文章来源：全国初中数学竞赛辅导 作者：孙瑞清 … 点击数：92 更新时间：2007-1-26 17:09:32
在整式方程中，如果未知数的最高次数超过2，那么这种方程称为高次方程．一元三次方程和一元四次方程有一般解法，但比较复杂，且超过了初中的知识范围，五次或五次以上的代数方程没有一般的公式解法，这由挪威青年数学家阿贝尔于1824年作出了证明，这些内容我们不讨论．本讲主要讨论用因式分解、换元等方法将某些高次方程化为低次方程来解答．
例1 解方程
x-2x-4x＋8=0．
32
解 原方程可变形为
x(x-2)-4(x-2)=0，
2
(x-2)(x2-4)=0，
(x-2)(x+2)=0．
2
所以
x1＝x2＝2，x3=-2．
说明 当ad=bc≠0时，形如ax＋bx＋cx＋d=0的方程可这样
32
=0可化为
bkx+bx+dkx+d=0，
32
即 (kx+1)(bx+d)=0．
2
方程ax+bx+cx+d=0也可以用类似方法处理．
43
例2 解方程
(x-2)(x＋1)(x＋4)(x+7)=19．
解 把方程左边第一个因式与第四个因式相乘，第二个因式与第三个因式相乘，得
(x+5x-14)(x＋5x＋4)=19．
22
设
则
(y-9)(y+9)=19，
即 y-81＝19．
2
说明 在解此题时，仔细观察方程中系数之间的特殊关系，则可用换元法解之．
例3 解方程
(6x＋7)(3x+4)(x+1)=6．
2
解 我们注意到
2(3x+4)=6x＋8=(6x+7)+1，
6(x+1)=6x＋6=(6x＋7)-1，
所以利用换元法．设y=6x＋7，原方程的结构就十分明显了．令
y=6x＋7， ①
由(6x＋7)(3x＋4)(x＋1)=6得
2
(6x＋7)(6x＋8)(6x＋6)=6×12，
2
即
y(y＋1)(y-1)=72，
2
y-y-72＝0，
42
(y＋8)(y-9)=0．
22
因为y＋8＞0，所以只有y-9=0，y=±3．代入①式，解得原方程的根为
22
例4 解方程
12x-56x+89x-56x+12=0．
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解 观察方程的系数，可以发现系数有以下特点：x的系数与常数项相同，x的系数与x的系数相同，像这样
43
的方程我们称为倒数方程．由
例5 解方程 解 方程的左边是平方和的形式，添项后可配成完全平方的形式． 所以 经检验，x1=-1，x2=2是原方程的根． 例6 解方程 (x+3)+(x+1)=82． 44 分析与解 由于左边括号内的两个二项式只相差一个常数，所以设 于是原方程变为 (y＋1)＋(y-1)＝82， 44整理得 y+6y240=0． 4-解这个方程，得y=±2，即 x+2=±2． 解得原方程的根为x1=0，x2=-4． 说明 本题通过换元，设y=x＋2后，消去了未知数的奇次项，使方程变为易于求解的双二次方程．一般地，形如 (x＋a)＋(x+b)44
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