

C．E(X)=2, D(X)=8 【答案】B 【解析】 【分析】

利用期望与方差性质求解即可． 【详解】

D．E(X)7,D(X)8 4E(2X3)2E(X)37；D(2X3)4D(X)16．故E(X)2，D(X)4．

故选：B．

4

【点睛】

考查期望与方差的性质，考查学生的计算能力． 8．直线yx与曲线yx围成的封闭图形的面积为（ ）

A．

5 2B．

3 2C．

2 3D．

1 6【答案】D 【解析】 【分析】

利用定积分的几何意义，首先利用定积分表示面积，然后计算即可． 【详解】

yx与曲线yx围成的封闭图形的面积

2311S(xx)dx(x2x2)|1． 003261故选：D． 【点睛】

本题考查了定积分的几何意义的应用，关键是正确利用定积分表示面积，属于基础题． 9．高二年级的三个班去甲、乙、丙、丁四个工厂参观学习，去哪个工厂可以自由选择，甲工厂必须有班级要去，则不同的参观方案有（ ） A．16种 【答案】C 【解析】 【分析】

根据题意，用间接法：先计算3个班自由选择去何工厂的总数，再排除甲工厂无人去的情况，由分步计数原理可得其方案数目，由事件之间的关系，计算可得答案． 【详解】

根据题意，若不考虑限制条件，每个班级都有4种选择，共有44464种情况， 其中工厂甲没有班级去，即每个班都选择了其他三个工厂，此时每个班级都有3种选择，共有33327种方案； 则符合条件的有642737种， 故选：C． 【点睛】

本题考查计数原理的运用，本题易错的方法是：甲工厂先派一个班去，有3种选派方法，

5

B．18种 C．37种 D．48种

剩下的2个班均有4种选择，这样共有34448种方案；显然这种方法中有重复的计算；解题时特别要注意．

a110．则该展开式中的常数项为（ ） x2x的展开式中各项系数的和为2，xxA．20 【答案】D 【解析】 【分析】

由于二项式展开式中各项的系数的和为2，故可以令x1，建立a的方程，解出a的值，然后再由规律求出常数项． 【详解】

115令x1则有1a2，得a1，故二项式为(x)(2x)

xx323C5240． 故其常数项为22C55B．40 C．20 D．40

故选：D． 【点睛】

本题考查二项式系数的性质，解题关键是掌握二项式系数的公式，以及根据二项式的形式判

断出常数项的取法，理解题意，作出正确判断很重要．

11．分子为1且分母为正整数的分数称为单位分数，1可以分拆为若干个不同的单位分数之和：1111111111111，1，1，……，依此2362461225612201111111111111，则2612mn3042727290110132156类推得：1mn（ ）

A．228 【答案】C 【解析】 【分析】

使用裂项法及m，n的范围求出m，n的值，从而求出答案． 【详解】 1

B．240 C．260 D．273

1111111111111， 2612mn30425672901101321566

11111111111111， 22334mn566712131111133()． mn4513260m„n，m，nN*． m13，n20，所以mn=260.

故选：C 【点睛】

本题主要考查归纳推理和裂项相消法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.

xf(x),xax,x0f(x)g(x)12．若函数，，且g(x)有三个零点，则ae2x2,xax3x,x0的取值范围为（ ） A．[0,2) 【答案】A 【解析】 【分析】

先作yf(x)的图象与直线yx2的图象在同一直角坐标系中的位置图象，再结合函数与方程的综合应用即可得解． 【详解】 设h(x)则h(x)B．[0,2]

C．[3,0]

D．[2,)

x0) ，(x…ex1x， ex则h(x)在(0,1)为增函数，在(1,)为减函数，

则yf(x)的图象与直线yx2的图象在同一直角坐标系中的位置如图所示， 由图可知，当g(x)有三个零点，则a的取值范围为：0„a2， 故选：A．

7

【点睛】

本题考查了作图能力及函数与方程的综合应用，属于中档题．

8

第II卷（非选择题)

请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题

13．

sinx3xdx__________．

2【答案】23 【解析】 【分析】

直接利用定积分运算法则求解即可． 【详解】

(sinx3x)dx(cosxx)|

23(cos3)[cos()()3]23．

故答案为：23 【点睛】

本题考查了定积分，关键是求解被积函数的原函数，属于基础题．

14．若曲线yx3ax(aR)在点x0=1处的切线斜率为1，则该切线方程为__________． 【答案】y=x2 【解析】 【分析】

求得函数的导数，可得切线的斜率，解方程可得切点的横坐标，进而得到切点坐标，由点斜式方程可得切线的方程． 【详解】

yx3ax的导数为y3x2a，

在点x01处的切线斜率为1，可得3a1，所以a2，切点纵坐标为：1， 可得切点为(1,1)，

即有切线的方程为y11(x1)， 即为xy20．

9

故答案为：y=x2． 【点睛】

本题考查导数的运用：求切线的方程，考查导数的几何意义，正确求导和运用点斜式方程是解题的关键，属于基础题．

15．设A、B两队进行某类知识竞赛，竞赛为四局，每局比赛没有平局，前三局胜者均得1分，第四局胜的一队得2分，各局负者都得0分，假设每局比赛A队获胜的概率均为

1，且各局比赛相互独立，则比赛结束时A队得分比B队高3分的概率为3__________． 【答案】【解析】 【分析】

比赛结束时A队得分比B队高3分是指前3局比赛中A两胜一负，第4局比赛A胜，由此能求出比赛结束时A队得分比B队高3分的概率． 【详解】

比赛结束时A队得分比B队高3分是指前3局比赛中A两胜一负，第4局比赛A胜，

2 27比赛结束时A队得分比B队高3分的概率：

1212PC32()2()()．

33327故答案为：【点睛】

2． 27本题考查概率的求法，考查n次独立重复试验中事件A恰好发生k次的概率计算公式等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题． 16．已知函数f(x)3sin2xsinx,x0,则函数f(x)的最大值为__________． ，2【答案】【解析】 【分析】

53 3对f(x)求导，然后令cosxt，判断f(t)的单调性，再根据t的值确定函数f(x)的最

10

大值． 【详解】

f(x)3sin2xsinx，

f(x)6cos2xcosx6(2cos2x1)cosx

(3cosx2)(4cosx3)，

令cosxt，

x(0,)，tcosx(0,1)，

2令g(t)f(x)，则g(t)(3t2)(4t3)，

令g(t)0，则t当0t2， 322时，g(t)0，当t1时，g(t)0，

3323g(t)在(0,)上单调递减，在(，1)上单调递增，

)上单调递减，根据复合函数的单调性可知， 222当t，即cosx，sinx5时，

333f(x)max6sinxcosxsinx652555， 333323函数ycosx在(0,函数f(x)的最大值为55．

3故答案为：【点睛】

55． 3本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值和三角函数求值，考查转化思想以及计算能力，属于中档题． 评卷人 得分 三、解答题

17．已知i是虚数单位，复数z11ai(aR)，复数z2的共轭复数z234i. （1）若z1z2R，求实数a的值；

z1（2）若是纯虚数，求z1.

z2【答案】（1）4；（2）

5. 411

【解析】 【分析】

（1）先求出z1+z2=4+(4a)i，再根据z1z2R，求出实数a的值；（2）由已知

z1z134a(3a4)i得，再根据是纯虚数求出a的值即得解. z225z2【详解】

z234iz234i

（1）由已知得z1+z2=(1ai)+(3+4i)=4+(4a)i

z1z2R,∴4a0

a4

z11ai(1ai)(34i)34a(3a4)i（2）由已知得 z234i(34i)(34i)25z134a0, 是纯虚数，z23a40解得a3， 42353z11i12.

444【点睛】

本题主要考查复数的计算和复数的概念，考查复数模的计算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题. 18．已知函数f(x)13xax2bx1，当x3时，函数f(x)有极小值8. 3（1）求f(x)的解析式； （2）求f(x)在[0,4]上的值域.

【答案】（1）f(x)【解析】 【分析】

132xx3x1；（2）[8,1]. 3f(3)96ab0(1) 由题意得，解方程即得a，b的值即得解；（2）先求出

f(3)99a3b18

12

f(x)在[0,3)上单调递减，在(3,4]上单调递增，即得函数的值域.

【详解】

（1）f(x)x2axb，

2f(3)96ab0由题意得，

f(3)99a3b18解得a1，

b31f(x)x3x23x1，经检验x3为yf(x)的极小值点，符合题意.

3（2）由（1）得f(x)x2x3(x3)(x1) 当f(x)0时，3x4；当f(x)0时，0x3. 所以f(x)在[0,3)上单调递减，在(3,4]上单调递增， 所以f(x)的最小值为f(3)8.

2因为f(0)1，f(4)17，所以f(x)的最大值为f(0)1. 3所以f(x)在[0,4]上的值域为[8,1]. 【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的极值和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于基础题.

19．某仪器配件质量采用M值进行衡量，某研究所采用不同工艺，开发甲、乙两条生产线生产该配件，为调查两条生产线的生产质量，检验员每隔30min分别从两条生产线上随机抽取一个配件，测量并记录其M值，下面是甲、乙两条生产线各抽取的30个配件M值茎叶图.

13

1301301302xi40.5，x乙yi39.5，经计算得x甲s甲xix12.3，30i130i130i11302s乙yyi12.5，其中xi,yi(i1,2,3,,30)分别为甲，乙两生产线抽30i1取的第i个配件的M值.

（1）若规定M(x3s,x3s)的产品质量等级为合格，否则为不合格.已知产品不合格率需低于5%，生产线才能通过验收，利用样本估计总体，分析甲，乙两条生产线是否可以通过验收；

（2）若规定M(xs,xs)时，配件质量等级为优等，否则为不优等，试完成下面的22列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为“配件质量等级与生产线有关”？

产品质量等级不优 产品质量等级优等 合计 等 甲生产线 乙生产线 合计

n(adbc)2附：K

(ab)(cd)(ac)(bd)2PK2k0 0.10 0.05 0.01 0.001 k0

2.706 3.841 6.635 10.828 【答案】（1）甲生产线可以通过验收，乙生产线不能通过验收；（2）不能. 【解析】 【分析】

（1）甲生产线的不合格率为

1，小于5%，故甲生产线可以通过验收．乙生产线的不30 14

合格率约为

1，大于5%，故乙生产线不能通过验收；（2）根据提供的数据得到列联15表；计算出k2，根据临界值表可得答案． 【详解】

（1）由参考数据得x甲3s甲3.6，x甲3s甲77.4 故甲生产线抽取的30个配件中，不合格的有1个 利用样本估计总体，甲生产线的不合格率估计为由参考数据得x乙3s乙2，x乙3s乙77 故乙生产线抽取的30个配件中，不合格的有2个 利用样本估计总体，乙生产线的不合格率估计为

1，小于5% 3021=，大于5% 3015所以甲生产线可以通过验收，乙生产线不能通过验收.

（2）由参考数据得，x甲s甲28.2，x甲s甲52.8；x乙s乙27，x乙s乙52. 统计两条生产线检测的60个数据，得到22列联表.

产品质量等级不优 产品质量等级优等 小计 等 2 6 8 30 30 60 甲生产线 乙生产线 小计

28 24 52 60(286242)212030K2.3082.706

303052852132所以，不能在犯错概率不超过0.1的前提下认为配件质量等级与生产线有关. 【点睛】

本题考查了概率的计算和独立性检验，考查计算能力，属中档题． 20．已知函数f(x)lnxax(aR).

（1）若函数f(x)在xx0处的切线方程为x+y+1=0，求a的值； （2）若函数f(x)无零点，求a的取值范围.

15

1【答案】（1）a=2；（2）,.

e【解析】 【分析】

（1）求得f(x)的导数，可得切线的斜率，由切线的方程可得a，x0的方程，进而得到

a；

（2）求得f(x)的导数，讨论a0，a0，a0，求得单调性和极值，最值，结合图象可得所求范围． 【详解】

（1）函数f(x)1nxax的导数为f(x)1a， x由f(x)在xx0处的切线方程为xy10， 可得

1a1，1x0lnx0ax0， x0解得a2，x01；

（2）函数f(x)1nxax的导数为f(x)1a， x当a„0，由x0可得f(x)0，即f(x)在x0递增，f(1)a0,x0,f(x)f(x)有且只有一个零点；

当a0时，由x11，f(x)递减，0x，f(x)递增， aa可得x11处f(x)取得极大值，且为最大值ln1，

aa11由题意可得ln10，解得a，

ae综上可得a【点睛】

本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调性、极值和最值，考查方程思想和分类讨论思想，考查运算能力，属于中档题．

21．2021年，广东省将实施新高考，2018年暑期入学的高一学生是新高考首批考生，新高考不再分文理科，采用312模式，其中“3”是指语文、数学、外语；“1”是指在物理和历史中必选一科（且只能选一科）；“2”是指在化学，生物，政治，地理四科中任选两科.为积极推进新高考，某中学将选科分为两个环节，第一环节：学生在物理

16

1时，函数f(x)无零点． e

和历史两科中选择一科；第二环节：学生在化学，生物，政治，地理四科中任选两科.若一个学生两个环节的选科都确定，则称该学生的选考方案确定；否则，称该学生选考方案待确定.该学校为了解高一年级1000名学生选考科目的意向，随机选取50名学生进行了一次调查，这50人第一环节的选考科目都确定，有32人选物理，18人选历史；第二环节的选考科目已确定的有30人，待确定的有20人，具体调查结果如下表： 选考方案确定情况 选考方案确定的有18人 物理 选考方案待确定的有14人 选考方案确定的有12人 历史

（1）估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考政治的学生有多少人？ （2）从选考方案确定的12名历史选考生中随机选出2名学生，设随机变量

选考方案待确定的有6人 化学 16 5 3 0 生物 11 5 5 0 政治 5 0 4 3 地理 4 0 12 2 0,两名学生选考方案不同X，求X的分布列及数学期望E(X).

1.两名学生选考方案相同（3）在选考方案确定的18名物理选考生中，有11名学生选考方案为物理、化学、生物，试问剩余7人中选考方案为物理、政治、地理的人数.（只需写出结果） 【答案】（1）180；（2）【解析】 【分析】

（1）利用分层抽样原理求得对应的学生人数；（2）由题意知随机变量的可能取值，计算对应的概率，写出X的分布列，计算数学期望值；（3）由化学中去除11人后余5人，结合选政治和地理的人数，可得所求． 【详解】

（1）由数据可知，选考方案确定的18名物理选考生中确定选考政治的有5人，选考方案确定的12名历史选考生中确定选考政治的有4人

所以，估计该学校高一年级选考方案确定的学生中选考政治的学生有

19；（3）2人. 661000

181245180人 503017

（2）由数据可知，选考方案确定的12名历史考生中有3人选考化学、地理；有5人选考生物、地理；有4人选考政治、地理. 由已知得X的所有取值为0，1，则

111111C3C5C3C4C4C515122047P(X0) 2C1266662C32C52C4310619P(X1) 2C126666所以X的分布列为

X 0 1 P

所以数学期望E(X)047 6619 66471919. 1666666（3）剩余7人中选考方案为物理、政治、地理的人数为2． 【点睛】

本题考查了分层抽样的计算，也考查了离散型随机变量的分布列与数学期望问题，是中档题．

22．已知函数f(x)e2xaex(a2)x. （1）讨论f(x)的单调性； （2）若f(x)2a，求实数a的取值范围. 2【答案】（1）见解析；（2）a(0,2]. 【解析】 【分析】

（1）先求导，再对a分a2和a2两种情况讨论，求出函数的单调性；（2）原命题等价于[f(x)]min【详解】 （1）f(x)2e

2x2a，对a分三种情况讨论分析得解. 2aex(a2)ex12exa2

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1当a20即a2时，f(x)0恒成立

f(x)在(,)上单调递增

2当a20即a2时，当f(x)0时，xln2a 2f(x)0时，xln2a2a；f(x)0时，xln 222a2aln,f(x)在,ln上单调递减，上单调递增

22综上所述：a2时，f(x)在(,)上单调递增；

a2时，f(x)在,ln2a2a,上单调递增 上单调递减，ln222x（2）1当a2时，f(x)e2ex02a恒成立，a2 22当a2时，当x3a0时，

2(a2)f(x)e2xaex(a2)x1a(a2)x1a此时a无解.

3a2a， 222a2a,上单调上单调递减，3当a2时，由（1）知f(x)在,lnln22递增，

2a2a2a2a2a f(x)flna(a2)ln22222整理得a4ln(2a)4ln20

记g(a)a4ln(2a)4ln2,a2.则g(a)1故g(x)在(,2)上单调递增

246a0恒成立 2a2ag(0)0

g(a)a4ln(2a)4ln20g(0)

0a2

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综上所述：a(0,2]. 【点睛】

本题主要考查利用导数研究函数的单调性和最值，考查利用导数研究不等式的恒成立问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.

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