等差数列的性质教学设计

教学目的：

1.明确等差中项的概念.

2.进一步熟练掌握等差数列的通项公式及推导公式.

教学重点：等差数列的定义、通项公式、性质的理解与应用 教学难点：灵活应用等差数列的定义及性质解决一些相关问题 授课类型：新授课 课时安排：1课时

教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析：

本节是在学习等差数列的概念、通项公式的基础上，推导等差数列前n项和的公式，并突出等差数列的一个重要的对称性质：与任一项前后等距离的两项的平均数都与该项相等，认识这一点对解决问题会带来一些方便 教学过程：

一、复习引入

首先回忆一下上节课所学主要内容：

1．等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即an－an1=d ，（n≥2，n∈N），这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母“d”表示） 2．等差数列的通项公式：

ana1(n1)d (anam(nm)d或an=pn+q (p、q是常数))

3．有几种方法可以计算公差d ① d=an－an1 ② d=

ana1aam ③ d=n n1nm 二、讲解新课：

问题：如果在a与b中间插入一个数A，使a，A，b成等差数列，那么A应满足什么条件？

由定义得A-a=b-A ，即：A反之，若Aab 2ab，则A-a=b-A 2aba,b,成等差数列 由此可可得：A2ab是a,A,b成等差数列的充要条件 2定义：若a，A，b成等差数列，那么A叫做a与b的等差中项 不难发现，在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项 如数列：1，3，5，7，9，11，13…中

5是3和7的等差中项，1和9的等差中项 也就是说，A=

9是7和11的等差中项，5和13的等差中项 看来，a2a4a1a5,a4a6a3a7

已知数列{an}为等差数列，那么有*性质1：若m,p,n(m,p,nN)成等差数列，则am,ap,an成等差数列.

Qm,p,n成等差数列,证明：根据等差数列的定义，pmnp,(pm)d(np)d.apamanap.即am,ap,an成等差数列.如a1,a6,a11成等差数列，a3,a6,a9成等差数列.性质2：在等差数列中，若m+n=p+q，则，amanapaq 即 m+n=p+q amanapaq (m, n, p, q ∈N )

但通常 ①由amanapaq 推不出m+n=p+q ，②amanamn 三、例题讲解

例1在等差数列{an}中，若a1+a6=9, a4=7, 求a3 , a9 .

分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手…… 解：∵ {an }是等差数列

∴ a1+a6=a4+a3 =9a3=9－a4=9－7=2 ∴ d=a4－a3=7－2=5 ∴ a9=a4+(9－4)d=7+5*5=32 ∴ a3 =2, a9=32

例2 等差数列{an}中，a1+a3+a5=－12, 且 a1·a3·a5=80. 求通项 an

分析：要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项的问题而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求某项必须消元（项）或再弄一个等式出来

解：a1+a5=2a3

a1a3a5123a312a34a1a520 a1a3a580a1a58 a1=－10, a5=2 或 a1=2, a5=－10 ∵ d=

a5a1 51∴ d=3 或－3

∴ an=－10+3 (n－1) = 3n－ 13 或 an=2 －3 (n－1) = －3n+5

例3在等差数列{an}中, 已知a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450, 求a2＋a8及前9项和S9. 解：由等差中项公式：a3＋a7＝2a5， a4＋a6＝2a5

由条件a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450, 得 5a5＝450, a5＝90, ∴a2＋a8＝2a5＝180.

S9＝a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＋a7＋a8＋a9

＝(a1＋a9)＋(a2＋a8)＋(a3＋a7)＋(a4＋a6)＋a5 ＝9a5＝810.

例4已知a、b、c的倒数成等差数列，求证：

abc，，

bcacababc的倒数也成等差数列 分析：给定的是三个数的倒数成等差数列故应充分利用三个数x、y、z成等差数列的

充要条件：x+y=2z 证明：因为a、b、c的倒数成等差数列

211，即2ac=b(a+c) bacbcaabcc(bc)a(ab) 又+=-2

acacc2a2b(ac)c2a22ac=-2=-2

acac ∴

2(ac)2(ac)2=-2=-2

b(ac)ac=

2(ac)2(cab)-2= bb

所以

abca，bcab，cabc的倒数也成等差数列 四、练习：

1.在等差数列an中，已知a510，a1231，求首项a1与公差d 解：由题意可知a5a14d10 (1)a12a111d31 (2)

解之得a12即这个数列的首项是-2，公差是3 d3或由题意可得：a12a5(125)d即：31=10+7d 可求得d=3，再由a5a14d求得1=-2 2. 在等差数列an中, 若 a56 a815 求a14 解：a8a5(85)d 即 1563d ∴ d3 从而 a14a5(145)d69333

3.在等差数列an中若 a1a2a530，a6a7a1080，a11a12a15

解：∵ 6+6=11+1 7+7=12+2 ……

∴ 2a6a1a11 2a7a2a12 ……

∴(a11a12a15)+(a1a2a5)2(a6a7a10) ∴a11a12a15=2(a6a7a10)(a1a2a5) =2×8030=130

五、小结 本节课学习了以下内容：

1．Aab2a,b,成等差数列 2．在等差数列中， m+n=p+q amanapaq (m, n, p, q ∈N ) 六、课后作业：

课外作业：课本46页B组1、2

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