一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列数中，最大的是（ ） A．﹣2 B．0 2．若式子
C．﹣3 D．1
在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ ）
D．x≥﹣3
A．x＞3 B．x≥3 C．x＞﹣3
3
2
3．分解因式：y﹣4y+4y=（ ） A．y（y﹣4y+4） B．y（y﹣2）
2
2
C．y（y+2） D．y（y+2）（y﹣2）
2
4．在一次献爱心的捐赠活动中，某班45名同学捐款金额统计如下： 金额（元） 20 学生数（人） 5
30 10
35 5
50 15
100 10
在这次活动中，该班同学捐款金额的众数和中位数分别是（ ） A．30，35
B．50，35
C．50，50
D．15，50
5．下列运算正确的是（ ） A．2a•3a=6a
2
3
6
B．2xa+xa=3xa C．（﹣2a）=﹣6a
2233
D．a÷a=a
54
6．如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点A′的对应点A的纵坐标是1.5，则点A的纵坐标是（ ）
A．3 B．3 C．﹣4 D．4
7．如图是由五个完全相同的小正方体组成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
8．近年来，中国中东部大部分地区持续出现雾霾天气．某市记者为了了解“雾霾天气的主要成因”，随机调查了该市部分市民，并对调查结果进行整理，绘制了尚不完整的统计图表． 组 A B C D E
观点
大气气压低，空气不流动 地面灰尘大，空气湿度低 汽车尾部排放 工厂造成污染 其他
人数 80 M N 120 60
若该市人口约有800万人，请根据图表中提供的信息，请你估计其中持C组和D组“观点”的市民人数大约有（ ）万人．
A．200 B．240 C．440 D．480
”，使下列式子成立：1⊕9．对于任意非零实数a、b，定义运算“⊕2=﹣，2⊕1=，（﹣2）⊕5=
，
5⊕（﹣2）=﹣，…，则（﹣3）⊕（﹣4）=（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
10．如图，DC是以AB为直径的半圆上的弦，DM⊥CD交AB于点M，CN⊥CD交AB于点N．AB=10，CD=6．则四边形DMNC的面积（ ）
A．等于24 B．最小为24 C．等于48 D．最大为48
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算：﹣4﹣5= ．
12．小明同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦”，搜索到相关的结果个数约为8650000，将这个数用科学记数法表示为 ．
13．在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为 ．
14．某天，小明来到体育馆看球赛，进场时，发现门票还在家里，此时离比赛开始还有25分钟，于是立即步行回家取票．同时，他父亲从家里出发骑自行车以他3倍的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆．下图中线段AB、OB分别表示父、子俩送票、取票过程中，离体育馆的路程S（米）与所用时间t（分钟）之间的函数关系，骑自行车和步行的速度始终保持不变，则小明在比赛开始前 分钟到达体育馆．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P的圆心P为（﹣3，a），⊙P与y轴相切于点C．直线y=﹣x被⊙P截得的线段AB长为4
，则过点P的双曲线的解析式为 ．
16．如图，边长为6的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是AB上一点．点F关于直线DE的对称点G恰好在BC延长线上，FG交DE于点H．点M为AD的中点，若MH=EG ．
，则
三、解答题（共8小题，共72分）
17．直线y=kx+1经过点A（1，3），求关于x的不等式kx+1≥3的解集．
18．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，分别延长FD和CB交于点G． △CFE； （1）求证：△ADE≌
（2）若点D是GE的中点，求
的值．
19．把2张形状、大小相同但画面不同的风景图片全部从中间剪断，然后将四张形状相同的小图片混合在一起．现从这四张图片中随机的一次抽出2张． （1）请用列表或画树状图的方法表示出上述实验所有可能结果． （2）求这2张图片恰好组成一张完整风景图概率．
20．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标是A（﹣3，2），B（1，2），C（1，4）．线段DE的端点坐标是D（3，﹣2），E（﹣1，﹣4）． （1）试说明如何平移线段AC，使其段ED重合；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转，使AC的对应边为DE，请画出△DEF，并直接写出点B的对应点F的坐标；
（3）画出△ABC绕点（2，0）顺时针旋转90°得到的图形，并直接写出BC扫过的面积．
21．如图1，⊙O的直径BC的长为6，AB与⊙O相切于点B．点D是半圆上一动点． （1）当∠A+2∠C=180°时，请你判断点D是否是直线AD与⊙O的唯一交点，说明理由． （2）如图2，DE⊥AD，交BC于点E．若tan∠CAB=，EB=2CE．求AD的长．
22．某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售．这批干果销售结束后，店主从销售统计中发现：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销量y1（千克）与x的关系为y1=﹣x+40x；乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销量y2（千克）与t的关系为y2=at+bt，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表： t y2
1 21
2 44
3 69
2
2
（1）求a、b的值；
（2）若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克和6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？
（3）问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？
（说明：毛利润=销售总金额﹣进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计） 23．如图1，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=6，AB=8，点P是边AB上一动点，过点P作PQ⊥AB交BC于点E，截取PQ=AP，连接AQ交边BC于点D． （1）若AP4，求段DQ、DE的长；
（2）如图2，连接CQ，设AP=PQ=x，当△CDQ和△ADB相似时，x的值；
（3）如图3，将△BCQ沿BC翻折，Q点恰好落在边AB上的M点时，直接写出线段AP的长为 ．
24．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），点M为顶点，连接OM．若y与x的部分对应值如表所示： x y
… …
﹣1 0
0
3 0
… …
2
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，C为线段OM上一点，过C作x轴的平行线交线段BM于点D，以CD为边向上作正方形CDEF，CF、DE分别交此抛物线于P、Q两点，是否存在这样的点C，使得正方形CDEF的面积和周长恰好被直线PQ平分？若存在，求C点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，平移此抛物线使其顶点为坐标原点，P（0，﹣1）为y轴上一点，E为抛物线上y轴左侧的一个动点，从E点发出的光线沿EP方向经过y轴上反射后与此抛物线交于另一点F，则当E点位置变化时，直线EF是否经过某个定点？如果是，请求出此定点的坐标，不是则说明理由．
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列数中，最大的是（ ） A．﹣2 B．0
C．﹣3 D．1
【考点】有理数大小比较．
【分析】根据正数大于0，0大于负数，可得答案． 【解答】解：﹣3＜﹣2＜0＜1， 故选：D．
【点评】本题考查了有理数比较大小，正数大于0是解题关键． 2．若式子
在实数范围内有意义，则x的取值范围是（ A．x＞3 B．x≥3 C．x＞﹣3
D．x≥﹣3
【考点】二次根式有意义的条件．
【分析】根据被开方数大于等于0列式进行计算即可得解． 【解答】解：根据题意得，x+3≥0， 解得x≥﹣3． 故选：D．
【点评】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．
3．分解因式：y3
﹣4y2
+4y=（ ）
）
A．y（y﹣4y+4） B．y（y﹣2）
22
C．y（y+2） D．y（y+2）（y﹣2）
2
【考点】提公因式法与公式法的综合运用． 【专题】计算题．
【分析】原式提取y，再利用完全平方公式分解即可． 【解答】解：原式=y（y﹣4y+4）=y（y﹣2）， 故选B
【点评】此题考查了提公式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．
4．在一次献爱心的捐赠活动中，某班45名同学捐款金额统计如下： 金额（元） 20 学生数（人） 5
30 10
35 5
50 15
100 10
2
2
在这次活动中，该班同学捐款金额的众数和中位数分别是（ ） A．30，35
B．50，35
C．50，50
D．15，50
【考点】众数；中位数．
【分析】根据众数、中位数的定义，结合表格数据进行判断即可． 【解答】解：捐款金额学生数最多的是50元， 故众数为50；
共45名学生，中位数在第23名学生处，第23名学生捐款50元， 故中位数为50； 故选C．
【点评】本题考查了众数及中位数的知识，解答本题的关键是熟练掌握众数及中位数的定义．
5．下列运算正确的是（ ） A．2a•3a=6a
2
3
6
B．2xa+xa=3xa C．（﹣2a）=﹣6a
2233
D．a÷a=a
54
【考点】同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；单项式乘单项式．
【分析】根据单项式乘单项式的运算法则、合并同类项法则、积的乘方和同底数幂的除法法则进行计算，选择得到答案．
【解答】解：2a•3a=6a，A错误； 2xa+xa=3xa，B错误； （﹣2a）=﹣8a，C错误； a÷a=a，D正确， 故选：D．
【点评】本题考查的是单项式乘单项式、合并同类项、积的乘方和同底数幂的除法，掌握各自的运算法则是解题的关键．
6．如图，△ABC中，A，B两个顶点在x轴的上方，点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下作△ABC的位似图形△A′B′C，并把△ABC的边长放大到原来的2倍．设点A′的对应点A的纵坐标是1.5，则点A的纵坐标是（ ）
5
4
3
32
3
5
A．3 B．3 C．﹣4 D．4
【考点】位似变换；坐标与图形性质．
【分析】根据位似变换的性质得出△ABC的边长放大到原来的2倍，进而得出点A的纵坐标． 【解答】解：∵点C的坐标是（﹣1，0）．以点C为位似中心，在x轴的下方作△ABC的位似图形△A′B′C，
并把△ABC的边长放大到原来的2倍． 点A′的对应点A的纵坐标是1.5， 则点A的纵坐标是：﹣3． 故选：B．
【点评】此题主要考查了位似变换的性质，根据已知得出纵坐标的绝对值是2倍关系是解决问题的关键．
7．如图是由五个完全相同的小正方体组成的几何体，这个几何体的俯视图是（ ）
A． B． C． D．
【考点】简单组合体的三视图．
【分析】找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在视图中． 【解答】解：根据俯视图是从上面看所得到的图形，可知这个几何体的俯视图C中的图形， 故选：C．
【点评】本题考查了三视图的知识，理解俯视图是从物体的上面看得到的视图是解题的关键．
8．近年来，中国中东部大部分地区持续出现雾霾天气．某市记者为了了解“雾霾天气的主要成因”，随机调查了该市部分市民，并对调查结果进行整理，绘制了尚不完整的统计图表． 组 A B C D E
观点
大气气压低，空气不流动 地面灰尘大，空气湿度低 汽车尾部排放 工厂造成污染 其他
人数 80 M N 120 60
若该市人口约有800万人，请根据图表中提供的信息，请你估计其中持C组和D组“观点”的市民人数大约有（ ）万人．
A．200 B．240 C．440 D．480 【考点】扇形统计图；用样本估计总体．
【分析】利用样本估计总体的思想，用总人数800万乘以持C和D组“观点”的市民所占的百分比即可求解；
【解答】解：∵总人数为：80÷20%=400， M=400×10%=40，
N=400﹣80﹣40﹣120﹣60=100，
∴估计其中持C组和D组“观点”的市民人数大约有800×故选C．
=440（万）；
【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力，本题用到的知识点是：频率=频数÷总数，用样本估计整体让整体×样本的百分比即可．
”，使下列式子成立：1⊕9．对于任意非零实数a、b，定义运算“⊕2=﹣，2⊕1=，（﹣2）⊕5=
，
5⊕（﹣2）=﹣，…，则（﹣3）⊕（﹣4）=（ ）
A．﹣ B． C．﹣ D．
【考点】规律型：数字的变化类． 【专题】新定义．
【分析】根据已知数字等式得出变化规律，最后将﹣3和﹣4代入根据规律进行计算即可． 【解答】解：1⊕2=﹣=
；
2⊕1==；
（﹣2）⊕5==
5⊕（﹣2）=﹣=
… a⊕b=
．
∴（﹣3）⊕（﹣4）==﹣．
故选：A．
【点评】此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出数字中的变与不变是解题关键．
10．如图，DC是以AB为直径的半圆上的弦，DM⊥CD交AB于点M，CN⊥CD交AB于点N．AB=10，CD=6．则四边形DMNC的面积（ ）
A．等于24 B．最小为24 C．等于48 D．最大为48 【考点】垂径定理；勾股定理；梯形中位线定理．
【分析】过圆心O作OE⊥CD于点E，则OE平分CD，在直角△ODE中利用勾股定理即可求得OE的长，即梯形DMNC的中位线，根据梯形的面积等于OE•CD即可求得． 【解答】解：过圆心O作OE⊥CD于点E， 连接OD．则DE=CD=×6=3．
在直角△ODE中，OD=AB=×10=5， OE=
=
=4．
则S四边形DMNC=OE•CD=4×6=24． 故选A．
【点评】本题考查了梯形的中位线以及垂径定理，正确作出辅助线是关键．
二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11．计算：﹣4﹣5= ﹣9 ． 【考点】有理数的减法．
【分析】根据有理数减法法则计算，减去一个数等于加上这个数的相反数． 【解答】解：﹣4﹣5=﹣4+（﹣5）=﹣9，故答案为：﹣9．
【点评】本题主要考查了有理数的减法，熟记减去一个数等于加上这个数的相反数是解决本题的关键．
12．小明同学在“百度”搜索引擎中输入“中国梦”，搜索到相关的结果个数约为8650000，将这个
6
数用科学记数法表示为 8.65×10 ．
【考点】科学记数法—表示较大的数．
【分析】科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数． 【解答】解：8 650 000=8.65×10， 故答案为：8.65×10．
6
6
n
【点评】此题主要考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
13．在一个不透明的口袋中装有5个完全相同的小球，把它们分别标号为1，2，3，4，5，从中随机摸出一个小球，其标号大于2的概率为 【考点】概率公式．
①符合条件的情况数目，②全部情况的总数，【分析】根据随机事件概率大小的求法，找准两点：二者的比值就是其发生的概率的大小．
【解答】解：根据题意可得：大于2的有3，4，5三个球，共5个球， 任意摸出1个，摸到大于2的概率是．
．
n
故答案为：．
【点评】本题考查概率的求法与运用，一般方法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=，难度适中．
14．某天，小明来到体育馆看球赛，进场时，发现门票还在家里，此时离比赛开始还有25分钟，于是立即步行回家取票．同时，他父亲从家里出发骑自行车以他3倍的速度给他送票，两人在途中相遇，相遇后小明立即坐父亲的自行车赶回体育馆．下图中线段AB、OB分别表示父、子俩送票、取票过程中，离体育馆的路程S（米）与所用时间t（分钟）之间的函数关系，骑自行车和步行的速度始终保持不变，则小明在比赛开始前 5 分钟到达体育馆．
【考点】一次函数的应用．
【分析】从图象可以看出，父子俩从出发到相遇花费了15分钟，路程是3600米，可以求出父子俩的速度，B点的纵坐标便可以求出，利用待定系数法便可以求出AB的解析式；令S=0，得0=﹣180t+3600，即可求得小明的父亲从出发到体育馆花费的时间为20分钟，即可求得小明提前到达体育馆的时间．
【解答】解：从图象可以看出：父子俩从出发到相遇时花费了15分钟， 设小明步行的速度为x米/分，则小明父亲骑车的速度为3x米/分 依题意得：15x+45x=3600， 解得：x=60
所以两人相遇处离体育馆的距离为60×15=900米 所以点B的坐标为（15，900），
设直线AB的函数关系式为s=kt+b（k≠0），
由题意，直线AB经过点A（0，3600）、B（15，900）
得：，解得
∴直线AB的函数关系式为：S=﹣180t+3600； 令S=0，得0=﹣180t+3600 解得：t=20
即小明的父亲从出发到体育馆花费的时间为20分钟，因而小明取票的时间也为20分钟 ∵25﹣20=5（分钟），
∴小明能在比赛开始前5分钟到达体育馆． 故答案为5．
【点评】本题考查了函数图象：函数图象反映两个变量之间的变化情况，根据图象提供得信息得到实际问题中的相关的量，然后利用这些量解决问题．
15．如图，在平面直角坐标系xOy中，⊙P的圆心P为（﹣3，a），⊙P与y轴相切于点C．直线y=﹣x被⊙P截得的线段AB长为4
，则过点P的双曲线的解析式为 y=﹣
．
【考点】切线的性质；待定系数法求反比例函数解析式；垂径定理． 【专题】计算题．
【分析】作PH⊥x轴于H，交直线y=﹣x于E，作PD⊥AB于D，连结PC、PA，如图，根据切线的性质得PC⊥y轴，则PC=PA=OH=3，再根据垂径定理，由PD⊥AB得AD=BD=AB=2
，则可
根据勾股定理计算出PD=1，接着利用直线y=﹣x为第二、四象限的角平分线可判断△HOB和△PDE都为等腰直角三角形，所以EH=OH=3，PE=数法求过点P的双曲线的解析式．
【解答】解：作PH⊥x轴于H，交直线y=﹣x于E，作PD⊥AB于D，连结PC、PA，如图，
PD=
，则P（﹣3，
+3），然后利用待定系
∵⊙P与y轴相切于点C， ∴PC⊥y轴， 而P（﹣3，a），
∴PC=3，即⊙P的半径为3， ∴PA=OH=3， ∵PD⊥AB， ∴AD=BD=AB=×4在Rt△PAD中，PD=
=2
，
==1，
∵直线y=﹣x为第二、四象限的角平分线， ∴∠HOB=45°，
易得△HOB和△PDE都为等腰直角三角形， ∴EH=OH=3，PE=∴PH=PE+EH=∴P（﹣3，
PD=
，
+3， +3），
设过点P的双曲线的解析式为y=， 把P（﹣3，
+3）代入得k=﹣3（
+3）=﹣3．
﹣9，
∴过点P的双曲线的解析式为y=﹣
故答案为y=﹣．
【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．运用切线的性质来进行计算或论证，常通过作辅助线连接圆心和切点，利用垂直构造直角三角形解决有关问题．也考查了垂径定理、等腰直角三角形的性质和待定系数法求反比例函数解析式．
16．如图，边长为6的正方形ABCD中，点E是BC上一点，点F是AB上一点．点F关于直线DE的对称点G恰好在BC延长线上，FG交DE于点H．点M为AD的中点，若MH=
．
，则EG
【考点】相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
【分析】连接DF，DG，过H作HP⊥AB于P，HQ⊥AD于Q，由点F，点G关于直线DE的对称，得到DF=DG，根据正方形的性质得到AD=CD，∠ADC=∠A=∠BCD=90°，推出Rt△AFD≌Rt△CDG，△DHQ，根据全等三角形证得△FDG是等腰直角三角形，推出四边形APHQ是矩形，证得△HPF≌△DHQ，根据全等三角形的性质得到DH=MH=的性质得到HP=HQ，推出△MHQ≌DQ=QM=
，求得CH=DH=
，
，通过△DQH∽△CEH，根据相似三角形的性质即可得到结论．
【解答】解：连接DF，DG，过H作HP⊥AB于P，HQ⊥AD于Q，
∵点F，点G关于直线DE的对称， ∴DF=DG， 正方形ABCD中，
∵AD=CD，∠ADC=∠A=∠BCD=90°， ∴∠GCD=90°，
在Rt△AFD与Rt△CDG中，∴Rt△AFD≌Rt△CDG， ∴∠ADF=∠CDG， ∴∠FDG=∠ADC=90°， ∴△FDG是等腰直角三角形， ∵DH⊥CF， ∴DH=FH=FG，
∵HP⊥AB，HQ⊥AD，∠A=90°， ∴四边形APHQ是矩形， ∴∠PHQ=90°， ∵∠DHF=90°， ∴∠PHF=∠DHQ，
，
在△PFF与△DQH中，，
∴△HPF≌△DHQ， ∴HP=HQ，
∵∠PHF=90°﹣∠FHM，∠QHM=90°﹣∠FHM， ∴∠PHF=∠QHM， ∴∠QHM=∠DHQ，
在△MHQ与△DHQ中，，
∴△MHQ≌△DHQ， ∴DH=MH=∴CH=DH=
，DQ=QM=，
，
∵点M为AD的中点， ∴DM=3，∴DQ=QM=，
∴HQ=
∵∠QDH=∠HEG，
=，
∴△DQH∽△CEH， ∴
，
即，
∴EG=．
故答案为：．
【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．
三、解答题（共8小题，共72分）
17．直线y=kx+1经过点A（1，3），求关于x的不等式kx+1≥3的解集． 【考点】一次函数与一元一次不等式．
【分析】把A（1，3）代入y=kx+1即可得到一个关于k的方程，求得k的值，然后得到所求的不等式，解不等式即可求解．
【解答】解：把A（1，3）代入y=kx+1得：k+1=3，解得：k=2， 则不等式是2x+1≥3， 解得：x≥1．
【点评】本题考查了一次函数求解析式，以及一元一次不等式的解法，正确求得k的值是关键．
18．如图，AB∥FC，D是AB上一点，DF交AC于点E，DE=FE，分别延长FD和CB交于点G． △CFE； （1）求证：△ADE≌
（2）若点D是GE的中点，求
的值．
【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质． 【分析】（1）求出∠A=∠FCE，根据全等三角形的判定推出即可；
（2）过E作EM∥BC，交AB于M，根据全等求出AE=EC，求出AM=BM=AB，推出△MED∽△BGD，
求出BD=DM=BM=AB，即可求出答案． 【解答】（1）证明：∵AB∥FC， ∴∠A=∠FCE， 在△ADE和△CFE中，
，
∴△ADE≌△CFE；
（2）解：过E作EM∥BC，交AB于M，
∵△ADE≌△CFE， ∴AE=EC， ∵ME∥BC，
∴AM=BM=AB， ∵点D是GE的中点， ∴DG=DE， ∵EM∥BC， ∴△MED∽△BGD， ∴
=
，
∴BD=DM=BM=AB，
∴=．
【点评】本题考查了全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，平行线分线段成比例定理的应用，能综合运用定理进行推理是解此题的关键，难度适中．
19．把2张形状、大小相同但画面不同的风景图片全部从中间剪断，然后将四张形状相同的小图片混合在一起．现从这四张图片中随机的一次抽出2张． （1）请用列表或画树状图的方法表示出上述实验所有可能结果． （2）求这2张图片恰好组成一张完整风景图概率． 【考点】列表法与树状图法． 【专题】计算题．
【分析】（1）用A、a表示一张风景图片被剪成的两半，用B、b表示另一张风景图片被剪成的两半，然后利用树状图展示所有可能的结果数；
（2）找出2张图片恰好组成一张完整风景图的结果数，然后根据概率公式求解．
【解答】解：（1）用A、a表示一张风景图片被剪成的两半，用B、b表示另一张风景图片被剪成的两半， 画树状图为：
（2）共有12种等可能的结果数，其中2张图片恰好组成一张完整风景图的结果数为4， 所以2张图片恰好组成一张完整风景图的概率=
=．
【点评】本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率．
20．在平面直角坐标系中，△ABC的顶点坐标是A（﹣3，2），B（1，2），C（1，4）．线段DE的端点坐标是D（3，﹣2），E（﹣1，﹣4）． （1）试说明如何平移线段AC，使其段ED重合；
（2）将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转，使AC的对应边为DE，请画出△DEF，并直接写出点B的对应点F的坐标；
（3）画出△ABC绕点（2，0）顺时针旋转90°得到的图形，并直接写出BC扫过的面积．
【考点】作图-旋转变换；作图-平移变换．
【分析】（1）直接利用平移的性质得出对应点移动的方向进而得出答案； （2）利用旋转的性质得出对应点位置进而得出答案；
（3）利用旋转的性质得出对应点位置，进而利用扇形面积求法得出答案．
【解答】解：（1）如图所示：AC先向下平移6个单位，再向右平移2个单位得到DE；
（2）如图所示：△DEF即为所求，点B的对应点F的坐标为：（﹣1，﹣2）；
△A′B′C′即为所求，（3）如图所示：BC扫过的面积为：﹣=3π．
【点评】此题主要考查了平移变换以及旋转变换，根据题意得出对应点位置是解题关键．
21．如图1，⊙O的直径BC的长为6，AB与⊙O相切于点B．点D是半圆上一动点． （1）当∠A+2∠C=180°时，请你判断点D是否是直线AD与⊙O的唯一交点，说明理由． （2）如图2，DE⊥AD，交BC于点E．若tan∠CAB=，EB=2CE．求AD的长．
【考点】切线的判定与性质．
【分析】（1）连接OD，证明AD与⊙O相切，即可得出结论； （2）连接AE、BD、DC，根据题意求得BE=4，CE=2，AE=4进而求得∠ABD=∠CDE，然后证得△DCE∽△DAB，得出勾股定理即可求得．
【解答】解：（1）点D是直线AD与⊙O的唯一交点． 理由如下： 如图1，连接OD，
∵∠DOB=2∠C，∠A+2∠C=180°， ∴∠A+∠BOD=180°， ∵AB与⊙O相切于点B， ∴∠B=90°，
=
，根据圆周角定理求得∠BDC=90°，==，得出AD=2DE，然后根据
∴∠ADO=90°， ∴AD与⊙O相切，
∴点D是直线AD与⊙O的唯一交点；
（2）如图2，连接AE、BD、DC， ∵AB与⊙O相切于点B， ∴∠B=90°，
∵tan∠CAB=，BC=6， ∴AB=4， ∵EB=2CE， ∴BE=4，CE=2， ∴AE=4
，
∵BC是直径， ∴∠BDC=90°， ∵∠ADE=90°， ∴∠ABD=∠CDE，
∵∠ABD+∠DBC=90°，∠DCE+∠DBC=90°， ∴∠ABD=∠DCE， ∴△DCE∽△DAB， ∴
=
==，
∴AD=2DE，
在RT△ADE中，AE=AD+DE， ∴（4
）=（2DE）+DE，
2
2
2
222
∴DE=，
∴AD=2DE=．
【点评】本题考查了切线的判定和性质，圆周角定理的应用，勾股定理的应用，三角形相似的判定和性质，（2）证得三角形相似是解题的关键．
22．某商店以6元/千克的价格购进某种干果1140千克，并对其进行筛选分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售．这批干果销售结束后，店主从销售统计中发现：甲级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销量，且在同一天卖完；甲级干果从开始销售至销售的第x天的总销量y（千克）1与x的关系为y1=﹣x+40x；乙级干果从开始销售至销售的第t天的总销量y2（千克）与t的关系为y2=at+bt，且乙级干果的前三天的销售量的情况见下表：
2
2
t y2
1 21
2 44
3 69
（1）求a、b的值；
（2）若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克和6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的毛利润是多少元？
（3）问从第几天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克？
（说明：毛利润=销售总金额﹣进货总金额．这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计） 【考点】一元二次方程的应用；二元一次方程组的应用；一元一次不等式的应用． 【专题】销售问题．
【分析】（1）根据表中的数据代入y2=at+bt后，得到关于a，b的二元一次方程，从而可求出解． （2）设干果用n天卖完，根据两个关系式和干果共有1140千克可列方程求解．然后用售价﹣进价，得到利润．
（3）设第m天乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克，从而可列出不等式求解．
【解答】解：（1）根据表中的数据可得
2
．
答：a、b的值分别是1、20；
（2）甲级干果和乙级干果n天售完这批货． ﹣n+40n+n+20n=1140 n=19，
2
2
当n=19时，y1=399，y2=741，
毛利润=399×8+741×6﹣1140×6=798（元）， 答：卖完这批干果获得的毛利润是798元．
（3）设从第m天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克，则甲、乙级干果的销售量为m天的销售量减去m﹣1天的销售量，
即甲级水果第m天所卖出的干果数量：（﹣m+40m）﹣[﹣（m﹣1）+40（m﹣1）]=﹣2m+41． 乙级水果第m天所卖出的干果数量：（m+20m）﹣[（m﹣1）+20（m﹣1）]=2m+19， （2m+19）﹣（﹣2m+41）≥6， 解得：m≥7，
答：第7天起乙级干果每天的销量比甲级干果每天的销量至少多6千克．
【点评】本题考查理解题意的能力，关键是根据表格代入数列出二元一次方程组求出a和b，确定函数式，然后根据等量关系和不等量关系分别列方程和不等式求解．
23．如图1，在Rt△ABC中，∠CAB=90°，AC=6，AB=8，点P是边AB上一动点，过点P作PQ⊥AB交BC于点E，截取PQ=AP，连接AQ交边BC于点D． （1）若AP4，求段DQ、DE的长；
（2）如图2，连接CQ，设AP=PQ=x，当△CDQ和△ADB相似时，x的值；
（3）如图3，将△BCQ沿BC翻折，Q点恰好落在边AB上的M点时，直接写出线段AP的长为 ．
2
2
2
2
【考点】相似形综合题．
【分析】（1）过点D作DM⊥AC，垂足为M．根据等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质可求AQ，AD，再根据线段之间的和差关系可得结果；
（2）当△CDQ和△ADB相似时，分两种情况：①当∠QCD=∠B时；②当∠QCD=∠QAB时；根据相似三角形的性质可求x的值；
（3）设⊙C与⊙B相交的另一个交点为M，连接QM交BC于点N．可得∴△BMN∽△BCA，△QPM∽△BAC，根据相似三角形的性质即可求出AP的长． 【解答】解：（1）如图1，过点D作DM⊥AC，垂足为M． 由题意，可知△APQ是等腰直角三角形， ∴AQ=
AP=4
；
∵∠CAB=90°，∠QAP=45°， ∴∠CAD=45°， ∵DM⊥AC，
∴△DAM是等腰直角三角形， 易得△CMD∽△CAB， ∴
=
==；
设CM=3a，DM=4a， ∴AM=4a，
∴a=，DM=AM=，
∴AD=，
∴DQ=4﹣=，
∵CM=AC﹣AM=，
∴CD=∵QE∥AC，
=，
∴△QDE∽△ACD， ∴
，
∴DE=；
（2）∵∠CDQ=∠ADB，
∴当△CDQ和△ADB相似时，分以下两种情况： ①当∠QCD=∠B时， ∴CQ∥AB，
四边形CAPQ是正方形； ∴x=AP=AC=3． ②当∠QCD=∠QAB时， ∴
=
，
由上述（1）的解法，可得CD=，BD=，
∵AD=，
∴QD=；
∴x﹣=，
解得x=．
综合①②，当△CDQ和△ADB相似时，x的值为3或．
（3）如图，设⊙C与⊙B相交的另一个交点为M，连接QM交BC于点N． ∴BC⊥QM，QN=MN．
∴△BMN∽△BCA，△QPM∽△BAC， ∴
=
，
设MN=3t，BN=4t， ∴BM=5t； ∴QM=6t， ∴PQ=
t；
∵BQ=BM=5t， ∴BP=t；
又∵AP=PQ=t，
∴t+t=4，
解得t=；
∴AP=×=．
故答案为：．
【点评】此题主要考查了相似形综合题，涉及的知识有：相似三角形的判定和性质，求一次函数解析式，分类思想的运用，正方形的判定和性质，综合性较强，有一定的难度．
24．在平面直角坐标系中，抛物线y=﹣x+bx+c与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），
2
点M为顶点，连接OM．若y与x的部分对应值如表所示： x y
… …
﹣1 0
0
3 0
… …
（1）求此抛物线的解析式；
（2）如图1，C为线段OM上一点，过C作x轴的平行线交线段BM于点D，以CD为边向上作正方形CDEF，CF、DE分别交此抛物线于P、Q两点，是否存在这样的点C，使得正方形CDEF的面积和周长恰好被直线PQ平分？若存在，求C点的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，平移此抛物线使其顶点为坐标原点，P（0，﹣1）为y轴上一点，E为抛物线上y轴左侧的一个动点，从E点发出的光线沿EP方向经过y轴上反射后与此抛物线交于另一点F，则当E点位置变化时，直线EF是否经过某个定点？如果是，请求出此定点的坐标，不是则说明理由．
【考点】二次函数综合题．
【分析】（1）从表中选取两组数据代入抛物线解析式中，求出b、c即可；
（2）首先求出直线MB的解析式，进而表示出E，F，P，Q的坐标，利用正方形CDEF的面积的周长恰好被直线PQ平分，则CP=EQ，求出m的值即可；
（3）首先根据光的反射可知：点F在点E关于y轴的对称点E1和点P所成的直线上，设出点E的坐标，表示出E1，求出直线PE1，联立抛物线求出交点F的坐标，求出直线EF的解析式，确定出所过的顶点即可．
【解答】解：（1）将（﹣1，0）（0，）代入函数解析式，得
，
解得，
抛物线的解析式为y=﹣x2
+x+；
（2）如图1，
∵M（1，2），B（3，0），设直线MB的解析式为：y=kx+d， 则
，
解得：，
∴直线MB的解析式为：y=﹣x+3． 设C（m，2m），∴D（3﹣2m，2m）， ∴正方形CDEF的边长为：3﹣3m，
∴E（3﹣2m，3﹣m），F（m，3﹣m），P（m，﹣ m2+m+），Q（3﹣2m，﹣∵正方形CDEF的面积的周长恰好被直线PQ平分， ∴PQ过正方形的中心， ∴CP=EQ，
2m2+4m），
∴（﹣m2+m+）﹣2m=（3﹣m）﹣（﹣2m2+4m），
整理得：5m﹣8m+3=0，
2
∴解得：m1=，m2=1（舍去），
∴C（，）； （3）如图2
∵平移抛物线y=﹣x2+x+使其顶点为坐标原点，
∴平移后的抛物线为：y=﹣x2 ①，
由光的反射定律可知：点F在点E关于y轴的对称点E1和点P所确定的直线上，
2
2
设点E（m，﹣ m），则点E关于y轴的对称点E1（﹣m，﹣ m），
设直线PE1：y=px+q，
把点E1，点P坐标代入得：，
解得：，
∴直线PE1：y=x﹣1 ②
联立①②，把①代入②得： =x﹣1，
解得：x1=，x2=﹣m（舍去）
此时：y=，
所以：点F（，），
设直线EF：y=fx+g，把点E，点F坐标代入得：，
解得：，
∴直线EF：y=﹣x+1，
当x=0时，y=1，
所以：则当E点位置变化时，直线EF经过定点（0，1）．
【点评】此题主要考察二次函数的综合问题，会运用待定系数法求抛物线和直线的解析式，熟悉正方形的性质和光的反射定律的运用是解题的关键．
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