人教版八年级数学第十六章分式知识点总结

A一、分式的定义：如果A、B表示两个整式，且B中含有未知数，那么式子B叫做分式。

AA二、在分式中，如果________,则分式B有意义；如果________,则分式B无意义；如果________且

AA0

_________不为零时，则分式B的值为零；如果__________,则分式B

A

0B如果____________,则分式；

a2b21a1例1.下列各式，x1，5x+y，ab，-3x2，0•中，是分式的有（ ）个。

3x22x1例2.下列分式，当x取何值时有意义。（1）3x2； （2）2x3。

2x12x1例3. 当x________时，分式3x4的值为正数，当x________时，分式3x4的值为负数

x212x12x3x4例4．当x______时，分式无意义。当x_______时，分式x2的值为零。

3x62 当x_________时，分式x1的值为负数。

三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变,用字母表示为_________________________________.

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分式的分子、分母和分式本身的符号改变其中任何____个，分式的值不变.

四、约分：把分式的分子与分母的公因式约去，这样的分式变形叫做分式的约分，约分的理论依据是分式的___________________。

约分的方法：分式的分子与分母同除以他们的公因式，如果分式的分子、分母都是单项式，就直接约去分子、分母的__________;如果分式的分子或分母是多项式，就先__________,再判断公因式进行约分。

最简分式：分子与分母没有____________的分式，叫做最简分式。（注意约分一定要彻底）

五、通分：利用分式的基本性质把几个异分母的分式化为_________的分式，这样的分式变形叫做分式的通分。

确定最简公分母的方法：当各分母都是单项式时，①取各分母的最小公倍数②凡单独出现的字母，连同它的指数作为最简公分母的一个因式；③同底数幂取次数最高的，这样得到因式的积就是最简公分母。当各分母中含有多项式，要先分解因式再确定最简公分母

x26x9m23m222x9mm 例5.约分：（1）； （2）

xya162222例6.通分：（1）6ab，9abc； （2）a2a1，a1

5x3xy5y11例7.已知x-y=3，求x2xyy的值。

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x2xyy2x21a22ab4y3x42例8.分式①4a，②x1，③xy，④ab2b中是最简分式的有________________.

x211422例9.已知x2+3x+1=0，求x2+x的值． 例10.已知x+x=3，求xx1的值．

六、分式的混合运算：

分式混合运算顺序：先______,后______,最后______；同级运算从左到右进行，若有括号，先算括号里面。

七、 整数指数幂与整数乘法公式

an()nmnmn(ab)a•aaa（1）___________ （2）___________（3）________（4）b________

mnn0(a（5）)_____________（6）a_______________（7）a__________

22(ab)(ab)___________（10）a2b2 ___________ （8）__________（9）

八、科学记数法：把一个数表示成a10的形式（其中1a10，n是整数）

n1、用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是n1。

2、用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0)。

3、（有效数字）在四舍五入的近似数中，从________________起，到_____________止，所有的数

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字都叫做这个数字的有效数字

1212例11.当分式x1-x1-x1的值等于零时，则x=_________。

ab例12．已知a+b=3，ab=1，则b+a的值等于_______。

x2x122例13.计算：(1)x2x-x4x4 (2)

a2a24•a22aa2a2

x112xx23x162(2)22(4mn)•mn4(3) （4） x2x3x3x6x9x9

222例14.人类的遗传物质就是DNA,人类的DNA是很长的链,最短的22号染色体也长达3000000个核苷酸,这个数用科学记数法表示是___________。

例15．自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新学科，这就是“纳米技术”，已知52个纳米的长度为0.000000052米,用科学记数法表示这个数为_________。

例16.中国目前人口约有1.29×109人，则此近似数的有效数字有___________个，它们是___________，精确到_________位.

九、分式方程：含分式，并且分母中含未知数的方程——分式方程。

1、解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程。

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2、解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根。

3、解分式方程的步骤：

（1）、在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程。

（2）、解这个整式方程。

（3）、把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去。

（4）、写出原方程的根。

增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所得整式方程的根。

4、分式方程检验方法：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解。

例17.解方程。

1x224x14ax1221b1x55xx2x4x1x1xa(1) （2）（3） （4）

3mm122例18. 当m为何值时，关于x的方程xx2x2x1会产生曾根？

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xa31x1x例19．如果关于x的方程无解，求a的值？

m1x例20．若方程x1x1的解为正数，求m的取值范围？

九、列方程应用题

（一）、步骤(1)审：分析题意,找出研究对象，建立等量关系；(2)设：选择恰当的未知数,注意单位；(3)列：根据等量关系正确列出方程；(4)解：认真仔细；(5)检：不要忘记检验；（6）答：不要忘记写。

（二） 应用题的几种类型：

1、行程问题：基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题。

例21.甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度.

2、工程问题 基本公式：工作量=工时×工效。

例22.一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?

3、顺水逆水问题 v顺水=v船 +v水； v逆水=v船-v水。

例23.已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与

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逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?

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