2007-2016年全国卷极坐标与参数方程高考题汇编

1、（2011）坐标系与参数方程：在直角坐标系xOy 中，曲线C1的参数方程为

x2cos（y22sin为参数），M是C1上的动点，P点满足OP2OM,P点的轨迹为曲

线C2

(Ⅰ)求C2的方程

(Ⅱ)在以O为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中，射线极点的交点为A，与C2的异于极点的交点为B，求AB. 解：（I）设P(x,y),则由条件知M(

XY

,).由于M点在C1上，所以 22

3与C1的异于

x2cos,2 即 y22sin2sx4co y44sinx4cos从而C2的参数方程为（为参数）

y44sin（Ⅱ）曲线C1的极坐标方程为4sin，曲线C2的极坐标方程为8sin。 射线射线3与C1的交点A的极径为14sin与C2的交点B的极径为28sin3， 。

33所以|AB||21|23.

x＝2cosφ

2、（2012）已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，

y＝3sinφx轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ=2.正方形ABCD的

π

顶点都在C2上，且A、B、C、D以逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，3)

(Ⅰ)求点A、B、C、D 的直角坐标；

(Ⅱ)设P为C1上任意一点，求|PA| 2+ |PB|2 + |PC| 2+ |PD|2的取值范围。

5411) 【解析】（1）点A,B,C,D的极坐标为(2,),(2,),(2,),(2,3636

1

点A,B,C,D的直角坐标为(1,3),(3,1),(1,3),(3,1)

x2cos （2）设P(x0,y0)；则0(为参数)

y03sin tPAPBPCPD4x24y240

2 5620sin2222lfxlby[5（6,76]）

x45cost,3、（2013课标1）已知曲线C1的参数方程为（t为参数），以坐标

y55sint原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为

2sin。

（Ⅰ）把C1的参数方程化为极坐标方程；

（Ⅱ）求C1与C2交点的极坐标（0,02）。

x45cost,解：(1)将消去参数t，化为普通方程(x－4)2＋(y－5)2＝25，

y55sint22

即C1：x＋y－8x－10y＋16＝0. xcos,将代入x2＋y2－8x－10y＋16＝0得 ysinρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. 所以C1的极坐标方程为

ρ2－8ρcos θ－10ρsin θ＋16＝0. (2)C2的普通方程为x2＋y2－2y＝0. x2y28x10y160,由2 2xy2y0x1,x0,解得或

y2.y1ππ所以C1与C2交点的极坐标分别为2,，2,.

42

x2tx2y21，直线l:4、（2014课标1）已知曲线C:（t为参数）

49y22t（1）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

2

（2）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求PA的最大值与最小值.

x2cos【解析】.(Ⅰ) 曲线C的参数方程为： （为参数），

y3sin直线l的普通方程为：2xy60 ………5分 （Ⅱ）（2）在曲线C上任意取一点P (2cos,3sin)到l的距离为

d54cos3sin6， 5则|PA|d254，其中为锐角．且. 5sin6tan0sin3053225； 5当sin1时，|PA|取得最大值，最大值为当sin1时，|PA|取得最小值，最小值为

25. …………10分 55、（2015课标1）在直角坐标系xOy 中，直线C1:x2，圆

C2:x1y21，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.

22（I）求C1,C2的极坐标方程. （II）若直线C3的极坐标方程为πR，设C2,C3的交点为M,N，求4C2MN 的面积.

xtcosα6、（2015课标2）在直线坐标系xOy中，曲线C1：ytsinα（t为参数，t0）

｛其中0α.在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C2：p=2sin，C3：p=23cos。 （I）

求C1 与C3 交点的直角坐标；

3

（II）

若C1 与C2 相交于点A，C1 与C3 相交于点B，求|AB|的最大值.

7、【2015高考新课标1，文23】选修4-4：坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy 中，直线C1:x2，圆C2:x1y21，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I）求C1,C2的极坐标方程. （II）若直线C3的极坐标方程为πR，设C2,C3的交点为M,N，求422C2MN 的面积.

【答案】（Ⅰ）cos2,22cos4sin40（Ⅱ）【解析】

试题分析：（Ⅰ）用直角坐标方程与极坐标互化公式即可求得C1，C2的极坐标方程；（Ⅱ）将将=1 24代入22cos4sin40即可求出|MN|，利用三角

形面积公式即可求出C2MN的面积.

试题解析：（Ⅰ）因为xcos,ysin， ∴C1的极坐标方程为cos2，C2的极坐标方程为

22cos4sin40.……5分

（Ⅱ）将=42代入2cos4sin40，得3240，解得

21=22，2=2，|MN|=1－2=2，

11因为C2的半径为1，则C2MN的面积21sin45o=.

22

8、2014（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程

x2tx2y21，直线l:已知曲线C:（t为参数）

49y22t

4

（2）写出曲线C的参数方程，直线l的普通方程；

（3）过曲线C上任意一点P作与l夹角为30°的直线，交l于点A，求PA的最大值与最小值.

解析 (1)曲线C的参数方程为(θ为参数). 直线l的普通方程为2x+y-6=0.

(2)曲线C上任意一点P(2cos θ,3sin θ)到l的距离为 d=|4cos θ+3sin θ-6|,

则|PA|==|5sin(θ+α)-6|,其中α为锐角, 且tan α=.

当sin(θ+α)=-1时,|PA|取得最大值,最大值为. 当sin(θ+α)=1时,|PA|取得最小值,最小值为.

5.(2014课标Ⅱ,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程

在直角坐标系xOy中,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C的极坐标方程为ρ=2cos θ,θ∈. (1)求C的参数方程;

(2)设点D在C上,C在D处的切线与直线l:y=x+2垂直,根据(1)中你得到的参数方程,确定D的坐标.

解析 (1)C的普通方程为(x-1)2+y2=1(0≤y≤1). 可得C的参数方程为 (t为参数,0≤t≤π). (2)设D(1+cos t,sin t).

由(1)知C是以G(1,0)为圆心,1为半径的上半圆.

因为C在点D处的切线与l垂直,所以直线GD与l的斜率相同.tan t=,t=. 故D的直角坐标为,即.

9、(2014辽宁,23,10分)选修4—4:坐标系与参数方程

将圆x2+y2=1上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的2倍,得曲线C. (1)写出C的参数方程;

(2)设直线l:2x+y-2=0与C的交点为P1,P2,以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段P1P2的中点且与l垂直的直线的极坐标方程. 解析 (1)设(x1,y1)为圆上的点,经变换为C上点(x,y),依题意,得 由+=1得x2+=1,即曲线C的方程为x2+=1. 故C的参数方程为(t为参数).

5

(2)由解得或

不妨设P1(1,0),P2(0,2),则线段P1P2的中点坐标为,所求直线斜率为k=,于是所求直线方程为y-1=,

化为极坐标方程,并整理得2ρcos θ-4ρsin θ=-3,即ρ=.

10、【2015高考陕西，文23】选修4-4：坐标系与参数方程

1

x3t2

(t为参数）在直角坐标版权法xOy吕，直线l的参数方程为，以原点为

y3t2极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，C的极坐标方程为23sin.

(I)写出C的直角坐标方程；

(II)P为直线l上一动点，当P到圆心C的距离最小时，求点P的坐标. 【答案】(I) xy3【解析】

试题分析：(I)由23sin，得223sin，从而有x2y223y，所以

223； (II) (3,0).

x2y323

13(II)设P3t,t，又C(0,3)，则

2213PC3tt3t212，故当t0时，PC取得最小值，

2222此时P点的坐标为(3,0). 试题解析：(I)由23sin，

得223sin， 从而有x2y223y 所以xy3223

6

13(II)设P3t,t，又C(0,3)，

2213则PC3tt3t212，

2222故当t0时，PC取得最小值， 此时P点的坐标为(3,0).

x＝1＋tcos α，11．(14分)(2010·课标全国)已知直线C1：(t为参数)，圆C2：y＝tsin αx＝cos θ，(θ为参数)． y＝sin θ

π

(1)当α＝3时，求C1与C2的交点坐标；

(2)过坐标原点O作C1的垂线，垂足为A，P为OA的中点，当α变化时，求P点轨迹的参数方程，并指出它是什么曲线．

π

解 (1)当α＝3时，C1的普通方程为y＝3(x－1)，C2的普通方程为x2＋y2＝1，y＝3x－1，13

联立方程组22解得C1与C2的交点坐标为(1,0)，(2，－2)．(7分)

x＋y＝1，

(2)C1的普通方程为xsin α－ycos α－sin α＝0. A点坐标为(sin2α，－cos αsin α)，

故当α变化时，P点轨迹的参数方程为

12

x＝2sinα，

(α为参数)．(9分) 1

y＝－2sin αcos α

11

P点轨迹的普通方程为(x－4)2＋y2＝16.(12分) 11

故P点轨迹是圆心为(4，0)，半径为4的圆．

(14分)

7